導(dǎo)向向量誤差概率約束的寬容性波束形成

(浙江工業(yè)大學(xué) 之江學(xué)院，浙江 杭州 310024)

自適應(yīng)波束形成雖然能夠提高目標(biāo)分辨力和干擾抑制能力，但是當(dāng)陣列導(dǎo)向向量與目標(biāo)的真實響應(yīng)向量存在誤差時，性能會急劇下降，甚至期望信號被看作干擾而受到抑制.對角加載方法[1](即白噪聲增益控制方法)是最常用和最有效的寬容處理方法，而且易于實現(xiàn)，其缺點是難以確定合適的對角加載量.Li等[2-4]提出了一種在導(dǎo)向向量誤差最大情況下，使性能最優(yōu)的寬容處理方法，將自適應(yīng)波束形成問題歸結(jié)為在誤差不確定性集合的邊界上的約束優(yōu)化問題.Li等[2]證明了文獻[2-4]的方法都等效于對角加載方法，不同之處在于加載量的確定方法不同，Lorenz等[3]采用有效的Lagrange(拉格朗日)法，而Vorobyov等[4]采用了計算較為復(fù)雜的二階錐規(guī)劃方法，限制了其實用性.概率約束方法[5]減小了誤差最大情況下性能最優(yōu)化方法的局限性，因為誤差最大情況實際并不總能出現(xiàn)，Li等[2-4]方法在模型無失配的情況下將會使背景噪聲電平升高，分辨力下降.He等[6]分析了概率約束方法和Li等[2-4]方法的關(guān)系，即對角加載量之間的關(guān)系.筆者綜合考慮分辨力和寬容性，研究導(dǎo)向向量誤差概率約束的寬容算法，波束形成性能的優(yōu)化不局限在不確定性集合的邊界上，而是在誤差變化集合的內(nèi)部尋找最優(yōu)權(quán)向量，有助于提高導(dǎo)向向量誤差較小情況下的性能.

1 背景知識

1.1 常規(guī)自適應(yīng)算法

考慮M元均勻線列陣，間距為d，接收到空間L個遠(yuǎn)場窄帶平面波信號，陣列接收信號的第k個采樣可表示為

(1)

式中：si(k)為第i個信號源的第k個采樣；x(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)],T為M×1維陣列輸出信號向量；n(k)=[n1(k),n2(k),…,nM(k)],T為M×1維加性噪聲向量；A為M×L維陣列導(dǎo)向矩陣，A可表示為A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θL)]，θi為第i個信號源的入射方向(相對正橫方向)，a(θi)為相應(yīng)的陣列導(dǎo)向向量，其第m個元素(即第m個陣元對θi方向的單位幅度復(fù)信號的響應(yīng))可表示為

am(θi)=exp[j2π(m-1)dsinθi/λ]

式中：d為陣元間距；λ為信號波長.

設(shè)a=a(θ)為陣列對期望信號的導(dǎo)向向量，則基于樣本矩陣求逆(Sample matrix inversion, SMI)的自適應(yīng)波束形成[1]可表述為

(2)

利用Lagrange法可得自適應(yīng)權(quán)向量為

(3)

當(dāng)導(dǎo)向向量a(θ)與第i個入射信號的響應(yīng)向量a=a(θ)一致時，θi方向的波束輸出信號具有最佳的信干噪比；當(dāng)a(θ)與a(θi)有誤差(失配)時，期望信號受到抑制，輸出發(fā)生畸變，即信號自消(Self-canceling)現(xiàn)象，所以寬容性(穩(wěn)健性)設(shè)計是自適應(yīng)算法需要解決的問題.

1.2 寬容性Capon波束形成(RCB)

Li等[2]提出的寬容性Capon算法(Robust capon beam-forming, RCB)是在信號響應(yīng)向量不確知的情況下，提供期望信號功率的寬容估計.實現(xiàn)方法是在導(dǎo)向向量的不確定性變化范圍內(nèi)，使期望信號的輸出功率最大，因為導(dǎo)向向量誤差將會使期望信號的輸出功率減小.RCB算法可表述為一個模約束優(yōu)化問題[2]，即

(4)

(5)

式中λ為Lagrange乘子.求L關(guān)于向量a的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，可得滿足代價函數(shù)最小的導(dǎo)向向量為

(6)

將式(5)代入式(4)的球面約束條件，并定義函數(shù)為

(7)

(8)

為了簡化式(7)，定義臨時向量[2]為

(9)

將式(9)代入式(7)，可得

(10)

式中zm為向量z的第m個元素.

顯然式(10)是關(guān)于λ的單調(diào)遞減函數(shù)，且有

所以只要確定了λ取值的上界和下界，就可用一元函數(shù)求根的方法唯一確定λ，從而根據(jù)式(6)可得滿足式(4)的導(dǎo)向向量，使信號的輸出功率最大，提高對導(dǎo)向向量誤差的寬容性.根據(jù)式(10)，可確定λ的取值范圍[2]為

(11)

(12)

可見，RCB算法也屬于一種對角加載方法，只是通過導(dǎo)向向量的球體約束(或更一般地，橢球約束[2])，確定合適的加載量(1/λ).

2 概率約束寬容波束形成

上述RCB算法只需要作矩陣特征值分解和函數(shù)求根運算，而式(9)函數(shù)求根運算的計算量與特征值分解的計算量相比，可忽略不計.RCB算法的效率遠(yuǎn)高于SOCP[4]方法，而性能與SOCP方法相當(dāng)，所以RCB方法具有工程可實現(xiàn)性.

