基于灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)GM(1,1)模型的商洛市人口預(yù)測(cè)

楊濱峰

（商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，陜西商洛 726000）

商洛市作為陜南地區(qū)的重要城市，是連接西北和中東部地區(qū)的交通要道，也是聯(lián)結(jié)關(guān)中—天水經(jīng)濟(jì)區(qū)與武漢經(jīng)濟(jì)圈的樞紐區(qū)域，是陜西重要的藥材資源、生態(tài)資源和旅游資源的集中地[1]。一般情況下，一個(gè)地區(qū)的人口規(guī)模在一定程度上會(huì)影響該區(qū)域的建設(shè)思路及政策制定，因此，正確預(yù)測(cè)商洛市的人口規(guī)模，對(duì)商洛市的城市建設(shè)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展有著重要的參考意義。

目前，較為準(zhǔn)確的人口統(tǒng)計(jì)方法是定期進(jìn)行的人口普查[2]，耗時(shí)和耗資較多，數(shù)據(jù)具有一定的滯后性。而對(duì)于未來(lái)人口的預(yù)測(cè)方法目前主要是依據(jù)已有的一些人口數(shù)據(jù)，采用數(shù)學(xué)方法、統(tǒng)計(jì)學(xué)方法和人口學(xué)方法等對(duì)未來(lái)的人口規(guī)模進(jìn)行預(yù)測(cè)[3]。人口學(xué)方法主要包括單因素法和多因素的隊(duì)列因素法[4]，其中單因素法僅考慮單一人口變動(dòng)因素，不能包括復(fù)雜的人口變化信息，準(zhǔn)確度較低。多因素的隊(duì)列因素法根據(jù)以前的人口隊(duì)列數(shù)據(jù)和人口變動(dòng)率等其他參數(shù)對(duì)未來(lái)的人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，準(zhǔn)確度較高，是目前世界上較通用的標(biāo)準(zhǔn)人口預(yù)測(cè)模型，但該方法需要的多種其他的人口統(tǒng)計(jì)信息，比如人口變動(dòng)率等，不易獲取，直接影響了模型的廣泛使用[5-9]。數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法主要考慮歷史縱向數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行單變量的人口預(yù)測(cè)，是目前較為常用的人口預(yù)測(cè)方法。數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法主要包括回歸分析[10]和灰色系統(tǒng)分析[11-12]等方法，回歸分析是根據(jù)歷史年份人口數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，利用能較好符合其變化特征的直線(xiàn)或曲線(xiàn)函數(shù)建立方程進(jìn)行擬合，直接推算未來(lái)年份的人口規(guī)模。模型選取主要取決于預(yù)測(cè)區(qū)域人口增長(zhǎng)率的變化情況，當(dāng)人口的增長(zhǎng)率變化不具有典型特點(diǎn)，樣本量較小時(shí)，回歸方法的人口預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度較低，誤差較大。而灰色系統(tǒng)方法的提出，為從另一個(gè)方面來(lái)解決人口預(yù)測(cè)問(wèn)題提供了新思路。它的特點(diǎn)是利用已知信息尋求系統(tǒng)的規(guī)律，所需統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)少，預(yù)測(cè)精度高，能夠保持原系統(tǒng)的特征，較好地反映系統(tǒng)的實(shí)際情況。因此，本文采用灰色系統(tǒng)方法對(duì)商洛市未來(lái)6年的人口情況進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和人口預(yù)測(cè)。

1 灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)GM(1,1)模型的建模思路

通常情況下，信息完全未知的系統(tǒng)被稱(chēng)為黑色系統(tǒng)，信息完全確定的系統(tǒng)被稱(chēng)為白色系統(tǒng)，而那些既含有已知信息又含有未知信息的貧信息系統(tǒng)被稱(chēng)為灰色系統(tǒng)。灰色系統(tǒng)理論主要是為了解決灰色系統(tǒng)問(wèn)題而產(chǎn)生的，是由華中理工大學(xué)鄧聚龍教授提出并加以發(fā)展的，其建模思路可分為 5 步[13]：

1)假設(shè)給定已知觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(N)}，根據(jù)一次累加函數(shù)

可以得到數(shù)列x(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(N)}。

2)設(shè)x(1)滿(mǎn)足一階常微分方程

其中a是常數(shù)，被稱(chēng)為發(fā)展灰數(shù)；u稱(chēng)為內(nèi)生控制灰數(shù)，是對(duì)系統(tǒng)的常定輸入。因?yàn)槟Ｐ筒捎靡浑A常微分方程建立，故被稱(chēng)為一階一元灰色模型，記為 GM(1,1)。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

