一種自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階偏微分圖像增強模型*

李偉凱,王政霞,蔣 偉

(1.重慶交通大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，重慶 400074;重慶交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400074)

1 引言

圖像增強[1,2]是對原始圖像進行處理加工，改善圖像的顯示效果，使其轉(zhuǎn)換成更適合圖像分析處理的一類有效方法。本文著重研究基于微分的圖像增強方法。傳統(tǒng)的基于微分的圖像增強方法，如Robert算子[3]、Laplacian算子[4]等在圖像增強方面有著廣泛的應(yīng)用。20世紀(jì)初期，有學(xué)者對整數(shù)階微分圖像增強方法[3 - 6]進行改進，通過將其進行加權(quán)[6]或結(jié)合其他增強方法[3 - 5]的方式，有效提升了整數(shù)階微分的增強效果。但是，這些方法仍無法有效改善整數(shù)階微分對噪聲敏感及其容易抑制圖像紋理細節(jié)的缺點。分?jǐn)?shù)階微分第一次見于Leibniz與L' Hospital的往來信件[7]，由于分?jǐn)?shù)階微分具有良好的弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，并且在數(shù)字信號處理中有很好的應(yīng)用，因此分?jǐn)?shù)階微分很快引入到圖像處理[8]領(lǐng)域。分?jǐn)?shù)階微分能夠在有效提升邊緣和紋理細節(jié)的同時很好地保留平滑區(qū)域的紋理細節(jié)[9 - 11]，也有效地解決了整數(shù)階微分對噪聲敏感的問題[12,13]。已有學(xué)者對分?jǐn)?shù)階微分進行了改進，如陳昌龍等人[14]通過對圖像特征分塊，構(gòu)建分?jǐn)?shù)階微分掩膜算子，應(yīng)用到大地圖像的圖像增強；牛為華等人[15]結(jié)合方向?qū)?shù)和分?jǐn)?shù)階微分，對分?jǐn)?shù)階微分增強方法進行了改進。蔣偉等人[16]對分?jǐn)?shù)階微分和整數(shù)階微分進行結(jié)合，提出了一種基于有理數(shù)階的偏微分方程圖像增強方法，這些方法均具有良好的圖像增強效果。

固定階數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分圖像增強算子對紋理區(qū)域的圖像增強有很好的效果，克服了噪聲敏感和抑制紋理細節(jié)的缺點。雖然微分階數(shù)具有很高的靈活性，但是需要通過不斷地調(diào)整微分階數(shù)來達到滿意的圖像增強效果，因此不滿足實時圖像增強處理需求，且圖像不同區(qū)域特征是不同的，簡單地對一幅圖像采用相同的微分階數(shù)是欠妥當(dāng)?shù)摹Ｒ虼?，很多學(xué)者開始研究自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分圖像的增強方法：如汪成亮等人[17]利用梯度特征建立了一個線性不連續(xù)的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分圖像增強模型，取得了良好的圖像增強效果；張玉等人[18]在此基礎(chǔ)上進行改進，結(jié)合圖像梯度、信息熵、對比度等因素，利用和聲搜索算法選取最優(yōu)參數(shù)，建立了自適應(yīng)選取分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)的函數(shù)；李博等人[19]通過一種基于小概率策略的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分圖像去噪算法，能夠在對噪聲點進行處理的同時，采用自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分對圖像的紋理區(qū)域進行增強。目前針對分?jǐn)?shù)階偏微分圖像增強的研究多基于梯度和信息熵等因素，并沒有考慮視覺因素的影響，因此對于暗區(qū)的圖像增強效果不好。

為解決現(xiàn)有自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分圖像增強方法對暗區(qū)紋理細節(jié)增強的不足，本文提出了一種自適應(yīng)偏微分方程圖像的增強算法，主要以亮度(本文中以灰度值進行表示)和梯度作為圖像特征進行微分階數(shù)的選取，并通過滑動窗的方式對圖像進行增強處理。實驗表明，本文方法較傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階微分圖像增強算法的增強效果而言，邊緣更加明顯且紋理突出，對圖像的紋理細節(jié)顯著提升，且清晰度有很大提高，達到自適應(yīng)圖像增強的效果，同時能夠滿足實時性處理的要求，具有一定的應(yīng)用前景。

