部分浸沒圓柱殼聲固耦合計算的半解析法研究?

郭文杰1)3) 李天勻1)2)3) 朱翔1)2)3) 屈凱旸4)

1)(華中科技大學船舶與海洋工程學院,武漢 430074)

2)(高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心,上海 200240)

3)(船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室,武漢 430074)

4)(上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院,上海 200240)

(2017年12月18日收到;2018年2月7日收到修改稿)

1 引 言

圓柱殼結構以其優(yōu)異的幾何特性、力學特性被廣泛應用于土木、化工、航空航天、海洋工程等諸多領域,比如輸油管道、儲液罐、潛艇耐壓殼等.20世紀,國內(nèi)外針對圓柱殼-流場耦合系統(tǒng)聲振問題已有大量的文獻報道[1?4],也形成了較為完善的理論體系,在這些工作中,大多數(shù)的研究均針對比如全充液或者全浸沒問題(無限流域)這種殼體與流場完全耦合的振動、聲學問題的研究.但是對于實際的工程問題,流域往往是存在邊界的,尤其是當結構靠近流體邊界時,或者結構內(nèi)帶有自由液面時,如果忽略流體邊界的影響,計算結果往往是有偏差的[5].

自由液面作為一類典型的邊界條件,其與圓柱殼結構的耦合動力學特性吸引了許多學者對其開展研究.Huang[6]基于鏡像原理研究了平面波入射下二維圓柱殼的散射聲場,Hasheminejad和Azarpeyvand[7]進一步將該方法延展到研究平面波入射下1/4空間二維圓柱的聲散射問題.白振國等[8]采用鏡像原理建立了有限水深環(huán)境中二維圓柱殼的振動聲學物理模型,并探討了潛深對聲場分布和衰減特性的影響規(guī)律.郭文杰等[9,10]基于鏡像原理和Graf加法定理建立了有限水深下有限長圓柱殼-流體耦合振動的解析模型,并基于傅里葉變換及穩(wěn)相法提出了該系統(tǒng)遠場聲壓的快速準確預報方法.

上述研究主要針對殼體結構完全浸沒在水中的情況,這一類問題中,結構完全與流場耦合,其聲振耦合方程的描述相對容易.實際上,還有一類問題,就是結構與流場部分耦合的情況,比如系泊狀態(tài)下的潛艇、艦船等.對于系泊狀態(tài)下圓柱殼聲固耦合分析的研究工作則相對較少,尤其是圓柱殼軸線平行于自由液面時的解析或半解析研究更是鮮有報道,這是因為系泊狀態(tài)下流體載荷解析表達式和耦合方程更難以得到.為了解決殼體部分充液的振動問題,Amabili[11]給出了兩種近似的方法,一種是用以圓柱圓心為原點構成的扇形邊界近似替代自由液面的方法,但是這種方法僅適用于浸沒角度較小的情況;另一種是用部分環(huán)狀區(qū)域代替原始邊界,但這種方法也僅適用于浸沒角度小于π的工況.值得注意的是,Amabili提出的第一類方法是可以推廣到殼體部分浸沒問題中[12],并明確指出浸沒角度的適用范圍僅為?π/8—π/8;但是第二類方法無法推廣到外流場.基于Amabili提出的自由液面近似處理方法,Ye等[13]研究了系泊狀態(tài)下無限長圓柱殼聲振特性.

此外,其他一些學者也研究過部分浸沒或者部分充液的殼體耦合振動問題,Selmane和Lakis[14]將圓柱殼沿周向分割成微段,再結合波動法研究了部分充液時其流固耦合特性.Ergin和Temarel[15]基于瑞利-李茲法研究了部分充液或者部分浸沒時圓柱殼固有頻率.Krishna和Ganesan[16]基于多項式級數(shù)及有限元法計算了部分充液圓柱殼固有頻率以及附連水質量.但是這些研究工作實際上僅僅考慮了濕表面流體的影響而并未考慮自由液面邊界條件的聲學效應,尚無法揭示自由液面對聲振特性的影響.另外還有一些學者通過實驗的手段分析了部分充液的圓管自振特性[17]或者附連水質量效應[18],但依然無法從機理上求解這類問題.

