基于磁偶極子磁場(chǎng)分布特征的磁矩方向估算方法

，， ，,2

(1.海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033；2.海軍海洋測(cè)繪研究所，天津 300061)

0 引言

磁矩是描述物體磁特性的一個(gè)重要參數(shù)，磁矩測(cè)量對(duì)于衛(wèi)星的姿態(tài)控制[1-2]、磁性目標(biāo)的消磁及磁防護(hù)[3]工作都具有重要的意義。

為解決磁性目標(biāo)磁矩的反演問(wèn)題，陳進(jìn)明等[4]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法對(duì)磁矩反演進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算，并對(duì)反演過(guò)程中的魯棒性較差的現(xiàn)象進(jìn)行了自適應(yīng)修正；洪咸?hào)|等[5]對(duì)水雷磁矩測(cè)量過(guò)程中的測(cè)量誤差進(jìn)行了建模，分析了測(cè)量距離、傳感器長(zhǎng)度以及傳感器直徑等因素對(duì)測(cè)量誤差的影響；亓亮等[6]利用磁傳感器陣列系統(tǒng)測(cè)量輻射體的空間磁場(chǎng)分布，然后通過(guò)計(jì)算解算出輻射體的磁矩，但該方法同樣需要進(jìn)行迭代收斂計(jì)算，求解的精度與選用的方法有關(guān)。這些磁矩反演的問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為了非線性優(yōu)化問(wèn)題，直接根據(jù)磁場(chǎng)數(shù)據(jù)優(yōu)化求解磁矩。

對(duì)于非線性問(wèn)題的求解，其計(jì)算方法的選取具有一定的隨機(jī)性，求解結(jié)果受所選用的方法以及初值的設(shè)定影響較大。為避免磁矩反演時(shí)的非線性優(yōu)化問(wèn)題，本文提出了基于磁偶極子磁場(chǎng)分布特征的磁矩方向反演方法。這里的磁場(chǎng)分布特征主要包含磁梯度張量[7-8]分布和磁場(chǎng)矢量分布兩部分。

1 特征平面上磁梯度張量奇異性分析

設(shè)源點(diǎn)磁偶極子所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，磁偶

極子磁矩為M=(mx,my,mz)，場(chǎng)點(diǎn)A(x,y,z)處的空間磁場(chǎng)為：

(1)

對(duì)式(1)中Bx、By、Bz分別在x、y、z三個(gè)方向上求偏導(dǎo)，得到磁梯度張量G中的9個(gè)量，磁梯度張量可表示為：

(2)

式中：

計(jì)算得到磁梯度張量G的3個(gè)特征值分別為

(3)

根據(jù)式(3)中特征值的表達(dá)式可知特征值λ2<0、λ3>0，若特征值λ1=0，即xmx+ymy+zmz=0，磁梯度張量為奇異陣，則此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)位于磁偶極子的特征平面[9]上；反過(guò)來(lái)若場(chǎng)點(diǎn)位于特征平面上，則有xmx+ymy+zmz=0，此時(shí)特征值λ1=0，磁梯度張量為奇異陣?？芍?，所有滿足磁梯度張量矩陣奇異的場(chǎng)點(diǎn)均位于特征平面P上，滿足這一條件的場(chǎng)點(diǎn)位置矢量r與磁矩M是垂直的。

2 磁矩方向估算方法

2.1 特征平面法向量的計(jì)算

如圖1所示，O為磁偶極子源點(diǎn)，M是磁矩，平面P是磁偶極子的特征平面，位于平面P上的兩條直線L1和L2稱為特征線。特征線L1、L2與磁矩M是相互垂直的。