2 預(yù)備知識

本文采用G-L分?jǐn)?shù)階微分定義[12]，G-L分?jǐn)?shù)階微分的表達式如下：

(1)

其中，G表示G-L，h為微分步長,[ ]為取整符號，a,t分別表示分?jǐn)?shù)階微分的上下限，Γ(n)=(n-1)!，v表示微分階數(shù)，一維信號f(x)的持續(xù)周期x∈[a,t]，考慮到數(shù)字圖像相鄰兩個像素的距離為1，因此認定微分步長為1，從而有：

(2)

據(jù)此可近似得到一元信號的分?jǐn)?shù)階微分差分表達式：

(3)

為計算簡便，選取像素點四個方向的分?jǐn)?shù)階微分的前兩項系數(shù)進行運算：

fx+(x,y)=f(x,y)-v×f(x+1,y)

(4)

fx-(x,y)=f(x,y)-v×f(x-1,y)

(5)

fy+(x,y)=f(x,y)-v×f(x,y+1)

(6)

fy-(x,y)=f(x,y)-v×f(x,y-1)

(7)

通過式(4)～式(7)得到分?jǐn)?shù)階微分圖像增強表達式為：

fE(x,y)=f(x,y)+fx+(x,y)+

fx-(x,y)+fy+(x,y)+fy-(x,y)

(8)

fE(x,y)=5×f(x,y)-v×(f(x-1,y)+

f(x+1,y)+f(x,y-1)+f(x,y+1))

(9)

將卷積運算的相應(yīng)規(guī)則與式(9)相結(jié)合，可以得到分?jǐn)?shù)階偏微分方程微分圖像增強的掩模如下：

(10)

3 自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階偏微分圖像增強模型

為構(gòu)建自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階偏微分圖像增強模型，首先分析信號中微分幅頻特性曲線，繼而延拓到分析微分階數(shù)與圖像灰度值變化幅度之間的關(guān)系，微分幅頻特性曲線如圖1所示。

Figure 1 Amplitude frequency characteristics curve of the differential in signal processing圖1 信號處理中微分的幅頻特性曲線

由圖1可以看出，微分階數(shù)越小，對于中低頻部分保留得程度越高，但是對于高頻部分增強不明顯；微分階數(shù)越高，對于高頻部分有很好的提升效果，但是對于低頻部分會產(chǎn)生抑制作用。圖像梯度是反映圖像空間變換率[20]的主要特征。圖像邊緣處，灰度變化劇烈，梯度值相對較大，對應(yīng)高頻部分；圖像平滑區(qū)域，灰度值穩(wěn)定，梯度值相對較小，趨近于0，對應(yīng)低頻部分；圖像紋理區(qū)域，灰度值變化相對平緩，梯度值在適中水平，對應(yīng)于中高頻部分。

然后對圖像進行分析，可以得到圖像f(x,y)梯度G(Gradient)在其像素點(x,y)上為二維列向量：

(11)

由此，我們可以得到梯度的模值為：

mag(G[f(x,y)])=

(12)

為了簡化計算，通過式(12)近似得到梯度模值：

mag(G[f(x,y)])=

(13)

將偏微分?f/?x和?f/?y近似用差分Δxf(x,y)和Δyf(x,y)來代替，則沿x和y方向的一階差分表示為：

(14)

將式(13)和式(14)結(jié)合，可得梯度的模值為：

mag(G[f(x,y)])=

max(|f(x+1,y)-f(x,y)|,

|f(x,y+1)-f(x,y)|)

(15)

根據(jù)人眼對光敏感的關(guān)系[21]：

(16)

其中,PMAX表示圖像中最大的灰度值;p表示某一像素點的灰度值;k是敏感系數(shù)，亞洲人眼大概為1.8，歐洲人眼為2.2，這里取平均值為2。 因此,上式可以近似為：

P≈p2/PMAX

(17)

由式(17)可以發(fā)現(xiàn)，隨著圖像灰度階數(shù)的增大，人眼對圖像的敏感度也將加強。也就是說，在灰度值小的地方需要對圖像進行增強。即微分算子應(yīng)當(dāng)隨著光強的增加而增加。

