一類特殊受控混沌系統(tǒng)的電路仿真實驗

賈樂樂 劉愛民 黃亞杰 黃燮楨 白聿北

摘 要：混沌電路仿真與實現(xiàn)是非線性混沌研究中的一項重要內(nèi)容?；诰哂幸粚ξ恢脤ΨQ、穩(wěn)定性態(tài)相反平衡點的混沌系統(tǒng)，文章通過混合控制得到一個新的混沌系統(tǒng)。運用混沌電路理論，設(shè)計出實現(xiàn)新混沌吸引子的電路信號源，并通過Multisim軟件進行實驗仿真。實驗結(jié)果和分析結(jié)果一致。

關(guān)鍵詞：混沌系統(tǒng)；Multisim；電路實驗；數(shù)值仿真

中圖分類號：O415.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2018）12-0029-04

Abstract： The simulation and realization of chaotic circuits is an important part of nonlinear chaos research. In this paper， a new chaotic system is obtained by hybrid control. Using the chaotic circuit theory， the circuit signal source to realize the new chaotic attractor is designed， and the experimental simulation is carried out by Multisim software. The experimental results are consistent with the analysis results.

Keywords： chaotic system； Multisim； circuit experiment； numerical simulation

1 概述

混沌及其相關(guān)研究是當(dāng)今非線性科學(xué)研究的熱點問題，自上世紀(jì)Lorenz混沌吸引子發(fā)現(xiàn)以來[1]，對混沌系統(tǒng)研究得到了學(xué)者們的極度關(guān)注[2，3]。實踐表明，混沌系統(tǒng)在各個領(lǐng)域有普遍的應(yīng)用價值。在混沌理論及應(yīng)用研究中，混沌電路是一項非常重要的內(nèi)容，混沌電路實驗是這項內(nèi)容的基礎(chǔ)部分。

電路中混沌現(xiàn)象的研究始于1927年，荷蘭物理學(xué)家Van der Pol在氖氣燈物理電路實驗中發(fā)現(xiàn)了“不規(guī)則噪聲”，即我們后面所說的混沌現(xiàn)象。美國科學(xué)家Linsay[4]利用電子電路于1981年驗證了Feigenbaum常數(shù)。其后，美國科學(xué)家蔡少棠提出第一個混沌電路實驗。2002年，Zhong等[5]也用電路設(shè)計實現(xiàn)了Chen系統(tǒng)。其后，混沌電路得到了普遍關(guān)注[6，7]。

混沌系統(tǒng)的建模也是混沌理論研究的一項重要內(nèi)容 [8-15]。早期的混沌系統(tǒng)中，大多數(shù)系統(tǒng)有1個平衡點或者2個對稱平衡點或者3個平衡點，甚至更多個平衡點，它們共同的特征是所有平衡點不穩(wěn)定[16]。在2008年，Yang和Chen[17]提出了一個具有一個鞍點和兩個穩(wěn)定結(jié)焦點的混沌系統(tǒng)[18]。Wei和Yang在文獻[19]介紹了一類僅有兩個穩(wěn)定平衡點的混沌系統(tǒng)。引起注意的是，上述混沌系統(tǒng)有一個相同的特點，那就是兩個對稱的平衡點總是具有相同的穩(wěn)定性。最近，Liu等[20]提出了一個新的三維混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)與上述提到的系統(tǒng)不同，它的右邊只有2個二次項，形式簡單，但局部動力學(xué)行為復(fù)雜有趣，有一對位置對稱但穩(wěn)定性總是相反的平衡點。文獻[20]中對該三維混沌系統(tǒng)的平衡點結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性、Hopf分岔、奇異異宿軌道、混沌電路實現(xiàn)等內(nèi)容進行了詳細分析。

本文將在文獻[20]的基礎(chǔ)上，運用混合控制技術(shù)，構(gòu)造一個三維受控系統(tǒng)。在對系統(tǒng)局部性質(zhì)初步分析的基礎(chǔ)上，基于混沌電路理論，設(shè)計出實現(xiàn)新混沌吸引子的電路信號源，并利用Multisim軟件進行實驗仿真，檢驗數(shù)值分析結(jié)果。

