揭秘當(dāng)年費(fèi)爾馬(Fermat)大定理的證明思路與絕妙方法
——不定方程xn+yn=zn在n為大于2的任意整數(shù)時(shí)沒(méi)有不為零的整數(shù)解

鄒繼芳

(遼寧省撫順礦業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司機(jī)械制造廠 113001)

費(fèi)爾馬大定理即不定方程xn+yn=zn在n為大于2的任意整數(shù)時(shí)沒(méi)有不為零的整數(shù)解.它來(lái)源是：在1621年費(fèi)爾馬在巴黎買了一本丟番圖(公元三世紀(jì)時(shí)古希臘數(shù)學(xué)家)所作的《算術(shù)》的法文譯本.這本書(shū)的第二卷中提出了求不定方程X2+Y2=Z2的整數(shù)解問(wèn)題，他把他思考的心得記在這本《算術(shù)》第二冊(cè)一頁(yè)書(shū)的空白處，他寫(xiě)到“不可能把一個(gè)整數(shù)的立方表示成兩個(gè)整數(shù)的立方和；也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪表示成兩個(gè)整數(shù)的四次冪之和;一般地說(shuō)不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2的方冪表示成兩個(gè)同次方冪之和”.這也就是說(shuō)不定方程xn+yn=zn，在n為大于2的任意整數(shù)時(shí)沒(méi)有不為零的整數(shù)解.

費(fèi)爾馬逝世后，人們?cè)谒膱D書(shū)室找到了那本書(shū)，寫(xiě)在書(shū)上的結(jié)論也公諸于世了.這個(gè)結(jié)論是一個(gè)未經(jīng)證明的數(shù)學(xué)猜測(cè)，后人把這個(gè)數(shù)學(xué)史上著名的猜測(cè)稱為“費(fèi)爾馬大定理”.費(fèi)爾馬在那頁(yè)書(shū)上繼續(xù)寫(xiě)道“我發(fā)現(xiàn)了這個(gè)論斷的奇妙證明，但這里空白太窄，寫(xiě)不下了”.人們找遍了他遺留下來(lái)的手稿，始終沒(méi)有能夠找到他對(duì)這個(gè)問(wèn)題的“奇妙證明”.人們只有自己來(lái)弄清這是一個(gè)正確的定理還是一個(gè)錯(cuò)誤的猜想.三百多年來(lái)，它一直是數(shù)學(xué)史上的一件懸案.

一、教學(xué)與研究(解析費(fèi)爾馬大定理)

費(fèi)爾馬在仔細(xì)研究求不定方程X2+Y2=Z2的整數(shù)解后得出了費(fèi)爾馬大定理：“不可能把一個(gè)整數(shù)的立方表示成兩個(gè)整數(shù)的四次冪之和，一般的說(shuō)，不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2的方冪表示成兩個(gè)同次方冪之和.” 這也就是說(shuō)不定方程xn+yn=zn在n大于2的任意整數(shù)時(shí)，沒(méi)有不為零的整數(shù)解.

如果對(duì)費(fèi)爾馬大定理進(jìn)行求證，我們就必須要仔細(xì)分析費(fèi)爾馬大定理這個(gè)問(wèn)題的性質(zhì)、邏輯推理，尋求證明方法，最后，進(jìn)行總結(jié)和歸納的過(guò)程.

1.仔細(xì)分析和研究費(fèi)爾馬大定理的性質(zhì)

我們知道：費(fèi)爾馬大定理的不定方程為

xn+yn=zn(n>2).

當(dāng)n=2時(shí)可寫(xiě)成X2+Y2=Z2.

它不僅僅代表一個(gè)三元二次不定方程，它的幾何意義是代表一個(gè)直角三角形，X、Y、Z分別代表直角三角形的三條邊，三條邊之間的關(guān)系為X2+Y2=Z2，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯定理，如果求三條邊的整數(shù)解，其三條邊的整數(shù)解通解為， 當(dāng)X、Y、Z互質(zhì)時(shí),

上式也稱為勾股數(shù)組，這個(gè)結(jié)論很重要，在以后的證明過(guò)程中會(huì)經(jīng)常用到.用幾何表示為

(畢達(dá)哥拉斯定理幾何關(guān)系)(勾股數(shù)組關(guān)系)記為(2ad、d2-a2、d2+a2)

我們可以把這個(gè)三角形稱為基本直角三角形.

