考慮諧波互作用的行波管歐拉非線性理論模型?

邱海艦胡玉祿胡權朱小芳李斌

(電子科技大學,微波電真空器件國家級重點實驗室,成都 610054)

(2018年1月3日收到;2018年1月18日收到修改稿)

1 引 言

行波管(traveling wave tube,TWT)是使用最廣泛的真空電子器件之一,廣泛應用于衛(wèi)星通訊、雷達和電子對抗等領域.其中空間行波管以其大功率、高效率、高可靠、長壽命以及抗輻射特性廣泛應用于衛(wèi)星和航天器的轉發(fā)器、數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)、衛(wèi)星導航定位系統(tǒng)[1?6].隨著用戶對衛(wèi)星高速數(shù)據(jù)傳輸需求的日益加劇,對空間行波管功率、效率和線性度提出了越來越高的要求.然而空間行波管的非線性注波互作用將導致諧波的產(chǎn)生,從而降低空間行波管的輸出功率.同時產(chǎn)生的諧波將與基波相互耦合,產(chǎn)生互調產(chǎn)物,進而增加系統(tǒng)的誤碼率[7].因此,亟需對空間行波管的考慮諧波互作用機理進行研究.對諧波互作用機理的研究首先需要建立考慮諧波互作用的非線性理論模型.

行波管考慮諧波互作用的非線性理論可分為基于歐拉體系的理論模型和基于拉格朗日體系的理論模型.一些早期的文獻主要采用基于拉格朗日體系的非線性理論來研究諧波.白安永等[8]、莫元龍和謝仲憐[9]以及Dionne[10]建立了考慮諧波的一維和二維的拉格朗日理論模型.Dionne[10]從仿真中發(fā)現(xiàn)諧波的產(chǎn)生與線路色散、諧波耦合阻抗以及增益的大小密切相關.基于拉格朗日體系的理論模型[11?18]往往需要借助于數(shù)值計算來實現(xiàn)求解,因而無法對諧波失真機理進行直接分析,而基于歐拉體系的理論模型具有形式簡單、易于解析求解的特點,更適于對行波管諧波失真機理進行深入地解析研究[19].因此,近年來許多學者采用基于歐拉體系的線性和非線性理論模型對行波管互作用機理進行研究.關于基于歐拉體系的注波互作用理論,Datta等[20?23]推導得到二階逼近諧波解析解,并采用信號注入技術對諧波進行抑制研究.W?hlbier等[24?27]利用歐拉非線性MUSE模型對相位失真和諧波注入機理進行了理論分析.胡玉祿等[28,29]建立了基于相位展開的歐拉非線性理論模型,但該模型只能計算基波.最近,Dong等[30]將速調管中計算諧波的方法沿用到行波管,對C波段行波管電子群聚諧波分量進行理論分析,建立考慮諧波互作用的歐拉小信號解析理論,仿真結果表明各次電流諧波在小信號區(qū)的計算結果與拉格朗日理論十分符合.然而,以上歐拉線性模型和歐拉非線性模型均無法對非線性互作用區(qū)的諧波進行描述,因此亟需建立一個能夠有效描述非線性區(qū)諧波互作用的歐拉非線性理論模型.

本文在拉格朗日體系考慮諧波互作用理論模型[16]的基礎上,將離散的粒子近似處理為流體,得到電子相位的連續(xù)分布函數(shù).然后對電子相位的連續(xù)分布函數(shù)進行傅里葉一階展開,結合貝塞爾母函數(shù)關系式,最終建立了考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型.為驗證考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型的正確性,以一支L波段空間行波管和一支C波段空間行波管[31]為例進行大信號分析,將考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型與拉格朗日理論模型進行對比.仿真結果表明:在增益1 dB壓縮點之前,考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型與拉格朗日理論模型十分符合.考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型能對增益1 dB壓縮點之前的諧波進行有效的模擬和分析.仿真結果驗證了考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型的正確性和有效性.

2 理論模型

2.1 考慮諧波互作用的拉格朗日理論模型

在考慮諧波互作用拉格朗日理論模型[16]中,相位方程可表示為

式中ω0為基波的角頻率;v0為電子的初速度;vzk為第k個電子在軸向位置z處的速度;ψk(z)為電子相位.

考慮諧波互作用的運動方程可表示為

式中n為諧波的次數(shù);γk(z)是第k個電子在z處的相對論因子;Re為取實部運算符;an(z)為歸一化諧波場幅值;c0為光速;θ=nω0z(1/Vpcc0?1/v0)為場與電子的相位差,為空間電荷參量,其中kz為冷腔傳播常數(shù),Kc為線路的耦合阻抗,I為電子注電流,b為電子注半徑,Vpc為歸一化相速,R′為等離子體頻率降低因子,為常量,m0和q0分別為電子的質量和電荷.