需要強調的是,在殼體與流場部分耦合的問題中,半充液或者半浸沒情況是個特例,因為這種模型下自由液面剛好在殼體橫截面的水平坐標軸上,容易得到流體載荷的解析表達式,可采用正弦三角級數(shù)[19]來自動滿足自由液面的邊界條件.基于這類解析表達式,Li等[20]對半浸狀態(tài)下全充液圓柱殼的聲輻射特性進行分析,李天勻等[21]針對有限長半充液圓柱殼的自由振動及受迫振動特性開展研究.盡管本文工作是要解決部分浸沒這類更為普遍的工況,而文獻[19—21]中的研究工作僅能解決半浸沒這種特殊工況.但是,文獻[19—21]中關于在半浸沒情況下通過采用正弦三角級數(shù)來自動滿足自由液面下的聲壓釋放條件的思路卻可以借鑒到本文的研究工作中來.

針對更一般的殼體與流場部分耦合,如部分浸沒等問題,此時自由液面與圓柱殼的圓心不共面.這給問題的描述和求解帶來了很大的挑戰(zhàn).為解決這個問題,本文將聲壓函數(shù)和殼體位移函數(shù)建立在不同的坐標系下.具體來講,將聲場坐標系的原點建立在自由液面上,并采用正弦三角級數(shù)來滿足自由液面上的聲壓釋放邊界條件;將殼體運動方程建立在以圓柱圓心為坐標原點的坐標系下.由此,便可以分別得到聲壓函數(shù)與殼體位移函數(shù)在各自坐標系下的解析表達式,為解析求解部分浸沒問題奠定了基礎.然后,再利用Galerkin法處理結構與聲場部分聲固耦合的界面上的速度連續(xù)條件,并通過兩坐標間的幾何關系求得聲壓幅值與殼體位移幅值之間的關系矩陣,最終便可以求解該聲固耦合系統(tǒng)方程.本文方法的提出可以便捷有效地解決系泊狀態(tài)下圓柱殼的聲振問題,豐富了該問題理論研究的內(nèi)涵,也為解析求解浮態(tài)問題提供了新的思路.

2 理論分析

2.1 物理模型

為了便于研究,本文假設圓柱殼軸向是無限長的,且激勵力沿軸向是均勻分布的,由此本文的數(shù)學物理模型是一個典型的平面應變模型(即二維模型).二維圓柱殼厚度為h,中面半徑為Rs,楊氏模量為E,泊松比為μ;密度為ρs,部分浸沒于密度為ρf;聲速為cf的流體中,殼體軸系與自由液面平行.如圖1所示,以殼體圓心O為坐標原點的極坐標系(r,φ)為結構坐標系,φ的取值范圍為0—2π,以殼體圓心正上方與自由液面的交點Q為原點的極坐標系(R,θ)為聲場坐標系,θ的取值范圍為0—π,

圖1 物理模型坐標圖Fig.1.Coordinate figure of the physical model.

定義Q點到O點距離為浸沒深度H,浸沒角度α滿足sinα=H/Rs,當自由液面在殼體圓心下方時,H取值為負值.兩類坐標系與平面上任一點的夾角定義為β.當自由液面在殼體圓心上方時β取值為正值,在下方時β取值為負值.徑向激勵力幅值為F0,激勵角度為φ0.

2.2 聲學邊界條件

本文的物理模型是典型的聲固耦合模型,而這項研究工作的難點和重點之一就是得到滿足所有對應的聲學邊界條件的聲壓解析表達式.

首先,聲壓p必須滿足聲學Helmholtz方程:

其中kf=ω/cf為聲波波數(shù),ω=2πf為角頻率,f表示頻率,?2表示拉普拉斯算子.