RCB算法的主要問題是如何確定導(dǎo)向向量不確定性集合的大小，ε取得過大，雖然寬容性大，但損失了分辨力，ε過小，則寬容性不夠.為了減弱失配最大情況下波束性能最優(yōu)化方法[4]的過穩(wěn)健性(Overly conservative[6])，文獻[6]將文獻[4]方法對不確定性集合內(nèi)加權(quán)向量的約束條件，附加了概率約束.也就是當(dāng)權(quán)向量的約束條件大于某個概率時，才尋求最優(yōu)的權(quán)向量使代價函數(shù)最小[6].筆者研究概率約束的RCB算法，并減小RCB算法的過穩(wěn)健性.

2.1 概率約束RCB算法

Pr{‖δ‖≤ε}≥p=1-pout

(13)

假設(shè)δ為均值為零、協(xié)方差為Cδ的復(fù)高斯向量，即

δ～N(0M,Cδ)

(14)

顯然，若δi(i=1，2，…，M)服從高斯分布，則隨機變量v服從χ2分布，其概率密度函數(shù)[7]為

pv(v)=[2M/2Γ(M/2)]-1vM/2-1exp(-v/2)

(15)

將式(15)代入式(14)，有

(16)

式中I為皮爾遜(Pearson)不完備Γ函數(shù)[7]，即

(17)

根據(jù)式(13，16)，可得

(18)

根據(jù)式(18)，就可用RCB算法得到寬容性波束權(quán)向量.

2.2 Lagrange乘子λ的確定

RCB算法對Lagrange乘子λ的求解是在導(dǎo)向向量不確定性集的邊界上，即導(dǎo)向向量失配最大的情況，所以RCB算法具有過穩(wěn)健性.為了減小過穩(wěn)健性，對式(9)的求根采用二分法，在約束球體內(nèi)尋求滿足g(λ)≤0的λ的值，而不是局限在約束球面上精確地求取滿足g(λ)=0的方程的根.具體實現(xiàn)步驟如下：

1) 設(shè)定迭代次數(shù)K和求根精度ξ.令K=0,判斷g(λmin)和g(λmax)是否為0，若g(λmin)=0或g(λmax)=0，則λmin或λmax即為所求值，結(jié)束迭代求根過程，否則，令x1=λmin,x2=λmin.

由以上步驟可見：此方法是通過設(shè)定迭代次數(shù)和求根精度來控制算法的寬容性，因為利用該方法所求的寬容性導(dǎo)向向量式(6)可能落在不確定集的內(nèi)部，而不僅僅在邊界上，所以弱化了算法的過穩(wěn)健性.

3 數(shù)值分析

考慮λ/2間距10元均勻線列陣，30°和50°方向存在兩個干擾源，干噪比(干擾功率與背景噪聲功率之比)均為20 dB.比較上述方法、RCB方法、LSMI方法(固定對角加載的SMI方法,Loaded SMI)和SMI方法4種算法.定義輸出信干噪比[4]為

(19)

(20)

將式(20)代入式(19)，可得理想SINR為

(21)

3.1 導(dǎo)向向量無誤差情況

圖1 輸出SINR與SNR的關(guān)系Fig.1 The relationship between output SINR and SNR

3.2 信號散射引起的導(dǎo)向向量誤差情況

信號源經(jīng)過傳播介質(zhì)到達接收陣，由于多途和散射效應(yīng)，信號源往往不能看作理想的點源，而是空間分布源，例如水聲信號，目標(biāo)具有多個亮點，且水下傳播介質(zhì)具有不均勻性，造成接收信號的散布性，波陣面非理想的平面波.

考慮萊斯(Ricean)相干散射傳播信道[4,6]，信號為中心角為θ0的空間散射源，導(dǎo)向向量的誤差可建模[6]為

(22)

對于散射信道情況，輸出信噪比表示為

(23)

(24)

式中PEV{·}為求主特征向量.式(24)代入式(23)，可得散射源的輸出信噪比.

圖2 輸出SINR與SNR的關(guān)系Fig.2 The relationship between output SINR and SNR

當(dāng)導(dǎo)向向量誤差不確定集的大小ε均取1.2時，比較提出的算法和RCB算法的分辨性能，圖3為SNR=-10 dB時的空間譜圖，可見該算法的分辨力強于RCB方法，期望信號方向的功率輸出大于RCB方法.利用該方法，在干擾方向的輸出功率接近實際值(20 dB)，也即功率估計的偏差小于RCB方法.說明了2.2節(jié)提出的算法既能提高寬容性，又能保持較高的分辨力.

圖3 空間譜圖比較Fig.3 Comparison of spatial spectra

4 結(jié) 論

基于目標(biāo)信號功率約束優(yōu)化的寬容性Capon算法是一種寬容自適應(yīng)波束形成的有效實現(xiàn)方案，但具有過穩(wěn)健性.通過對導(dǎo)向向量誤差施加概率約束，將誤差約束集大小用波束損耗功率和導(dǎo)向向量誤差的功率來描述，提供了一種誤差約束集大小的經(jīng)驗設(shè)計方法.同時，提出了一種在導(dǎo)向向量誤差約束集內(nèi)部，對期望信號作最優(yōu)功率估計的方法.理論和數(shù)值分析結(jié)果表明，寬容性波束形成既對導(dǎo)向向量誤差具有寬容性，又有較高的分辨力，并提高了計算效率.

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