一道邏輯試題的多視角求解

劉勝林

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高中 435400)

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動(dòng)是數(shù)學(xué)解題，數(shù)學(xué)解題是在數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下，利用數(shù)學(xué)方法與技能形成解題思路的思維活動(dòng). 對(duì)一些典型的數(shù)學(xué)試題進(jìn)行一題多解、多題一解，不僅可增強(qiáng)各知識(shí)、方法間的縱橫聯(lián)系形成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，還可有效訓(xùn)練學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的能力，開拓學(xué)生的視野，對(duì)提高學(xué)生的綜合解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有脾益. 下面是我校近期周測(cè)中的一道邏輯試題，本文將從不同的思維入口來(lái)切入探析演繹別樣精彩.

題目命題p:log2(6x+12)≥log2(x2+3x+2)，命題q:4ax+a<2x2-2x-3.

(1)若p為真命題，求x的取值范圍；

(2)若p為真命題是q為真命題的充分條件，求a的取值范圍.

本題是一道立足于邏輯的試題，該試題主要考查指、對(duì)數(shù)型不等式、含參的一元二次不等式的解法、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及綜合分析解決問(wèn)題的能力. 雖題面精巧，題設(shè)條件簡(jiǎn)約，但內(nèi)涵豐富，具有一定的典型性與示范性. 讀罷研磨，發(fā)現(xiàn)試題入口平實(shí)、思路寬泛，若從不同的思維視角來(lái)切入可得不一樣的精彩. 從某種意義上來(lái)說(shuō)，本題值得探究.

第一問(wèn)解對(duì)數(shù)型不等式得：p為真命題時(shí)，-1

視角1 基于等價(jià)轉(zhuǎn)化后的命題q:2ax+2a

解法1 由(1)知p:-10. ∵p為真命題是q為真命題的充分條件，∴p?q，從而有：當(dāng)-1<3+2a即a>-2時(shí)，q:x>3+2a或x<-1，此時(shí)p?q，不合題意舍去；當(dāng)-1>3+2a即a<-2時(shí)，q:x>-1或x<3+2a，此時(shí)p?q，合乎題意；當(dāng)-1=3+2a即a=-2時(shí)，q:x≠-1，此時(shí)p?q，合乎題意. 綜上知：a≤-2.

點(diǎn)評(píng)本解法將目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到p、q兩集合間的關(guān)系上來(lái)數(shù)形結(jié)合分析求解，通俗自然、易于上手，是該類問(wèn)題的一種常見求解策略. 其中對(duì)含參的一元二次不等式的求解著實(shí)考查學(xué)生的基本功底，平凡之處見真功.

視角2 考慮到命題p:-1

解法2 易知命題p:-10在x∈(-1,5]上恒成立. ∵-1-4，∴2a≤-4，得a≤-2.

點(diǎn)評(píng)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到不等式2ax+2a

視角3 注意到命題q:2ax+2a0在x∈(-1,5]上恒成立時(shí)參數(shù)a取值范圍的求解，可利用二次函數(shù)f(x)=x2-(2a+2)x-3-2a的圖象數(shù)形結(jié)合分析探究.

點(diǎn)評(píng)利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)數(shù)形結(jié)合解決一元二次不等式恒成立問(wèn)題，是該類試題一種最基本且極為常見的做法. 但值得注意的是，在使用該做法處理一元二次不等式恒成立時(shí)，要特別留意二次函數(shù)圖象上的一些關(guān)鍵點(diǎn)(如本題中f(-1)=0)對(duì)二次函數(shù)圖象的影響，這樣可使問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)捷明了，否則問(wèn)題的求解就會(huì)變得很被動(dòng)繁瑣起來(lái).

通過(guò)對(duì)上述試題進(jìn)行不同思維視角的探究可以發(fā)現(xiàn)，上述三種解法雖方式不同，但均從不同的層面揭示了該類試題的通性通法，可謂是各有千秋. 其中解法1利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求解含參的一元二次不等式，繼而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩集合間的關(guān)系上來(lái)數(shù)形結(jié)合求解，樸實(shí)之處體現(xiàn)了扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底；解法2解法3將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到不等式恒成立求參數(shù)取值范圍這類熟知的問(wèn)題上來(lái)，對(duì)學(xué)生綜合分析處理問(wèn)題的能力提出了一定的要求，要求學(xué)生具有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 特別是當(dāng)含參的一元二次不等式無(wú)法求解(或非一元二次不等式)時(shí)，該做法更顯得尤為珍貴、勢(shì)在必行. 其中解法3利用二次函數(shù)圖象來(lái)解決一元二次不等式恒成立問(wèn)題，是對(duì)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而解法2通過(guò)分離參數(shù)進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到求具體函數(shù)在給定區(qū)間上的最值上來(lái)求解，相比于法三，其適應(yīng)性更廣泛. 題不在難，有“涵”則靈. 在平日教學(xué)中，要多關(guān)注具有典型性、示范性的一些基礎(chǔ)試題、基本問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，要及時(shí)的探究、歸納與總結(jié)，通過(guò)試題的探究活動(dòng)，深化思維自然凸顯優(yōu)美解法，這樣才能使我們的解題教學(xué)真正回歸到基礎(chǔ)知識(shí)、基本問(wèn)題上進(jìn)行探究，提煉思想與方法，進(jìn)而形成高效課堂.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉勝林.一道高考試題的多視角求解[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015(4).