其次,聲壓表達式還要滿足無限遠處Sommerfeld輻射條件:

最后,自由液面處的聲壓需滿足聲壓釋放條件(因為研究的頻率相對較高,自由表面的重力波可以忽略不計;此外由于自由液面以上空氣密度遠小于水,故作為真空處理)

實際上,當聲場坐標系原點建立在自由液面上時,可以通過采用正弦三角級數(shù)來自動滿足自由液面聲壓為零的邊界條件[19],具體形式為

其中m為正弦三角級數(shù)的序數(shù),Pm(R)為對應的聲壓幅值函數(shù).

對于自由液面上的任意點,角度θ=0或π,將其代入(4)式,可以得到自由液面聲壓的表達式:

顯然此類正弦三角級數(shù)可以用來滿足自由液面聲壓釋放條件,此外采用三角函數(shù)也更有利于應用分離變量法來求解Helmholtz方程.由此可以得到聲壓幅值函數(shù)Pm(R)的解析表達式:

其中H(1)m()為第m階第一類漢克爾函數(shù),Am為聲壓幅值.

由于第一類漢克爾函數(shù)在遠場自動滿足Sommerfeld輻射條件,因此將(6)式代入(4)式可以得到滿足以上聲學邊界條件的聲壓解析表達式:

2.3 殼體運動方程

得到聲壓的解析表達式后,接下來需要建立殼體運動方程.本節(jié)采用二維Flügge薄殼理論[22],具體的方程為(為簡潔,后文略去簡諧時間項exp(?iωt)):

其中v和w分別是殼體中面切向和徑向位移,fp表示作用在圓柱殼表面的聲載荷,f0表示外激勵力載荷,[L]是二維Flügge薄殼方程中的微分算子矩陣,具體如下:

由于殼體和聲介質是部分耦合,因此(8)式中fp應表示為分段函數(shù)的形式:

假設作用于圓柱殼的激勵力是一個沿軸向均勻分布的無限長徑向線力,激勵力位于結構坐標系的(Rs,φ0)處,則激勵力載荷可以表示為

其中δ()表示狄利克雷函數(shù).

對于圓柱殼結構,由于周向的周期性,其位移及載荷函數(shù)可以在周向展開為傅里葉級數(shù)的形式[8]:

其中Vn和Wn分別是周向和徑向位移幅值,fpn和f0n分別表示殼體表面聲載荷fp以及激勵力載荷f0的幅值,n是傅里葉周向展開序列數(shù).

因為(9)和(13)式是殼體表面聲載荷fp的不同形式的表達式,利用正交化處理,可得fpn的表達式:

由圖1可知,空間中任意點的結構坐標與聲學坐標有如下關系:

因此對于流固耦合面上任一點,令r=Rs,則(R,θ)在聲學坐標系下的坐標可以由(16)式解出:

將(17)式代入(15)式即可對fnp進行求解,但是由于積分中包含漢克爾函數(shù),無法直接進行積分計算,因此本文采用離散求和的形式來近似計算.首先將積分域均分為K段,然后取各段中點值代入求和公式中:

其中F(φ)表示需要進行積分的函數(shù),通過大量算例表明K取100時收斂性已經(jīng)很好.

同理,(10)和(14)式是外激勵力f0的不同形式的表達式,利用正交化處理,可以得到f0n的表達式:

然后將(11)—(14)式代入到(8)式中,并進行正交化處理,可以得到解耦后的殼體運動方程:

其中矩陣[T]的元素如下:T11=?2?n2,T12=T21=in,T22=1+K+Kn4?2Kn2??2.是無量綱頻率.

由(20)式可以得到僅與徑向位移幅值相關的控制方程:

其中In=T11/det(T),In與n有關,det(T)表示矩陣[T]的行列式.

很明顯,求解控制方程(21)的關鍵在于得到徑向位移幅值Wn和殼體表面聲載荷幅值fpn之間的關系.因此需要通過殼體表面流體與結構速度連續(xù)條件來求解該問題,在聲固耦合交界面處.具體方程為[10]:

因為很難直接求解速度連續(xù)方程,采用Galerkin法進行處理,可選擇的權函數(shù)有兩類,一類是殼體徑向位移的周向函數(shù),另一類是聲壓的周向函數(shù):

因此方程(22)可以轉變?yōu)镚alerkin積分的弱形式:

其中N是截斷項數(shù),即需要構造2N+1個積分方程.