在這里，本文提出了一個自適應(yīng)圖像增強算法，對于像素值p和梯度值t，t=mag(G[f(x,y)])，通過構(gòu)建自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)選取模型v(p,t)，自適應(yīng)為每個像素點選出最佳微分階數(shù)v。傳統(tǒng)觀點[17]認為微分階數(shù)的選取與圖像梯度的關(guān)系呈簡單的線性關(guān)系，本文認為分?jǐn)?shù)階微分階數(shù)的增長會受到如避免銳化過度、圖片過亮等因素影響的阻礙，考慮到這些關(guān)系具有相關(guān)性，我們將其視為微分階數(shù)的自增長阻礙。又由于人眼對于梯度和亮度的敏感性不同，我們需要將其映射到人眼的敏感度中去，也就是要除一個人眼的敏感度調(diào)節(jié)系數(shù)u。通過分析文獻[17 - 19]，我們發(fā)現(xiàn)利用小的微分階數(shù)去處理紋理區(qū)域具有好的增強效果，微分階數(shù)與梯度值呈現(xiàn)正比關(guān)系。因此，受到logistic模型啟發(fā)。本文考慮將微分階數(shù)的增長作為一種自阻礙因素進行建模，微分階數(shù)和梯度值與灰度值之間的函數(shù)關(guān)系可以表述為：

(18)

(19)

式(18)和式(19)中的v表示分?jǐn)?shù)階數(shù)，u1,u2分別表示對亮度和梯度的敏感度調(diào)節(jié)系數(shù)，r1，r2分別表示亮度和梯度微分階數(shù)選取的影響程度，c1,c2分別表示分?jǐn)?shù)階數(shù)對亮度和梯度的自阻礙能力的大小。

(20)

(21)

考慮到平坦區(qū)域和暗區(qū)應(yīng)當(dāng)選取較小的微分階數(shù)，也就是梯度值和灰度值趨于零時，所選取的微分階數(shù)應(yīng)當(dāng)趨于零。同理在邊緣區(qū)域和亮區(qū)應(yīng)當(dāng)選取較大的微分階數(shù)。由于微分階數(shù)的選取和以上兩個因素是正相關(guān)，所以在梯度最大處和亮度最大處時選取的微分階數(shù)應(yīng)該為1，代入(0,0)(1,1)對式(20)和式(21)求解微分方程得c1=c2=r1=r2=1，即:

(22)

(23)

為保證適當(dāng)增強，我們選取最大值作為處理的微分階數(shù)：

v=max(v1,v2)

(24)

綜上，經(jīng)過自適應(yīng)偏微分方程處理的像素點f(x,y)對應(yīng)的新像素值fE(x,y)為：

fE(x,y)=5×f(x,y)-v(x,y)×[f(x+1,y)+

f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)]

(25)

本文的自適應(yīng)偏微分方程圖像增強算法流程如下：

(1)輸入原始圖像，用矩陣A存儲原圖像灰度值；

(2)初始化一個矩陣B存儲圖像各點的梯度值，初始化一個矩陣C作為增強后的圖像；

(3)根據(jù)式(25)對矩陣A進行處理，依次求出每個像素點對應(yīng)處理的微分階數(shù)，將得到的梯度存儲在矩陣B中；

(4)對圖像像素點通過滑動窗的方式，依次按照選擇的微分階數(shù)代入掩模進行卷積處理，用矩陣C保存增強后圖像；

(5)輸出增強后的圖像。

本文算法需要計算四個方向的梯度，并且對每個點進行卷積運算，因此對于一幅有N個像素點的圖像，本算法所需要的時間頻度為T(5N)，時間復(fù)雜度為O(N)。本算法需要存儲圖像各點的像素值、梯度值以及增強后圖像的像素值，需要的空間復(fù)雜度為S(3N)。本文算法可以在有效的時間和空間復(fù)雜度內(nèi)完成，因此可以應(yīng)用于實際應(yīng)用，可以滿足一些對實時性要求較高的圖像增強任務(wù)，具有一定的應(yīng)用前景。