對(duì)t進(jìn)行等間隔取樣，用差分代替微分，轉(zhuǎn)化為離散值，可得

3)當(dāng)△t很小且取很小的單位1時(shí)，x(1)(1)留作初值使用，將 x(1)(2),x(1)(3),…x(1)(N)代入式(1)～(4)，可以得到

再將x(1)(i)替換為經(jīng)整理后可寫(xiě)為矩陣形式[14]

其中 y=(x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(N))T；

4)對(duì)U進(jìn)行最小二乘運(yùn)算可得

把估計(jì)值代入方程的解中，可以得到時(shí)間響應(yīng)方程

5）精度檢驗(yàn)

根據(jù)GM(1,1)模型理論，可以根據(jù)后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P值的數(shù)值組合，結(jié)合預(yù)測(cè)精度等級(jí)對(duì)照表（見(jiàn)表1）來(lái)判斷預(yù)測(cè)的精度。

表1 預(yù)測(cè)精度等級(jí)對(duì)照表

2 商洛市人口灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)GM(1,1)模型的建立和預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)商洛市統(tǒng)計(jì)局公布的2008—2016年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)中戶(hù)籍人數(shù)[15]（見(jiàn)表2），可以看出商洛市的人口數(shù)量從長(zhǎng)期來(lái)看，總體上有著增加的趨勢(shì)，但是有著變化復(fù)雜、波動(dòng)不規(guī)律、數(shù)據(jù)樣本量較少的特點(diǎn)。

表2 商洛市2008—2016年的人口數(shù)量

由于人口會(huì)受到眾多因素的影響，根據(jù)商洛市人口數(shù)據(jù)的時(shí)序序列變動(dòng)規(guī)律，采用GM(1,1)模型原理可以對(duì)未來(lái)人口的變化進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)表2，利用Matlab編制相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序，可計(jì)算得到

則其數(shù)學(xué)模型為

根據(jù)式(10)，可以對(duì)2009—2016年的人口數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合（見(jiàn)表3），結(jié)果表明預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的誤差較小。

表3 2009—2016年的人口預(yù)測(cè)殘差和相對(duì)殘差值

根據(jù)表2和表3，可以得C=0.366949，P=1，再與表1的預(yù)測(cè)等級(jí)精度表進(jìn)行比較，模型精度等級(jí)是合格，證明該模型預(yù)測(cè)精確度較高，可以對(duì)商洛市未來(lái)的人口進(jìn)行預(yù)測(cè)。因此，可以根據(jù)數(shù)學(xué)模型得出未來(lái)6年的商洛市人口，其人口預(yù)測(cè)曲線(xiàn)如圖1所示。

3 討論

根據(jù)商洛市人口的特點(diǎn)，依據(jù)灰色系統(tǒng)理論原理，在商洛市2008—2016年人口數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立了商洛市人口的GM(1,1)數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型達(dá)到了灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測(cè)等級(jí)精度要求，可以為商洛市未來(lái)一定時(shí)期內(nèi)的人口預(yù)測(cè)提供一定的參考。依據(jù)該數(shù)學(xué)模型對(duì)商洛市未來(lái)6年的人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)商洛市人口每年大約增加1.3萬(wàn)，人口在穩(wěn)步增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)較為緩慢。因此，根據(jù)商洛市人口變化的特點(diǎn)和關(guān)中—天水經(jīng)濟(jì)區(qū)的發(fā)展要求，城市建設(shè)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展政策的制定應(yīng)該更加長(zhǎng)遠(yuǎn)，否則會(huì)造成相應(yīng)的發(fā)展問(wèn)題。雖然GM(1,1)模型原理簡(jiǎn)單高效，但只能進(jìn)行單變量的人口預(yù)測(cè)，易受到歷史上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性和數(shù)量的限制和影響，導(dǎo)致僅能預(yù)測(cè)未來(lái)較短時(shí)期的人口變化。而人口數(shù)量的變化往往會(huì)受到如計(jì)劃生育政策，人口結(jié)構(gòu)，外來(lái)人口遷移等其他多種因素的影響，因此在得到上述因素?cái)?shù)據(jù)的條件下，采用考慮多種因素的其他人口預(yù)測(cè)方法如隊(duì)列因素法則可以實(shí)現(xiàn)對(duì)人口數(shù)量變化的較為準(zhǔn)確的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

圖1 商洛市的人口預(yù)測(cè)

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