由(24)式可以得到徑向位移幅值和聲壓幅值之間的關系:

其 中[Vs]和[Vp]均 是2N+1階 方 陣,{Wn}和{Am}分別表示徑向位移幅值向量和聲壓幅值向量,且{Wn}=[W?N,W?N+1,···,WN?1,WN]T,{Am}=[A1,A2,···,A2N,A2N+1]T,上標T表示轉置.

根據(jù)(16)式中兩類坐標系的幾何關系,可以將聲壓沿徑向的導數(shù)轉換到聲學坐標系下:

其中夾角β=3π/2?θ?φ.

由此,當權函數(shù)選擇殼體徑向位移的周向函數(shù)exp(inφ)時,[Vs]和[Vp]中每一個元素的具體表達式如下:

其中a,b分別表示矩陣的行和列.

當權函數(shù)選擇聲壓的周向函數(shù)sin(mθ)時,[Vs]和[Vp]中每一個元素的具體表達式如下:

由于(27)或(28)式中積分包含漢克爾函數(shù),無法直接進行積分計算,因此也采用(18)式中離散求和的方法來近似計算.

為了方便求解耦合方程,將(21)式改寫為矩陣運算方程:

其中{f0n}=F0/2π{exp(iNφ0),exp[i(N?1)φ0],···,exp(?iNφ0)}T;[G]矩陣為對角矩陣,[G]j,j=Ij?1?N;{fpn}={fp,?N,fp,?N+1,···,fp,N}T.

同時,(15)式中{fpn}也可表示為矩陣的形式:{fpn}=[Tp]{Am}.(30)其中矩陣[Tp]中每一個元素的具體表達式如下:

將(25)和(30)式代入方程(29)中,可以求解出徑向位移幅值{Wn}:

其中矩陣[J]是2N+1階單位矩陣,并且在得到徑向位移幅值{Wn}后,根據(jù)(25)式可以求解出{Am},從而可以計算聲壓.

前文求解受迫振動時,是已知激勵力及激勵頻率,求響應(徑向位移幅值).當求解自由振動時,并沒有激勵源,固有頻率是要求解的未知量.由此(32)式可以表示為

其中{0}表示零向量,顯然(33)式是個典型的特征值問題,即求解角頻率ω.

具體來講就是通過定義(33)式中系數(shù)矩陣行列式值為零來求解角頻率:

其中F(ω)表示系數(shù)矩陣的行列式值.

因為矩陣[J],[Vp],[Tp]中均含有角頻率ω,實際上矩陣的行列式值F(ω)=0是個關于角頻率隱式表達的超越方程,難以直接解出ω.因此本文采用搜根的方法進行求解,通過設置合適的搜根步長,逐步增大輸入的角頻率,當行列式值過零點時,輸出對應的角頻率,這個角頻率即為系統(tǒng)的固有角頻率.由此可以將超越方程的各階角頻率從小到大逐一求出,再根據(jù)可以得到各階固有頻率.

3 數(shù)值計算

模型參數(shù):半徑Rs=0.18 m,厚度h=0.001 m,殼體密度ρ=7850 kg/m3,楊氏模量E=206 GPa,泊松比μ=0.3,流體密度ρf=1025 kg/m3,流體聲速cf=1500 m/s.

3.1 收斂性分析

為了說明方法的收斂性,取無量綱浸沒深度H/Rs=?0.5,H/Rs=0和H/Rs=0.5,分別計算在激勵力頻率200,400,800 Hz時徑向均方根振速Vm隨截斷數(shù)N的變化規(guī)律,定義

其中vn=?w/?t表示徑向速度;則均方根速度級 VML=20lg(Vm/V0),其中基準速度V0=10?6m/s. 激勵力幅值F0=1 N,激勵角度φ0= π/4. 定義復楊氏模量E′=E(1+iη),結構阻尼η=0.01.計算中權函數(shù)選擇位移的周向展開函數(shù).