通過聯(lián)立一階相位方程(1)式與一階運動方程(2)式,消去相對論因子γk(z),簡化后得到二階運動方程:

考慮諧波互作用拉格朗日理論的場方程為

2.2 考慮諧波互作用歐拉非線性理論模型的推導

為了建立考慮諧波互作用歐拉非線性理論模型,采用傅里葉分析方法對拉格朗日理論的電子相位進行展開,推導得到歐拉體系的考慮諧波互作用運動方程和場方程.最后給出考慮諧波互作用歐拉非線性理論的邊界條件.

2.2.1 相位的一階傅里葉展開

基于精確的拉格朗日駐波互作用理論,將離散的粒子近似處理為流體,得到其連續(xù)的電子相位分布函數(shù)ψk(z).然后對其連續(xù)的電子相位分布函數(shù)進行傅里葉展開,這里對ψk(z)取傅里葉一階展開近似:

式中?為電子相位的初始分布;A0(z)和A1(z)分別為電子相位ψk(z)的零階和一階空間諧波分量;上標?表示變量的共軛.

將(5)式代入拉格朗日理論的運動方程(3)式,然后方程兩端同時對?積分可得

對(6)式進行簡化,可得關于電子相位直流分量A0(z)的二階微分方程:

再將(5)式代入拉格朗日理論的運動方程(3)中,兩邊同時乘以e?i?,然后方程兩端同時對?積分可得

對(8)式簡化整理后,可得關于電子相位一階分量A1(z)的二階微分方程:

將(5)式代入拉格朗日理論中的場方程可得

此時方程組(7),(9)和(10)是歐拉體系的理論模型.下面將對方程組中的積分進行簡化,從而建立考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型.

2.2.2 積分的求解

本節(jié)將對方程組(7),(9)和(10)中的積分進行解析推導.由于傅里葉一階展開(5)式又可以表示為

式中ζ1為A1(z)的幅角.

(12)式的積分需要結合貝塞爾母函數(shù)關系式進行推導,通常貝塞爾母函數(shù)關系式可寫為

其中Jm(x)為m階貝塞爾函數(shù).利用(13)式簡化(12)式中的積分發(fā)現(xiàn)僅當m=?n時,積分不為零,于是

然后將(14)式代入(12)式,簡化后可求出積分的解析表達式:

同理可得方程組中其他幾個積分的解析表達式:

2.2.3 考慮諧波互作用的歐拉非線性方程組

將(15)—(18)式代入到方程組(7),(9)和(10)中,簡化后可得考慮諧波互作用的運動方程:

考慮諧波互作用的場方程:

至此,便建立了考慮諧波互作用的歐拉非線性方程組(19)—(21)式.

2.2.4 邊界條件

通常在互作用初始位置,電子注還未進行速度調制和密度調制.因此可設置初始位置處的電子相位直流分量和電子相位一階分量以及其一階導數(shù)為零.因此有

通常場的基波初始值為a0,場的諧波初始值為0,因此有

3 數(shù)值分析

本文基于精確的考慮諧波互作用的拉格朗日理論模型,對其電子相位進行傅里葉一階展開,建立了考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型.為驗證該考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型的正確性,將其與精確的考慮諧波互作用的拉格朗日理論模型[11,12]進行對比.

3.1 模擬結構

以一支L波段螺旋線空間行波管和一支C波段螺旋線空間行波管[31]為例進行非線性分析,其互作用結構采用均勻螺距分布,高頻結構如圖1所示.電參數(shù)和高頻參數(shù)分別如表1和表2所列.

圖1 高頻結構Fig.1.High frequency structure.

表1 L波段行波管和C波段行波管的電參數(shù)Table 1.L-band and C-band TWT beam parameters.

表2 L波段行波管和C波段行波管的高頻參數(shù)Table 2.L-band and C-band TWT dispersion parameters.

3.2 拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性理論模型的對比

在L波段行波管中,圖2—圖4分別對拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型在5,10和15 GHz的功率、增益和相移進行對比.在C波段行波管中,圖5—圖7分別對拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型在1.4,2.8和4.2 GHz的功率、增益和相移進行對比.從對比圖中可以看出,在線性區(qū)到增益1 dB壓縮點,考慮諧波互作用歐拉非線性模型的功率、增益和相移與拉格朗日理論模型十分符合.

圖2 拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的輸出功率隨軸分布(L波段行波管)Fig.2.Power versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering(L-band TWT).

圖3 拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的增益隨軸分布(L波段行波管)Fig.3.Gain versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(L-band TWT).