當(dāng)n=2t(t為大于1的自然數(shù))費(fèi)爾馬大定理不定方程為

符合上述基本三角形的形式.

此時(shí)用幾何表示為

當(dāng)n=2t+1時(shí)(t為任意自然數(shù))費(fèi)爾馬大定理不定方程為

符合上述基本三角形的形式，此時(shí)用幾何表示為

2.結(jié)論

通過(guò)上述的分析和研究可知：費(fèi)爾馬大定理的不定方程都是建立在基本直角三角形基礎(chǔ)上的，只是對(duì)應(yīng)的直角三角形三條邊表現(xiàn)形式不同而已，其三條邊的整數(shù)解都必須滿足于勾股數(shù)組的通解條件，即有如下的關(guān)系式

以上推理過(guò)程中，概括起來(lái)說(shuō)明.當(dāng)n=2t+1時(shí)，通過(guò)邏輯推理，可轉(zhuǎn)換成當(dāng)n=2t時(shí)的情形.當(dāng)n=2t時(shí)，通過(guò)邏輯推理，可轉(zhuǎn)換成當(dāng)n=4時(shí)的情形.從上式中的推論中可知，只要求出當(dāng)n=4時(shí)沒(méi)有不為零的整數(shù)解就可以證明當(dāng)n>2時(shí)沒(méi)有不為零的整數(shù)解.證明過(guò)程詳見(jiàn)x4+y4=z4沒(méi)有不為零的整數(shù)解的證明過(guò)程.

二、奇妙求證x4+y4=z4不定方程對(duì)任意正整數(shù)時(shí)沒(méi)有不為零的整數(shù)解

不定方程x4+y4=z4可以等價(jià)變換為

(x2)2+(y2)2=(z2)2.

此時(shí)該不定方程滿足于X2+Y2=Z2的形式,

此時(shí)：X=x2，Y=y2，Z=z2.

根據(jù)X2+Y2=Z2的通解，可知

從(2)中可知d2=y2+a2,

從(3)中可知z2=d2+a2.

可見(jiàn)(4)(5)兩方程皆符合X2+Y2=Z2的形式.

根據(jù)X2+Y2=Z2的通解公式,

此時(shí)根據(jù)(5)z2=d2+a2可表示為

另一方面討論勾股數(shù)組的規(guī)律.

根據(jù)前述X2+Y2=Z2的通解公式可知

從式中可以看出，當(dāng)A、B確定后，勾股數(shù)組就可以確定，而且是唯一的.只有當(dāng)A、B發(fā)生變化，勾股數(shù)組才相應(yīng)發(fā)生變化.從中也說(shuō)明一個(gè)勾股數(shù)組由三個(gè)整數(shù)所組成，當(dāng)任意確定兩個(gè)整數(shù)時(shí)，另一個(gè)整數(shù)也是唯一的.

按題意，需要求出該方程組的整數(shù)解，通過(guò)仔細(xì)研究該方程組可知，其實(shí)是構(gòu)成兩個(gè)直角三角形.式中a、d皆為正整數(shù)，那么y和z也應(yīng)為正整數(shù)，那么就構(gòu)成了兩個(gè)勾股數(shù)組方程，在兩個(gè)勾股數(shù)組方程中，都含有兩個(gè)相同勾股數(shù)a和d.根據(jù)勾股數(shù)組可知，當(dāng)已確定兩個(gè)勾股數(shù)，另一個(gè)勾股數(shù)就應(yīng)該是一定的，而且是唯一的，根據(jù)原方程x4+y4=z4，當(dāng)x、y、z為非零整數(shù)解時(shí)，z>y，在此情形下，但在該方程組中，確出現(xiàn)了兩個(gè)不同的勾股數(shù)組，這就說(shuō)明，至少有一項(xiàng)是不能滿足勾股數(shù)組的，也就是說(shuō)，d2=y2+a2和z2=d2+a2兩個(gè)方程組至少有一項(xiàng)不能為整數(shù)解，也說(shuō)明z和y至少有一個(gè)不能為整數(shù)解.故此式x4+y4=z4無(wú)整數(shù)解.從證明的過(guò)程可知，該解法確實(shí)是很奇妙的，這也是我經(jīng)過(guò)多次的研究后才得出的正確解法.綜合以上的證明，原式x4+y4=z4的不定方程的任意整數(shù)時(shí)，沒(méi)有不為零的整數(shù)解，這就是說(shuō)：“不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪表示成兩個(gè)整數(shù)的四次冪之和”.