圖2 均方根速度級VML收斂性分析Fig.2.Convergence analysis of the root mean square velocity levels.

從圖2可見,均方根速度級隨著截斷項數(shù)N的增大很快趨于穩(wěn)定;并且頻率越高,達到收斂時截斷項數(shù)N的取值越大.由圖2可知,對于頻率小于800 Hz時的分析計算,N取16時已足夠收斂.

3.2 本文方法的適用性分析

對于Amabili[12]提出的自由液面近似處理方法,浸沒角度α的適用范圍僅為?π/8到π/8(無量綱浸沒深度H/Rs約為?0.38—0.38,無量綱深度為負值表示殼體的圓心在自由液面上方),而本文方法的主要優(yōu)勢就是模型中殼體部分浸沒時的浸沒深度范圍更廣.為了驗證本文的方法,無量綱浸沒深度取值為?0.9—0.9,分別計算兩種不同權函數(shù)下首階固有頻率值,并與有限元軟件Comsol仿真計算結果進行對比.其中有限元模型如圖3所示,流域以聲學坐標原點為中心,半徑取2 m,用完美匹配層模擬無限遠聲學邊界,匹配層厚度取0.05 m.網(wǎng)格包含7980個域單元和756個邊界單元.

圖3 有限元模型Fig.3.The finite element model.

表1 不同浸沒深度下首階固有頻率對比(單位為Hz)Table 1.Comparison of the fundamental frequency with dif f erent immerged depth(in Hz).

從表1可以看出,選擇位移函數(shù)或者選擇聲壓函數(shù)作為權函數(shù)時,首階固有頻率計算結果符合很好.并且無論選擇哪類權函數(shù),無量綱浸沒深度H/Rs均可以從?0.9變化到0.8(當無量綱浸沒深度過大或者過小時計算結果難以收斂),這表明本文的浸深適用范圍非常廣,方法更具有一般性.

此外,從表1還可以看出,本文方法計算結果與Comsol仿真計算結果符合良好,而且不同方法下首階固有頻率隨浸沒深度的變化規(guī)律也是一致的.這是由于隨著殼體浸沒深度的增大,流固耦合面增大,附連水質量也相應增加,因此固有頻率會逐漸減小.

3.3 準確性驗證

3.3.1 自由振動的驗證

為說明本文方法計算自由振動問題的準確性,分別取無量綱浸沒深度H/Rs=?0.7和H/Rs=0.7,計算系統(tǒng)前十階固有頻率,并與有限元軟件Comsol仿真計算結果進行對比.定義固有頻率的相對誤差Error=|f1?f2|/f2×100%.

表2 H/Rs=?0.7時前十階固有頻率對比(單位為Hz)Table 2.Comparison of the the first ten order natural frequencies when H/Rs=?0.7(in Hz).

表3 H/Rs=0.7時前十階固有頻率對比(單位為Hz)Table 3.Comparison of the the first ten order natural frequencies when H/Rs=0.7(in Hz).

從表2和表3可以看出,本文方法計算得到的前10階固有頻率值與Comsol仿真計算結果符合良好,最大相對誤差不超過1%,說明采用本文方法計算固有頻率是準確可靠的.

3.3.2 受迫振動的準確性驗證

在分析完自由振動的準確性之后,進一步分析受迫振動的準確性. 取無量綱浸沒深度H/Rs=?0.5和H/Rs=0.5,計算在激勵力頻率50—500 Hz時測點徑向速度(頻率間隔10 Hz),定義徑向速度級VL=20×log(|V|/V0),其中V為徑向速度,基準速度V0=10?6m/s.激勵力幅值F0=1 N,激勵角度φ0=0.測點位于周向角φ=π處.

從圖4可以看出,本文計算結果和Comsol仿真計算結果整體符合良好,說明本文方法分析受迫振動是準確可靠的.但是當頻率較高時(以圖4為例,大于400 Hz),誤差逐漸增大.主要的原因可能是有限元計算聲固耦合問題時,隨著頻率增大,對網(wǎng)格密度的要求也提高,計算精度會降低.