任意與特征平面不平行的面上的磁梯度張量奇異點(diǎn)都位于同一條直線上，這條直線是該平面與特征平面的相交線。因此若能計(jì)算得到不重合的兩個(gè)平面上的特征線L1和L2，就可以唯一確定特征平面P的位置，進(jìn)一步可求得特征平面P的法向量Im，法向量Im與磁矩M是平行關(guān)系，若要進(jìn)一步使Im的方向與磁矩M的方向一致，需要結(jié)合磁偶極子磁場(chǎng)分布特征對(duì)Im方向進(jìn)一步進(jìn)行標(biāo)定。

2.2 磁矩方向的計(jì)算

圖2為磁偶極子磁場(chǎng)沿磁矩的剖視圖，圖中給出了磁力線及其指向。坐標(biāo)原點(diǎn)O為磁源位置，以磁矩的指向?yàn)閆軸的正向，P是特征平面，A是場(chǎng)點(diǎn)，B為磁場(chǎng)矢量。

圖中磁偶極子的特征平面P將磁場(chǎng)空間劃分成為上下兩部分，上半部分磁力線的走勢(shì)呈現(xiàn)從磁源向四周發(fā)散的趨勢(shì)，記為磁場(chǎng)發(fā)散區(qū)，在發(fā)散區(qū)內(nèi)場(chǎng)點(diǎn)A位置失量OA與磁矩M的夾角小于90°；下半部分磁力線的走勢(shì)呈現(xiàn)從四周向磁源匯聚的趨勢(shì)，記為磁場(chǎng)匯聚區(qū)，在匯聚區(qū)內(nèi)場(chǎng)點(diǎn)A位置矢量OA與磁矩M的夾角大于90°。失量OA與磁矩M的夾角計(jì)算公式：

(4)

場(chǎng)點(diǎn)A處的磁場(chǎng)B與場(chǎng)點(diǎn)位置矢量OA的夾角：

(5)

根據(jù)式(4)、式(5)可知，cosθ和cosβ的符號(hào)相同，僅與xm1+ym2+zm3的正負(fù)有關(guān)。因此，若cosβ>0，則有cosθ>0，即場(chǎng)點(diǎn)位于發(fā)散區(qū)，此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)矢量OA與磁矩M的夾角θ<90°；若cosβ<0，則有cosθ<0，即場(chǎng)點(diǎn)位于匯聚區(qū)，此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)矢量OA與磁矩M的夾角θ>90°。即在某一指定的場(chǎng)點(diǎn)A處，可以根據(jù)OA與B的夾角關(guān)系確定OA與磁矩M的夾角關(guān)系，進(jìn)而對(duì)向量Im的方向進(jìn)行判定，最后實(shí)現(xiàn)磁矩方向的估算。

3 仿真及誤差分析

在實(shí)際的測(cè)量計(jì)算中，由于存在多種因素的影響使得測(cè)量數(shù)據(jù)與理論值之間存在差異，根據(jù)矩陣特征值λ1=0來(lái)判斷某一矩陣是否為奇異陣往往是比較困難的，較為可行的做法是根據(jù)條件數(shù)的大小來(lái)判斷矩陣是否奇異或接近于奇異，條件數(shù)大的為奇異矩陣或接近于奇異矩陣，若奇異，則該場(chǎng)點(diǎn)位于特征平面上。因此，可以在某一區(qū)域范圍內(nèi)取多個(gè)場(chǎng)點(diǎn)，根據(jù)場(chǎng)點(diǎn)處的磁梯度張量矩陣的條件數(shù)來(lái)判斷該場(chǎng)點(diǎn)是否位于特征平面上。

設(shè)偶極子的磁矩M=(1 000，-1 430，3 600)A·m2，在空間Z=-3 m的平面上，取定矩形測(cè)量區(qū)域X、Y的范圍為-19

結(jié)合圖3中的三維視圖分析可知，在計(jì)算空間中出現(xiàn)了磁張量矩陣條件數(shù)異常的現(xiàn)象，大部分場(chǎng)點(diǎn)處磁張量矩陣的條件數(shù)都比較小，不超過(guò)10，小部分場(chǎng)點(diǎn)處的條件數(shù)明顯超過(guò)其他場(chǎng)點(diǎn)很多，達(dá)到幾百甚至上千。從俯視圖上可以看出，條件數(shù)較大的點(diǎn)基本分布在一條直線附近，根據(jù)上節(jié)的分析可以判斷，這條直線是特征平面P與Z=-3平面的相交線，在此稱為特征線。擬合得到特征線L1(圖中斜線)的曲線方程：