幾何解析為直觀起見(jiàn)，我們也可以用幾何圖形來(lái)分析證明上述的結(jié)論.如圖所示.

式中：直角三角形△ABC可表示成(x2)2+(y2)2=(z2)2,此時(shí)d2=y2+a2,z2=d2+a2,所以又可畫(huà)出直角三角形△ADC和△ABE(x4+y4=z4幾何關(guān)系圖)

從直角三角形△ADC和△ABE中，分別構(gòu)成兩個(gè)勾股數(shù)組(、、)和(、、)，在兩個(gè)勾股數(shù)組中都含有兩個(gè)相同的勾股數(shù)和，根據(jù)勾股數(shù)組可知，當(dāng)已確定兩個(gè)勾股數(shù)，另一個(gè)勾股數(shù)就應(yīng)該是一定的，而且是唯一的，若滿足勾股數(shù)組，只有,當(dāng)時(shí)，根據(jù)通解公式，只有，顯然不符合原式?jīng)]有非零整數(shù)解的條件，根據(jù)原式的條件，，這此情形下，又不能滿足勾股數(shù)組的條件，所以在兩個(gè)勾股數(shù)組方程中，至少有一個(gè)方程不能滿足是勾股數(shù)組的條件的，從而得出上述的結(jié)論.

評(píng)論從證明的過(guò)程可知，無(wú)論是論證的過(guò)程還是用幾何圖形的分析，該解法確實(shí)是很奇妙的，很長(zhǎng)一段時(shí)間以來(lái)，通過(guò)運(yùn)算的方式都沒(méi)有證明結(jié)果，忽然有一天產(chǎn)生靈感而恍然大悟.現(xiàn)在想起來(lái)，x4+y4=z4不定方程沒(méi)有非零整數(shù)解的過(guò)程竟是如此之簡(jiǎn)單，原來(lái)如此.

據(jù)有關(guān)資料的考證，當(dāng)年費(fèi)爾馬自稱是求證了x4+y4=z4不定方程沒(méi)有非零整數(shù)解的證明，但沒(méi)有留下論證過(guò)程.我想，當(dāng)年費(fèi)爾馬所說(shuō)的絕妙方法可能就是指這種論證方法的(因?yàn)楫?dāng)年費(fèi)爾馬是從研究畢達(dá)哥拉斯定理時(shí)而想到的，這種證法正是運(yùn)用了該定理和勾股數(shù)組理論的)，之后，許多大數(shù)學(xué)家都求證過(guò)x4+y4=z4不定方程沒(méi)有非零整數(shù)解，但都是采用高深的復(fù)變函數(shù)理論和深?yuàn)W的數(shù)論知識(shí)而求證的.我想，這肯定不是費(fèi)爾馬當(dāng)時(shí)宣稱的求證方法，據(jù)考證，目前還沒(méi)有出現(xiàn)相同的證明的方法，這種方法即簡(jiǎn)潔明了，又奇妙無(wú)比.它的奇妙之處在于，一般的情形下，人們對(duì)某個(gè)問(wèn)題的求解或論證，其邏輯思維都是采用運(yùn)算的方式，只是很難想到用在兩個(gè)聯(lián)立的直角三角形方程中采用畢達(dá)哥拉斯定理和勾股數(shù)組(整數(shù)解)判定法，該方法即不用復(fù)雜的計(jì)算，也不用高等的復(fù)變函數(shù)、數(shù)論、群論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)理論，而只要仔細(xì)的分析和判斷就可證明了(只要掌握畢達(dá)哥拉斯定理和勾股數(shù)組的關(guān)系就足夠了).