圖4 不同方法下徑向速度級對比 (a)H/Rs=?0.5;(b)H/Rs=0.5Fig.4.Comparison of the radial velocity levels with dif f erent methods:(a)H/Rs=?0.5;(b)H/Rs=0.5.

3.3.3 聲場求解的準確性驗證

為進一步說明本文方法計算聲場也是準確的,取無量綱浸沒深度H/Rs=?0.4和H/Rs=0.4,計算激勵頻率為50 Hz時聲壓幅值云圖,并與Comsol仿真計算結果進行對比.其中激勵力幅值F0=1 N,激勵角度φ0=0,云圖尺寸為1.2 m×0.6 m.

從圖5和圖6可以看出,本文方法計算得到的聲壓云圖和有限元軟件Comsol仿真計算結果符合良好,由此可以說明本文方法計算聲場是準確可靠的.

圖5 H/Rs=?0.4時不同方法下聲壓幅值云圖對比 (a)本文方法;(b)Comsol仿真Fig.5.Comparison of the sound pressure contour map with dif f erent methods when H/Rs=?0.4:(a)Present method;(b)Comsol.

圖6 H/Rs=0.4時不同方法下聲壓幅值云圖對比 (a)本文方法;(b)Comsol仿真Fig.6.Comparison of the sound pressure contour map with dif f erent methods when H/Rs=0.4:(a)Present method;(b)Comsol.

此外,值得一提的是,本文方法計算效率也非常高,以圖5或圖6中聲壓云圖的計算為例,在Matlab中僅僅需要不到2 s即可計算出精確穩(wěn)定的結果.

4 討 論

在驗證了本文方法計算聲固耦合系統(tǒng)振動及聲壓求解均準確可靠之后,進一步分析與討論部分浸沒殼體的模態(tài)振型、無量綱浸沒深度對受迫振動的影響以及遠場聲壓的指向性特征.

4.1 模態(tài)振型分析

為了更直觀地揭示聲固部分耦合系統(tǒng)自振特性,取無量綱浸沒深度H/Rs=0.7和無限域時計算得到的前4階模態(tài)振型及固有頻率.

對比表4和表5可以看出,部分浸沒工況下振型與無限域振型有差異.以H/Rs=0.7時第一階振型為例,振型函數(shù)約為cos2φ+0.25·cosφ?0.05·cos3φ,而對于無限域殼體,對應的振型函數(shù)為cos2φ(規(guī)則的周向波型).這是由于流體在周向分布不均,殼體與結構的部分耦合破壞了圓柱殼的周向的對稱性,故規(guī)則的周向波之間會發(fā)生互耦,形成復雜的振型函數(shù).

表4 H/Rs=0.7時前4階模態(tài)振型Table 4.Modal shapes of the first four orders when H/Rs=0.7.

表5 無限域時前4階模態(tài)振型Table 5.Modal shapes of the first four orders when in infinite fluid.

此外,由于自由液面的存在,系統(tǒng)僅有惟一對稱軸,對稱和反對稱模態(tài)固有頻率也存在差異.以H/Rs=0.7算例下前兩階固有頻率為例,分別為7.91 Hz和8.86 Hz,有明顯差異;但是對于無限域情況,由于系統(tǒng)具有周向對稱性,對稱和反對稱模態(tài)固有頻率是相同的,二者存在明顯區(qū)別.

另外,部分浸沒工況下,對稱和反對稱模態(tài)振型函數(shù)之間的周向波互耦程度也不盡相同.仍以H/Rs=0.7工況為例,第二階振型函數(shù)(反對稱)約為sin2φ+0.38·sinφ?0.08·sin3φ,函數(shù)各成分之間的比值由對稱模態(tài)時1:0.25:?0.05變?yōu)榉磳ΨQ時1:0.38:?0.08.而對于無限域情況,對應的振型函數(shù)為sin2φ,這也是系泊狀態(tài)下自振特性區(qū)別于無限域工況的又一特征.