2 混沌模型

在文獻[20]中Liu等人提出的三維混沌系統(tǒng)由如下方程刻畫，

=a（y-x）=-c+xz=b-y2 （1）

在系統(tǒng)（1）中，a，b，c∈R是實參數(shù)，x，y，z是系統(tǒng)狀態(tài)變量。顯然，當(dāng)c=0時，系統(tǒng)（1）在變換T（x，y，z）→T（-x，-y，-z）下是不變的。這意味著，任何非自身不變的軌道，在T變換的意義上，都會有它的“孿生”軌道。當(dāng)c≠0，b<0或b=0時，系統(tǒng)（1）沒有平衡點；當(dāng)b2+c2=0時，系統(tǒng)有非孤立平衡點Oz（0，0，z）；當(dāng)b>0時，系統(tǒng)有兩個非零平衡點E+（，，）和E-（-，-，-），且穩(wěn)定性總是相反[21]。

本文研究的是上述三維混沌系統(tǒng)的受控系統(tǒng)：

=a（y-x）=-c+xz+m（x-y）=b-y2 （2）

當(dāng)m=0時，受控系統(tǒng)（2）回歸到原系統(tǒng)。我們可以發(fā)現(xiàn)，受控系統(tǒng)（2）與原系統(tǒng)的平衡點結(jié)構(gòu)是保持一致的。通過數(shù)值仿真，我們進一步得到，當(dāng)a=1.5，b=1.7，c=0.05，m=-1.56時，系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)為0.0046，-0.0180和-0.0250。系統(tǒng)（2）具有混沌吸引子，如圖1所示，在x-y平面上的相軌跡平面圖如圖2所示。

3 電路設(shè)計與實現(xiàn)

混沌系統(tǒng)最簡單的實現(xiàn)就是進行設(shè)計電路，大量混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為都是采用設(shè)計非線性電路的實現(xiàn)來得到驗證?；煦珉娐吩O(shè)計流程如下：

首先考慮變量比例的變換壓縮。

如果變值器件的取值范圍沒有超過電源器件的最值范圍，就不需要更換取值，反之就要進行比例變換。

其次選擇便于調(diào)節(jié)以及有利于計算的電路。

反相加法器或反相運算放大器相對于同相加法或減法運算的電路中各輸入信號源相互獨立，比例運算系數(shù)調(diào)節(jié)靈活，便于調(diào)節(jié)。

所以，反相加法器活加法運算放大器更適合混沌電路的設(shè)計。如圖3-5所示。

最后，通過積分反饋放大器將混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為電路方程。

根據(jù)系統(tǒng)（2），可設(shè)計電路以及電路方程（3），如圖5所示。通過理論實驗設(shè)計畫出實物圖，圖中U1-U8的運算放大器采用的型號為NE5532AI，采用了型號為MULTIPLIER模擬乘法器，電路圖如圖6所示。

此電路的電路方程

c1=-Uc1+Uc2c2=-Uc2 +Uc1Uc3+Uc1c3=-U（3）

電路方程與系統(tǒng)（2）的方程形式一致，因此，Uc1=x，Uc2=y，Uc3=z，V=5V

即：

=-x+y=-y +xZ+x=-y2 （4）

為了實現(xiàn)與系統(tǒng)（2）相符合，我們必須選擇合適的元件參數(shù)。因此，取R1=R2=R3/0.15，R8=R10=R9/0.1，R=R11R16，R13=R12/1.56，R19=R21=R20/1.69。同時取R3=R4=R5=R6=R9=R14=R15=R16=R20=R22=R23=10kΩ，則R1=R2=66.67kΩ，R8=R10=1kΩ，R12=10MΩ，R13=6.41MΩ，R11=4.11TΩ，除此之外，取C1=C2=C3=100nF，波形的振蕩頻率約為1KHz，通過示波器才能得到的波形圖是完整并穩(wěn)定，圖7所示的圖像是通過示波器來觀察到的。

4 結(jié)束語

在非線性科學(xué)的研究中少不了混沌電路，本文對一個新的三維混沌系統(tǒng)的受控系統(tǒng)的混沌吸引子進行電路設(shè)計，運用Multisim軟件對該受控系統(tǒng)的電路進行實驗仿真。最后，選擇精確的實驗電路硬件，實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)仿真結(jié)果，并給出了完整的電路實現(xiàn)圖。

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