4 實驗效果及分析

考慮到文獻[17 - 19]的不同僅僅在于紋理區(qū)域的差異，并沒有考慮暗區(qū)紋理細節(jié)問題，而本文主要對暗區(qū)的紋理細節(jié)增強進行改進。在這里，我們采用以上三篇文獻中最經(jīng)典方法(簡稱文獻方法)[17]、固定微分階數(shù)的圖像增強方法以及本文方法對三幅圖像分別進行圖像增強。我們選取效果最好的v=0.8的分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強方法進行圖像增強，并進行比較，來驗證本文方法的增強效果。本文算法實驗運行環(huán)境為：CPU為AMD A0PRO-78，實驗運行軟件為Matlab 2013b，實驗效果見圖2～圖4，圖像客觀評價結(jié)果見表1和表2，運行時間見表3。

實驗1對圖像Snow進行增強。為方便運算，將原RGB圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像。從圖2可以看出，在亮區(qū)部分如上半部分的臺階以及右側(cè)的墻壁，圖2b本文方法與圖2c文獻方法對于紋理細節(jié)和邊緣均具有良好的圖像增強效果，對于暗區(qū)部分的增強,如位于下半部分臺階陰影處,本文方法的增強效果明顯好于文獻方法。圖2d固定階分?jǐn)?shù)階微分對紋理細節(jié)有較好的保留與增強作用，但是使得亮區(qū)的圖像過亮，影響視覺效果。通過比較直方圖可以看出，在0～50這個灰度區(qū)間，圖2g文獻方法大部分灰度值均處于0～25，而圖2f本文方法更加均勻且大部分落于25～50，亮區(qū)兩種方法的效果基本一致。因此，本文對暗區(qū)的紋理細節(jié)增強效果更好。

實驗2選用Matlab自帶圖像Tire進行圖像增強。從圖3中可以看到，對于輪胎和輪轂的輪廓以及輪轂與輪胎處等亮區(qū)的紋理以及邊緣區(qū)域，圖3b本文方法與圖3c文獻方法均有良好的增強效果，而對于陰影處的沙礫以及左上角的輪胎細節(jié)等暗區(qū)的紋理區(qū)域，本文方法較文獻方法有更好的增強效果。圖3d固定階分?jǐn)?shù)階微分圖像增強方法同樣存在失真問題。通過分析灰度直方圖可以看出，圖3f本文方法在暗區(qū)的灰度分布更加均勻，因此在暗區(qū)的對比度較文獻方法更高，具有更好的視覺效果。因此，本文方法是對暗區(qū)圖像紋理區(qū)域增強的有效方法。

實驗3對Girl圖像進行圖像增強。從圖4可以看到在女孩的頭發(fā)、臉部細節(jié)等紋理區(qū)域，圖4b

Figure 2 Image enhancement of image Snow圖2 對圖像Snow的圖像增強

本文方法與圖4c文獻方法均有良好的增強效果，頭發(fā)的增強效果均很明顯，而對于暗區(qū)衣服褶皺處的紋理細節(jié)，本文方法較文獻方法有更好的增強效果。圖4h固定階分?jǐn)?shù)階微分圖像增強方法依然會產(chǎn)生色彩上的一些失真。通過分析灰度直方圖可以看出，圖4f本文方法在暗區(qū)的灰度分布更加均勻，灰度在亮區(qū)上的分布情況與文獻方法基本一致，因此在暗區(qū)的對比度較文獻方法更高，具有更好的視覺效果，因此本文方法是對暗區(qū)圖像紋理區(qū)域增強的有效方法。