4.2 均方根振速頻譜分析

3.2節(jié)中提到,隨著浸沒深度增大,流固耦合面會增大,附連水質量也會相應增加.為進一步解釋這個觀點,本文選取了H/Rs=?0.6,?0.3,0,0.3,0.6這五個深度,對比分析各工況下均方根速度級的頻譜曲線.激勵力幅值F0=1 N,激勵角度φ0=0,激勵頻率為1—100 Hz,掃頻間隔1 Hz.

從圖7可以看出,隨著浸沒深度增大(液面升高),共振峰均向低頻移動.這也是因為浸沒深度增大使得附連水質量增大,從而增加了系統(tǒng)的總質量,導致共振頻率降低,頻譜曲線整體左移.

4.3 遠場聲壓指向性分析

系泊狀態(tài)下的艦船等目標的水下輻射噪聲對于其隱蔽性有著重要意義.因此,本節(jié)進一步開展二維系泊圓柱殼遠場聲壓指向性特征的研究.

取無量綱浸沒深度H/Rs=?0.5,0,0.5,分別計算激勵頻率f=100,200 Hz時遠場聲壓級指向性圖.其中激勵力幅值F0=1 N,激勵位置φ0=π/4.遠場點取自聲學坐標系,半徑R=1000 m,角度θ取0—π,取值間隔θ/180.定義聲壓級SPL=20lg(|p|/p0),其中基準聲壓p0=10?6m/s.

從圖8可以看出,所有聲壓指向性曲線都在角度θ=π/2時(正下方)取最大值.而且盡管激勵位置并不在殼體的垂直對稱軸上,但聲壓級關于垂直對稱軸呈對稱分布.以下對這些現(xiàn)象進行物理解釋.

圖7 不同浸沒深度下均方根速度級頻譜曲線 (a)H/Rs=?0.6,?0.3,0;(b)H/Rs=0,0.3,0.6Fig.7.Spectrum curves of the root mean square velocity levels at dif f erent immersion depths:(a)H/Rs=?0.6,?0.3,0;(b)H/Rs=0,0.3,0.6.

圖8 不同浸沒深度下聲壓級指向性 (a)f=100 Hz;(b)f=200 HzFig.8.Directivity of the sound pressure levels at dif f erent immersion depths:(a)f=100 Hz;(b)f=200 Hz.

因為研究的場點位于遠場,從幾何上講,殼體濕表面上任意一點到場點的距離可以認為是近似相同的.由此水下的輻射面可以等效為一個點源,而且這個點源距離自由液面的距離在0—2Rs之間(這個距離與速度分布有關,是未知的).

基于鏡像原理[8],自由液面對水下聲場的作用可以通過在自由液面的另一側構造等距的(虛源到液面距離)以及反相位的虛源來實現(xiàn).則水下聲場可以認為是由實源和虛源共同貢獻,且虛源和實源共同作用下聲壓在自由液面上滿足為零的條件.實際上,由于實源和虛源距離較近,在低頻下,這樣的物理模型構成了偶極子模型.由此,可以得到聲偶極模型的數(shù)學表達式[8]:

其中A表示點源的聲壓幅值,R代表場點到聲學坐標原點的距離,D表示點源與鏡像源距離(D/Rs<4).

雖然D值是未知的,但并不影響分析聲壓的指向性.因為當激勵頻率不太高時,kf和D的乘積是小于π/2的.因此當遠場點位于殼體截面圓心正下方時(θπ/2),從(35)式可以看出,聲壓幅值將取最大值.此外,從(35)式中正弦三角函數(shù)的數(shù)學性質也可以看出,聲壓級曲線關于對稱軸(θ=π/2)將呈對稱分布,這也很好地契合了圖8中聲壓級指向性曲線的特征.

5 結 論

提出了一種求解系泊狀態(tài)下圓柱殼聲振問題的新方法.通過將聲壓與殼體位移建立在不同的坐標系下,方便地得到了其解析表達式,然后再利用Galerkin法以及坐標變換關系處理聲固耦合界面的速度連續(xù)條件,最終可以很便捷、高效地求解該浮態(tài)系統(tǒng)的聲振特性,也為求解半空間中彈性結構與聲場部分耦合的聲振問題提供了新的思路.具體結論如下.