三、以新視角求證當(dāng)n=2t(t為大于1的自然數(shù))時(shí)，不定方程xn+yn=zn沒(méi)有不為零的整數(shù)解

當(dāng)n=2t(t為大于1的自然數(shù)),

符合X2+Y2=Z2的形式,

因?yàn)楫?dāng)X2+Y2=Z2時(shí),

X=2ad,

Y=d2-a2,

Z=d2+a2,

這時(shí)t又分兩種情形，一種情形為t=2p，另一種情形為t=2p+1.

當(dāng)t=2p時(shí)

從上式中可以看出

該式也無(wú)整數(shù)解，也說(shuō)明當(dāng)n=2t,t=2p，即n=4p時(shí)

當(dāng)p為任意正整數(shù)時(shí)都無(wú)正整數(shù)解.

完全符合已證明的x4+y4=z4的形式.

當(dāng)t=2p+1時(shí),

若該式有整數(shù)解，則x4p+2必為平方數(shù)，

根據(jù)前面的證明，該式無(wú)正整數(shù)解，也說(shuō)明當(dāng)n=2t,t=2p+1時(shí),

四、以新視角求證當(dāng)n=2t+1(t為自然數(shù))時(shí),不定方程xn+yn=zn沒(méi)有不為零的整數(shù)解

當(dāng)n=2t+1時(shí)(t為自然數(shù)時(shí)),

此時(shí)符合X2+Y2=Z2的形式,

因?yàn)楫?dāng)X2+Y2=Z2時(shí),

所以

因ad皆為正整數(shù),

根據(jù)前式的證明，在該情形下，無(wú)正整數(shù)解.

幾何解析同理，在一般的情形下，即當(dāng)n=2t時(shí)，或n=2t+1(t為任意自然數(shù))時(shí)，即當(dāng)n>2時(shí),

構(gòu)成一個(gè)聯(lián)立方程，所以，也可以用幾何圖形來(lái)分析證明上述的結(jié)論：如圖所示(當(dāng)n>2時(shí)).

式中：直角三角形△ABC可表示成

所以可寫(xiě)成d2=y2+a2,

(當(dāng)n>2時(shí)的幾何關(guān)系圖)z2=d2+a2.

所以又可畫(huà)出直角三角形△ADC和△ABE，同x4+y4=z4的證明過(guò)程一樣(證明從略).

當(dāng)n=2時(shí)，因只有關(guān)系式X2+Y2=Z2，所以幾何圖形為：

即上述證明的通解.

評(píng)論回顧上述的結(jié)論，就驗(yàn)證了當(dāng)年費(fèi)爾馬所得出的結(jié)論.我認(rèn)為事實(shí)上，當(dāng)年費(fèi)爾馬也是按上述的邏輯關(guān)系而推論的，也沒(méi)有求當(dāng)n>2(除n=4)以外

的不定方程的解，也沒(méi)有這個(gè)必要.因?yàn)楦鶕?jù)推論已經(jīng)屬于普遍性的結(jié)論，是非常準(zhǔn)確的.

三百多年來(lái)，人們都熱衷于求證該不定方程，不僅僅是因?yàn)樗兄T人的一面，還因?yàn)樗}目的本身是屬于初等數(shù)學(xué)的范疇，多年未解出的原因是證明的思路不正確，把問(wèn)題想的復(fù)雜化了(如x4+y4=z4沒(méi)有非零整數(shù)解的證明，從上述的證明過(guò)程來(lái)看，只運(yùn)用了畢達(dá)哥拉斯定理和勾股數(shù)組的概念，非常簡(jiǎn)單明了，沒(méi)有必要用復(fù)雜的復(fù)變函數(shù)和數(shù)論進(jìn)行求證)，同時(shí)也忽略了冪與冪之間的聯(lián)立關(guān)系，如果不考慮冪與冪之間的聯(lián)立關(guān)系，而單純的求解n>2的任意正整數(shù)時(shí)的不定方程，那將是難上加難，而用初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)那將是無(wú)法求解的.這就好比一個(gè)問(wèn)題一旦被蒙上神秘的面紗，就無(wú)法看清它的真面目一樣.如果一旦揭開(kāi)它的面紗，又使人豁然開(kāi)朗一樣，我想該不定方程就屬于這類性質(zhì)，多年以來(lái)，我堅(jiān)信當(dāng)年費(fèi)爾馬一定是用初等數(shù)學(xué)方面的知識(shí)而求證的，當(dāng)然不會(huì)用群論(那時(shí)還沒(méi)有群論的概念)，等現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論而求證.只是方法很巧妙而已.通過(guò)上述的求證過(guò)程來(lái)看，不論是n=4時(shí)的求證，或是n為大于2的任意正整數(shù)時(shí)的求證和推演過(guò)程確實(shí)很巧妙，很奇妙，也很嚴(yán)謹(jǐn).