同樣，在Z=3的平面上選擇同樣大小的測(cè)量區(qū)域進(jìn)行場(chǎng)點(diǎn)磁張量矩陣條件數(shù)的計(jì)算，將場(chǎng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的條件數(shù)繪制于圖4中。

與圖3中的結(jié)果相同，圖4顯示出在Z=3的平面區(qū)域上也存在磁張量矩陣條件數(shù)異常的現(xiàn)象，部分場(chǎng)點(diǎn)的條件數(shù)明顯超過(guò)其他場(chǎng)點(diǎn)很多，最大達(dá)到1 000以上。從俯視圖上可以看出，這些條件數(shù)較大的場(chǎng)點(diǎn)近似分布在一條直線附近，這條直線是特征平面P與Z=3平面的相交線。擬合得到特征線L2(圖中斜線)的曲線方程：

如圖5所示，特征線L1和L2位于平面P上，磁矩M與L1和L2是相互垂直的關(guān)系，因此可根據(jù)特征線L1和L2的空間位置關(guān)系初步計(jì)算出與磁矩M平行的空間向量Im，即特征平面的法向量。

直線L1、L2在Z=0平面上投影的位置關(guān)系：

1)在Y軸截距相差：

Δb=21.598 8-6.463 6=15.135 2

2)投影直線的傾斜角(與X軸夾角)：

α=arctan(0.701 6)=0.611 8

3)兩投影直線間距：

Δb′=Δbcosα=12.389 9

直線L1、L2所確定的特征平面P與Z=0平面的夾角：

β=arctan(Δh/Δb′)=
arctan((3-(-3))/13.810 3)=0.451 0

設(shè)Iy=±(0,1,0)是平行于Y軸的單位向量，將Iy首先繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，然后再繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，即是特征平面P的一個(gè)法向量，同時(shí)也是一個(gè)與磁矩M平行的單位向量。根據(jù)歐拉旋轉(zhuǎn)關(guān)系確定出磁矩M的方向：

(6)

下面結(jié)合磁場(chǎng)分布特征對(duì)Im的正負(fù)號(hào)進(jìn)行判定。

選取坐標(biāo)為(-19,-20,3)的場(chǎng)點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)B=(-11.747 9,-0.747 0,-15.732 7)nT，根據(jù)式(5)可以求得：

計(jì)算可知，當(dāng)式(6)中Im取正號(hào)時(shí)可滿足cosθ> 0，最終確定磁矩方向?yàn)镮m=(1,-1.425 5,3.595 7)。

計(jì)算磁矩方向Im與設(shè)定磁矩M=(1 000,-1 430,3 600)A·m2之間的夾角為

4 結(jié)論

本文提出了基于磁偶極子磁場(chǎng)分布特征的磁矩方向估算方法，通過(guò)分析磁偶極子的磁場(chǎng)分布特性，利用磁梯度張量奇異點(diǎn)確定特征平面的位置，得到與磁矩相平行的特征平面的法向量，再根據(jù)位置矢量與磁矩、磁場(chǎng)矢量所成的兩個(gè)夾角之間的關(guān)系確定法向量的具體指向，從而得到磁矩的方向。仿真結(jié)果表明，該方法有效避免了以往磁矩求解工作中需進(jìn)行非線性優(yōu)化的難題，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)磁矩的反演。估算得到的磁矩方向與設(shè)定的磁矩方向基本一致的，兩者之間的角度偏差僅為0.14°。

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