在飽和位置附近,二者將產(chǎn)生一定差異,差異主要源于以下兩個方面:1)電子相位連續(xù)分布函數(shù)ψk(z)的傅里葉展開式僅考慮了零階分量A0(z)和一階分量A1(z),忽略了二階及二階以上分量A2(z),A3(z),A4(z),···;2) 電子超越現(xiàn)象的產(chǎn)生導致歐拉模型無法對此時的電子相位連續(xù)分布函數(shù)ψk(z)進行精確描述,進而導致二者的功率、增益以及相移產(chǎn)生誤差.

顯然,可通過考慮電子相位連續(xù)分布函數(shù)ψk(z)的高階傅里葉展開分量來提高諧波模型在飽和位置附近的計算精度,后續(xù)將對此進行研究.但需要注意的是考慮諧波互作用歐拉非線性模型的優(yōu)勢在于形式簡單,易于解析求解,能夠對行波管各種非線性特性進行更加直接和有效的分析[19],可用于非線性現(xiàn)象的產(chǎn)生機理和抑制方法的研究.而電子相位高階傅里葉展開分量的引入將極大增加方程的復雜程度,可能導致方程無法解析求解,因此電子相位高階傅里葉展開分量的引入有待商榷.

圖4 拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的相移隨軸分布(L波段行波管)Fig.4.Phase versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(L-band TWT).

圖5 拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的輸出功率隨軸分布(C波段行波管)Fig.5.Power versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(C-band TWT).

圖6 拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的增益隨軸分布(C波段行波管)Fig.6.Gain versus axial distance for Lagrangian beamwave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(C-band TWT).

圖7 拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的相移隨軸分布(C波段行波管)Fig.7.Phase versus axial distance for Lagrangian beam-wave interaction theory and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction(C-band TWT).

3.3 增益1 dB壓縮點處的對比

在L波段行波段和C波段行波管的增益1 dB壓縮點處,分別對比了拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型在不同諧波頻率處的增益(圖8和圖9).從圖中可以看出:在增益1 dB壓縮點處,考慮諧波互作用歐拉非線性模型的增益相較于拉格朗日理論模型的計算結果略微偏高,增益最大誤差不超過4%.仿真對比結果驗證了考慮諧波互作用歐拉非線性模型在增益1 dB壓縮點處的正確性和有效性.此外,W?hlbier等[25]報道的一維多頻歐拉非線性MUSE模型在整個互作用區(qū)都與拉格朗日理論存在巨大差異,即從線性區(qū)開始二者就存在很大差異,并隨著互作用的進行二者差異越來越大,在增益1 dB壓縮點處二者的基波增益相差2 dB,二次諧波增益相差3 dB.因此,相較于MUSE模型,考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型在精度上得到極大提升.

圖8 在L波段行波管增益1 dB壓縮點處,拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的增益Fig.8.Gain comparison for Lagrangian beam-wave interaction theory model and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction at 1 dB gain compression point for dif f erent harmonic frequencies in the L-band helix TWT.

圖9 在C波段行波管增益1 dB壓縮點處,拉格朗日理論模型與考慮諧波互作用歐拉非線性模型的增益對比Fig.9.Gain comparison for Lagrangian beam-wave interaction theory model and Eulerian nonlinear theory considering harmonic interaction at 1 dB gain compression point for dif f erent harmonic frequencies in the C-band helix TWT.

4 結 論

在拉格朗日體系考慮諧波互作用理論模型的基礎上,將離散的粒子近似處理為流體,得到電子相位的連續(xù)分布函數(shù).對電子相位的連續(xù)分布函數(shù)進行傅里葉一階展開,積分并結合貝塞爾母函數(shù)關系式,最終建立了考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型.應用建立的考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型對一支L波段空間行波管和一支C波段空間行波管進行大信號分析,并與拉格朗日理論模型進行對比.結果表明:考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型能有效對非線性區(qū)激勵的諧波進行分析.在增益1 dB壓縮點之前,考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型與拉格朗日理論模型十分符合,最大增益誤差不超過4%.仿真結果驗證了考慮諧波互作用的歐拉非線性理論模型的正確性和有效性.在飽和位置附近,由于考慮諧波互作用歐拉非線性模型無法對電子超越現(xiàn)象進行精確描述,導致這兩種理論產(chǎn)生一定差異.然而考慮諧波互作用歐拉非線性模型的優(yōu)勢在于形式簡單,易于解析求解,能夠對空間行波管的諧波產(chǎn)生機理進行更加直接和深入的研究.考慮諧波互作用的歐拉非線性理論為諧波計算提供了一個快速計算模型,后續(xù)工作將利用該模型對諧波的產(chǎn)生機理和抑制方法進行深入研究.

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