綜合以上的證明結(jié)果，這就證明了“費(fèi)爾馬(Fenmat)大定理”.即：不可能把一個(gè)整數(shù)的立方表示成兩個(gè)整數(shù)的立方和，也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪表示成兩個(gè)整數(shù)的四次冪之和，這也就是說(shuō)不定方程xn+yn=zn在n大于2的任意整數(shù)時(shí)，沒(méi)有不為零的整數(shù)解.

通過(guò)以上的證明過(guò)程可以看出，從n=4時(shí)沒(méi)有非零整數(shù)解的證明，以至n為任意大于2的整數(shù)皆沒(méi)有非零整數(shù)解的論證，都是采用初等代數(shù)的方法而求解求證的，非常符合費(fèi)爾馬當(dāng)時(shí)的年代，據(jù)有關(guān)資料考證，當(dāng)年費(fèi)爾馬也是從研究X2+Y2=Z2的整數(shù)解開(kāi)始思考的，繼而求證了x4+y4=z4無(wú)非零整數(shù)解，又推導(dǎo)出xn+yn=zn當(dāng)n>2時(shí)沒(méi)有非零整數(shù)的過(guò)程.而且非常巧妙，所謂的巧妙其實(shí)就是一個(gè)好方法.

多年以來(lái)，很多的數(shù)學(xué)家都在研究該費(fèi)爾馬大定理的求證，也取得了很大的進(jìn)展，雖然如此，還沒(méi)有找到一個(gè)普遍性的證明，至到1993年，這個(gè)數(shù)學(xué)難題才由英國(guó)數(shù)學(xué)家威利斯(Andrew Wiles)所解決，其實(shí)威利斯是利用二十世紀(jì)過(guò)去三十年來(lái)抽象數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果才加以證明的，顯然不是當(dāng)年費(fèi)爾馬的證明思路，至此我們應(yīng)該尋求當(dāng)年費(fèi)爾馬的證明.

近期，在網(wǎng)上查閱了大量的各式各樣的關(guān)于費(fèi)爾馬大定理的證明方法和證明過(guò)程.從證明的過(guò)程來(lái)看，有初等的，也有用復(fù)變函數(shù)的，有用無(wú)窮遞降法的，也有用數(shù)論、群論的，但都不是費(fèi)爾馬當(dāng)年證明的方法.不論是正確或錯(cuò)誤，從解題的過(guò)程來(lái)看，一是不符合費(fèi)爾馬的時(shí)代背景，二是沒(méi)有看到奇妙之處.我想，證明費(fèi)爾馬大定理的意義在于，一是要求證費(fèi)爾馬大定理的正確性，二是要符合費(fèi)爾馬的年代和費(fèi)爾馬的思維邏輯，與費(fèi)爾馬所論證的奇妙性相吻合.當(dāng)年費(fèi)爾馬正是在研究畢達(dá)哥拉斯定理的整數(shù)解問(wèn)題時(shí)，才有了費(fèi)爾馬大定理.事實(shí)上，從上述的證明過(guò)程看，從冪的四次方不定方程到冪的n次方不定方程都反復(fù)運(yùn)用了畢達(dá)哥拉斯定理和勾股數(shù)組(整數(shù)解)的關(guān)系，真是對(duì)畢達(dá)哥拉斯定理的詮釋和運(yùn)用典范.這正是費(fèi)爾馬當(dāng)年的絕妙的證明方法，可以對(duì)眾多紛繁復(fù)雜的費(fèi)爾馬大定理的證明畫(huà)上一個(gè)圓滿的句號(hào)了，這也正是我多年尋求證明費(fèi)爾馬大定理的初衷.

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