通過三組實驗可以發(fā)現(xiàn)，文獻方法有效地增強了亮區(qū)的紋理細節(jié)，并且對于邊緣區(qū)有很好的增強效果。 微分階數(shù)隨像素點梯度值的變化而靈活變化，較現(xiàn)有固定階數(shù)的圖像增強方法有了很大的進步，但是暗區(qū)的紋理細節(jié)仍沒有被很好地增強。灰度直方圖在暗區(qū)的分布與原圖接近，因此暗區(qū)圖像增強效果較差，這是因為文獻方法并沒有考慮像素亮度的因素，從而導(dǎo)致暗區(qū)增強不足。經(jīng)過文獻方法增強的亮區(qū)紋理效果顯得并不平滑，這是因為文獻方法中，紋理區(qū)域邊緣區(qū)域的劃分有明顯的界限，導(dǎo)致紋理區(qū)域與邊緣區(qū)域分界點的梯度相差很小，但處理的微分階數(shù)可能差距較大。相較之下，本文模型對于微分階數(shù)的選取是連續(xù)的，對于紋理和邊界的定義是模糊的，見式(22)，同時本文模型對亮區(qū)邊緣的紋理細節(jié)增強的同時，也對暗區(qū)的紋理細節(jié)進行了更好的增強，因此細節(jié)處理更好，較文獻方法有了一定的改進。

上文通過主觀視覺效果來對本文方法的圖像增強效果進行主觀評價。為了更好地驗證新模型的有效性，本文從客觀指標(biāo)上來評價其圖像增強效果?？紤]到本文主要工作為圖像銳化，也就是增強圖像的對比度，在數(shù)字圖像上反應(yīng)為圖像的梯度增加和灰度分布的改變。因此，在本文中，我們使用平均梯度和信息熵作為圖像增強的客觀評價指標(biāo)。平均梯度越大，圖像的對比度越高，相對應(yīng)的圖像增強的效果也就越好，同時，信息熵越高，圖像的對比度也就越高。我們分別以圖像Tire、圖像Snow、圖像Girl為例，對本文方法進行客觀評價，并與文獻方法進行比較，從而對本方法進行客觀的分析和評判。

平均梯度AG(Average Gradient)計算公式如下：

(26)

其中，G為圖像梯度矩陣，m,n為圖像尺寸。

信息熵IE(Information Entropy)的計算公式如下：

(27)

其中，pi表示灰度值i在圖像中出現(xiàn)的概率。

通過式(26)計算所得的不同方法對三幅圖像增強所得到的圖像的平均梯度結(jié)果見表1。

Table 1 Average gradient of differentimages after image enhancement表1 對不同圖像增強處理的平均梯度

通過式(27)計算所得的不同方法對三幅圖像增強所得到的圖像的信息熵結(jié)果見表2。

Table 2 Information entropy of differentimages after image enhancement表2 對不同圖像增強處理的信息熵

不同實驗方法對于圖像處理時間如表3所示。

Table 3 Processing time of imageenhancement for different images表3 對不同圖像增強處理的運行處理時間 s

從表1和表2可知，對于圖像的增強效果，本文方法增強后較文獻方法具有一定的進步，原因是，在暗區(qū)紋理細節(jié)處，本文方法能夠比文獻方法選取更小的微分階數(shù)，因此能夠得到更好的增強效果。對比實驗說明本文方法是一個行之有效的方法，并且通過表3可以看出，本文方法能夠有效地滿足實時性的圖像處理需求。

5 結(jié)束語

本文以現(xiàn)有偏微分方程圖像增強理論和已有的自適應(yīng)性分?jǐn)?shù)階微分圖像增強模型為基礎(chǔ),結(jié)合人眼對于亮度的敏感性，提出了一種基于模糊域的梯度和像素點亮度的自適應(yīng)偏微分方程圖像增強新模型。通過本文建立的模型自適應(yīng)地選取微分階數(shù)來進行圖像處理，進而對圖像各個像素點進行動態(tài)的增強處理，從而得到較好的圖像增強效果。在與固定階分?jǐn)?shù)階微分和傳統(tǒng)圖像增強方法還有現(xiàn)有文獻的方法進行的比較中，可以發(fā)現(xiàn)本文方法較之前方法有了一定的提高，暗區(qū)的紋理細節(jié)顯著增強。本文方法可用于瀝青路面或夜間監(jiān)控圖像的圖像增強工作中，通過實驗對比客觀評價，本文方法在平均梯度、信息熵方面有很好的提升，同時運算速度有一定的進步。實驗結(jié)果表明，本文提出的新模型是行之有效的；通過時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度分析，本方法具有一定的實際應(yīng)用價值。

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