1)通過對部分浸沒殼體的自由、受迫振動和輻射聲壓的求解并與有限元數(shù)值解進行對比分析,驗證了本文方法的準確性,且本文方法能適用于浸沒深度更大范圍變化的一般情況.

2)隨著自由液面的升高和下潛深度的增大,流體與結構耦合交界面積增大,導致附連水質量相應增大,從而整個系統(tǒng)的附連水質量也會增大,因此同階次固有頻率會逐漸減小.

3)部分浸沒工況下自振特性分析時,流體與結構處于部分耦合的狀態(tài),從而導致由結構傳遞到聲場中的聲波碰到聲學邊界產(chǎn)生回波,疊加形成復雜的聲場.流體介質對聲場的作用以聲負載的形式作用于結構表面,導致結構的周向波發(fā)生互耦,由此結構的周向模態(tài)振型不再是規(guī)則的波型.

4)由于自由液面的存在使得整個耦合系統(tǒng)僅有惟一對稱軸,從而破壞了圓柱殼振動在周向的任意對稱性.因此結構的對稱和反對稱模態(tài)的固有頻率會有明顯差異.

5)由于類偶極子效應,輻射聲波以及由邊界反射的聲波發(fā)生干涉.當激勵頻率相對較低時,根據(jù)相干波疊加函數(shù)的性質,遠場聲壓級的最大值總是出現(xiàn)在結構正下方.

[1]Williams W,Parke N G,Moran D A,Sherman C H 1964J.Acount.Soc.Am.36 2316

[2]Harari A,Sandman B E 1976J.Acoust.Soc.Am.60 117

[3]Fuller C R 1988J.Sound Vib.122 479

[4]Pan A,Fan J,Wang B,Chen Z G,Zheng G Y 2014Acta Phys.Sin.63 214301(in Chinese)[潘安,范軍,王斌,陳志剛,鄭國垠2014物理學報63 214301]

[5]Liu P,Liu S W,Li S 2013Ship Sci.Technol.36 36(in Chinese)[劉佩,劉書文,黎勝 2013艦船科學技術 36 36]

[6]Huang H 1981Wave Motion3 269

[7]Hasheminejad S M,Azarpeyvand M 2005J.Appl.Math.Mech.85 66

[8]Bai Z G,Wu W W,Zuo C K,Zhang F,Xiong C X 2014J.Ship Mech.18 178(in Chinese)[白振國,吳文偉,左成魁,張峰,熊晨熙2014船舶力學18 178]

[9]Guo W J,Li T Y,Zhu X,Miao Y Y,Zhang G J 2017J.Sound Vib.393 338

[10]Guo W J,Li T Y,Zhu X,Zhang S 2017Chin.J.Ship Res.12 62(in Chinese)[郭文杰,李天勻,朱翔,張帥2017中國艦船研究12 62]

[11]Amabili M 1996J.Sound Vib.191 757

[12]Amabili M 1997J.Vib.Acoust.119 476

[13]Ye W B,Li T Y,Zhu X 2012Appl.Mech.Mater.170 2303

[14]Selmane A,Lakis A A 1997J.Sound Vib.5 111

[15]Ergin A,Temarel P 2002J.Sound Vib.254 951

[16]Krishna B V,Ganesan N 2006J.Sound Vib.291 1221

[17]Hidalgo J A,Gama A L,Moreire R M 2017J.Sound Vib.408 31

[18]Escaler X,Torre O D,Goggins J 2017J.Fluid Struct.69 252

[19]Li T Y,Wang P,Zhu X,Yang J,Ye W B 2017J.Vib.Acoust.139 041002

[20]Li H L,Wu C J,Huang X Q 2003Appl.Acoust.64 495

[21]Li T Y,Wang L,Guo W J,Yang G D,Zhu Xiang 2016Chin.J.Ship Res.11 106(in Chinese)[李天勻,王露,郭文杰,楊國棟,朱翔2016中國艦船研究11 106]

[22]Zhu X,Ye W B,Li T Y,Chen C 2013Ocean Eng.58 22