解壓軸題：等號(hào)與否 預(yù)測(cè)路徑

許銀伙 楊蒼洲

(1.福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 362000;2.福建省泉州第五中學(xué) 362000)

壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)不等式證明或由不等式求參數(shù)范圍問(wèn)題，它通?；癁楹瘮?shù)最值問(wèn)題，然后綜合運(yùn)用函數(shù)或方程知識(shí)加以解決.但到底是化為一個(gè)函數(shù)還是化為兩個(gè)函數(shù)呢？本篇介紹的方法是：由不等式是否含等號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)，如果含等號(hào)，通?？梢詷?gòu)造不等式兩邊差的函數(shù)，直接由導(dǎo)數(shù)求最值解決；如果不含等號(hào)，通常變形，分別求不等式兩邊函數(shù)的最值，借助兩邊不同時(shí)取最值來(lái)得到原不等式成立，或者構(gòu)造不等式兩邊差的函數(shù)，運(yùn)用常用結(jié)論lnx≤x-1,ex≥x+1進(jìn)行放縮，然后對(duì)放縮后的新函數(shù)式求最值.

例題1 (2014湛江質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=sinx(x≥0)，g(x)=ax(x≥0).

(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

分析與解(1) 實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).

(2)由已知得：

由(1)得：

h′(x)=x-sinx≥0對(duì)x≥0恒成立.

又因?yàn)棣铡?0)=0，

∴φ′(x)>0對(duì)x>0恒成立，函數(shù)φ(x)對(duì)x≥0單調(diào)遞增.

又∵φ(0)=0，∴φ(x)≥0對(duì)x≥0恒成立，所以問(wèn)題得證.

反思與評(píng)注

1.問(wèn)題(2)的不等式含有等號(hào)，因此考慮構(gòu)造不等式兩邊差的函數(shù)，直接求導(dǎo)解決.

2.x-sinx≥0對(duì)x≥0恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))是常用結(jié)論，但解答時(shí)還需證明.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

分析與解

∴只需g(x)≤e對(duì)x∈(1,+∞)恒成立.

方法一直接討論法

∴φ(x)對(duì)x∈(1,+∞)單調(diào)遞增.

又φ(e)=e，

∴1

綜上得：所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,e].

方法二分離參數(shù)法

反思與評(píng)注1.問(wèn)題(2) 對(duì)于任意x1,x2∈(1,+∞)，總有f(x1)≥g(x2)成立，等價(jià)于x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)min≥g(x)max.∵f(x)不含參數(shù)，通常先求出f(x)min；g(x)含參數(shù)，問(wèn)題解決通常轉(zhuǎn)化為采用分類(lèi)討論或分離參數(shù)方法.

例題3 已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a∈R)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若f(x)≥0對(duì)任意x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

分析與解(1)實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，

∴h(x)在區(qū)間(0,1]單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，h′(x)>0，

∴h(x)在區(qū)間[1,+∞)單調(diào)遞增.

h(x)在(0,+∞)最小值為h(1)=0，

∴h(x)≥0得lnx≤x-1對(duì)x≥0恒成立.

問(wèn)題得證.

反思與評(píng)注1.問(wèn)題(2)是求和型不等式，且不含等號(hào)，因此考慮各項(xiàng)放縮后再求和.放縮的方向通常有兩個(gè)：化為等比數(shù)列或化成可裂項(xiàng)相消的數(shù)列.

2. 問(wèn)題(2)的解決借助了常用結(jié)論： lnx≤x-1對(duì)x≥0恒成立.

(1)求證:曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線不過(guò)點(diǎn)(2,0);

(2)若在區(qū)間(0,1]中存在x0,使得f′(x0)=0,求k的取值范圍;

分析與解(1) 略.

(2)k的取值范圍為[1,+∞).

由f′(1)=0得k=1.

當(dāng)x∈(0,e-2)時(shí)，h1′(x)>0，

∴h1(x)在區(qū)間(0,e-2]單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e-2,+∞)時(shí)，h1′(x)<0，

∴h1(x)在區(qū)間[e-2,+∞)單調(diào)遞減.

∴h1(x)在(0,+∞)最大值為h1(e-2)=1+e-2.

∴h2(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增.

又h2(0)=e-2+1,則x>0時(shí)，h2(x)>h2(0)=h1(e-2)≥h1(x).問(wèn)題得證.

反思與評(píng)注1.問(wèn)題(3)要證明的不等式兩端函數(shù)式都不含參數(shù)，且不含等號(hào)，通常不能左右兩邊相減構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)直接求出最值解決，而是要變形，化為左右邊兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)分別求它們的最值或值域解決問(wèn)題.如果兩邊函數(shù)都能求出最值，通常不會(huì)同時(shí)取得最值.

參考文獻(xiàn)：

[1] 許銀伙．意念引領(lǐng)攻克難題[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(8)：40-42.

[2]雷波. 函數(shù)結(jié)構(gòu)任繁雜巧妙轉(zhuǎn)化變通達(dá)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2106(6)：42-46.