平面幾何性質(zhì)在圓錐曲線中最值的應(yīng)用

袁明煥

(福建省壽寧縣第一中學(xué) 355500)

一、利用幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化最值問(wèn)題利用幾何性質(zhì)減少做題失誤

圓錐曲線最值問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一.圓錐曲線是幾何圖形的一種，最值問(wèn)題，研究的量也是幾何量.所以在解決圓錐曲線的最值問(wèn)題過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)用到圓錐曲線的定義方程以及幾何性質(zhì).通過(guò)利用幾何性質(zhì)來(lái)解答圓錐曲線的最值問(wèn)題，能夠從一定程度上簡(jiǎn)化問(wèn)題，節(jié)約做題時(shí)間，提高做題效率.橢圓是平面內(nèi)兩定點(diǎn)F1,F2的距離和等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.而雙曲線則是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡. 即│PF1│-│PF2│±2a.

首先咱們來(lái)分析一下這一道題，這是一道比較經(jīng)典的題型，第一問(wèn)求橢圓的方程非常簡(jiǎn)單，但是第二問(wèn)難度就比較大了，把橢圓和拋物線結(jié)合起來(lái)，光看圖形就能感覺(jué)到題目很難，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較復(fù)雜和繁瑣.但是利用幾何性質(zhì)等知識(shí)我們就可以很容易的把題目分析清楚，并解出答案.這道題考查的是學(xué)生對(duì)于幾何基本思想的掌握和一種綜合的解題技能.只要我們好好分析就不難發(fā)現(xiàn)這道題主要用到的知識(shí)點(diǎn)是橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，還有直線和橢圓拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).

(2)如圖，我們可以先把M,N,P點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來(lái)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2,y2),P點(diǎn)利用點(diǎn)斜式來(lái)表示就是(t,t2+h),根據(jù)這個(gè)條件我們可以知道，拋物線C2在點(diǎn)P處的切線斜率為k=2t，直線MN的方程為y=2tx-t2+h然后如果我們?cè)侔堰@個(gè)式子代入到橢圓C1的方程中去，就會(huì)得到一個(gè)方程組，

4x2+(2tx-t2+h)2-4=0

整理得，

①4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.

然后圖中給出的另一個(gè)條件是直線MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn).我們需要用這個(gè)條件來(lái)判斷Δ的正負(fù)，所以①式中Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.

又因?yàn)閺念}目所給出的條件中我們可以看出來(lái)x4=x3,

∴t2+(1+h)t+1=0③,

∴Δ2=(1+h)2-4≥0.

解得h≥1或h≤-3

接下來(lái)我們來(lái)分情況進(jìn)行分析，當(dāng)h≤-3時(shí)，h+2<0，4-h2<0，在這種情況下不等式②不能成立，∴h≤-3不能成立，所以h≥1.很多人做到這一步就以為完成了，但是其實(shí)我們還需要把h=1代進(jìn)去檢驗(yàn)一下，看看結(jié)果是否正確，從而避免失誤.當(dāng)h=1時(shí)，把它代入方程③式得t=-1，然后我們?cè)侔裻=-1,h=1代入不等式②中去，可以成立，所以h的最小值是1.

通過(guò)完整的解題過(guò)程來(lái)看，這道題在解答過(guò)程中充分地利用了圓錐曲線的幾何性質(zhì)，具有很強(qiáng)的技巧性，通過(guò)對(duì)于幾何性質(zhì)的分析，思路清晰，過(guò)程比較簡(jiǎn)單，對(duì)于簡(jiǎn)化題目非常有幫助，再加上驗(yàn)證過(guò)程，非常有利于降低做題失誤.

二、利用幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化最值問(wèn)題

幾何法是圓錐曲線最值問(wèn)題的基本解決方法之一，它的原理是通過(guò)分析幾何量之間的相互關(guān)系，利用平面幾何的知識(shí)得到解決方法.例如，我們可以利用拋物線上的點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和來(lái)構(gòu)建方程解決最值問(wèn)題.幾何的性質(zhì)非常簡(jiǎn)潔明了，相對(duì)于代數(shù)法而言，它有利與我們?cè)谧鲱}中減少失誤，提高正確率.有些時(shí)候我們也可以將圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為平面幾何的相關(guān)問(wèn)題，再利用平面幾何的知識(shí)，像對(duì)稱性、三角形的三邊相互關(guān)系、平行線間距離等進(jìn)行解答.

例如：已知點(diǎn)M(3，2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng)，當(dāng)|PM|+|PF|取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為____．

分析本題若建立目標(biāo)函數(shù)來(lái)求|PM|+|PF|的最小值是困難的，若巧妙地利用拋物線定義，結(jié)合圖形則問(wèn)題不難解決．

利用這種轉(zhuǎn)化為幾何性質(zhì)的方法來(lái)解答最值問(wèn)題，能夠簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率，我們應(yīng)該多加練習(xí)和運(yùn)用.

圓錐曲線問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)遇到一些求極值的問(wèn)題，今天給大家介紹的這兩種運(yùn)用平面幾何性質(zhì)解決圓錐曲線最值問(wèn)題的方法，經(jīng)過(guò)了深入的分析和大量的應(yīng)用實(shí)踐，事實(shí)證明這是一種獨(dú)特但又并不離經(jīng)叛道的好方法，希望大家可以認(rèn)真思考，舉一反三，有所收獲和飛躍.

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