供應不確定條件下多周期庫存博弈

張 劍，張菊亮

(1．內(nèi)蒙古財經(jīng)大學工商管理學院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010080；2．北京交通大學經(jīng)濟管理學院，北京 100044)

1 引言

許多制造行業(yè)，如電子，汽車等，由于生產(chǎn)工藝復雜且涉及零部件較多，制造商經(jīng)常會遇到產(chǎn)出不確定問題。造成產(chǎn)出不確定原因有很多，例如供應商機器故障、技術缺陷、安全事故以及配送、存儲過程中的丟失、損壞等。制造商的產(chǎn)出不確定會導致零售商的供應不確定和缺貨，進而造成顧客流失，給企業(yè)帶來巨額損失。Emmelhainz等[1]的調(diào)查顯示，對于零售業(yè)來說，缺貨會導致14%的顧客流向它的競爭對手，而制造型企業(yè)的這一數(shù)值達到50%以上。Andraski和Haedicke[2]的研究表明，“如果消費者發(fā)現(xiàn)他所需要的商品缺貨，有40%的人會去其他商店尋找或購買替代品”。此外，產(chǎn)品間的替代競爭關系在現(xiàn)實中是長期、普遍存在的。替代需求的存在，使企業(yè)的收益不僅取決于自身的訂貨決策還會受到競爭對手訂貨決策的影響，具有典型的博弈屬性。因此，非常有必要在供應不確定環(huán)境下研究產(chǎn)品間的替代競爭對庫存決策的影響。

對于庫存博弈問題，國內(nèi)外學者有較多的研究。Parlar[3]首先提出了二人非合作庫存博弈問題，并在單周期情況下研究了Nash均衡策略的存在性和唯一性。隨后Wang Qinan和Parlar[4]進一步討論了3人庫存博弈問題。Lippman和McCardle[5]進一步研究了需求關聯(lián)情況下的庫存博弈問題。他們給出了不同的需求分配方式下存在唯一均衡策略的條件。Mahajan和Ryzin[6]研究了銷售商的需求受庫存水平影響情形下的多銷售商庫存博弈問題。他們證明了完全信息條件下Nash均衡的存在性和唯一性。Netessine和Rudi[7]研究了集權供應鏈和分權供應鏈中多種替代商品均衡訂貨策略，他們發(fā)現(xiàn)分權供應鏈要比集權供應鏈更易發(fā)生缺貨。Serin[8]研究了Stackelberg庫存博弈問題。給出了對稱商家靜態(tài)博弈均衡與Stackelberg博弈均衡相等的條件。Nagarajan與Rajagopalan[9]考慮了一個需求關聯(lián)的單周期2人庫存博弈問題，分別研究了需求為確定和隨機情況下的均衡訂貨策略。Zeinalzadeh等[10]進一步考慮了存在固定訂貨成本的雙寡頭靜態(tài)庫存博弈問題，證明了在單周期時均衡是一個(s，S)策略。Huang Di等[11]研究了N個零售商產(chǎn)品競爭的報童模型，并利用迭代算法求出均衡解。Lee和Lu Tao[12]研究了供應不確定條件下的單周期庫存博弈問題，證明了多重均衡訂貨策略的存在性。

蘇兵等[12]針對可替代產(chǎn)品庫存管理問題，對單周期二人博弈可替代產(chǎn)品庫存模型進行了算例分析和仿真，比較了決策者不同行為模式下的訂貨策略。杜賓和邱菀華[14]基于報童模型研究了信息不對稱的商品交易市場，依據(jù)更新的信息屬性，定義了兩階段的理性預期均衡，并分析了均衡策略的性質(zhì)。陳敬賢等[15]研究顧客退貨對多個分散式零售商庫存決策的影響。給出了庫存競爭博弈純策略Nash均衡解存在性和唯一性的充分條件。曹國昭和齊二石[16]研究了損失厭惡和產(chǎn)品替代率對零售商庫存決策的影響。

在多周期庫存博弈方面，Avsar和Baykal-Gürsoy[17]證明了如果雙方都采取base-stock策略，則存在唯一Nash均衡。Netessine等[18]研究了多周期內(nèi)允許back-order情況下兩種產(chǎn)品的庫存博弈問題，研究了均衡存在并且唯一的條件，并定義了一個base-stock類型的均衡策略。Parker和Olsen[19]研究了當前周期缺貨會對后續(xù)周期的需求產(chǎn)生影響時的庫存博弈問題，分別給出了在有限和無限周期內(nèi)base-stock均衡策略存在的條件。Nagarajan與Rajagopalan[9]研究了在需求相關的雙寡頭壟斷市場中，博弈方應在何時考慮缺貨替代及競爭對手的存貨水平對自身決策的影響。Zeinalzadeh等[10]考慮了存在固定訂貨成本時的二人庫存博弈問題。他們通過分析一個兩周期的庫存博弈模型證明了在考慮固定訂貨成本時不存在馬爾科夫均衡策略。Caro和Martínez-de-Albéniz[20]研究訂貨成本不對稱情況下的庫存博弈問題。一個銷售商(傳統(tǒng)商家)在期初以一個相對較低的價格訂貨以滿足本期需求；另外一個商家訂貨費用相對較高但是可以在期中根據(jù)需求追加訂單(快速響應)。他們給出了存在唯一子博弈完美純策略均衡的條件，并進行了定量的靜態(tài)比較分析。Olsen和Parker[21]給出了靜態(tài)均衡同時也是馬爾科夫完美均衡的條件。Zhang Jian等[22]研究了需求不確定且信息不斷更新條件下的庫存博弈模型。

考慮供應不確定下的庫存管理方面，Karlin[23]首次研究了單周期供應不確定的隨機存儲模型。Shih，Noori和Keller，Ehrhardt和Taube，Lee和Yano，Gerchak等，Henig和Gerchak分別對上述模型進行了拓展[24-28]。Baker和Ehrhardt[29]假設到貨量是訂貨量的隨機函數(shù)，他們發(fā)現(xiàn)，當無固定訂貨成本時，Base stock策略是最優(yōu)的；而有固定訂貨成本時(s，S)策略是最優(yōu)的。Kazaz[30]建立了一個考慮價格因素的模型，他假設價格是隨交貨量變化的外生變量并結合實例對最優(yōu)策略進行了分析。Rekik等[31]在假設供應和需求均服從均勻分布條件下，給出了解析解。Dada等[32]研究了多供應商情況下的報童問題，并假設各供應商均是供應不確定的。Federgruen和Yang Nan[33]進一步考慮了服務水平對訂貨策略的影響，并給出了近似最優(yōu)解。He Yuanjie和Zhang Jiang[34]考慮了存在二手市場情況下的供應不確定問題。分別給出了集權和分權供應鏈下供應商和銷售商的最優(yōu)策略。Merzifonluoglu和Feng Yazhe[35]在考慮訂貨費用及能力約束的基礎上進一步研究了多供應商情況下的訂貨問題。盧震和黃小原[36]利用主從博弈模型研究了供應不確定條件下的供應鏈協(xié)調(diào)問題。侯玲等[37]研究了供應不確定環(huán)境下競爭供應鏈采購問題；并探討了兩競爭供應鏈中零售商的采購策略和制造商的定價策略。魯其輝和朱道立[38]研究了交付時間不確定性情況下，信息共享對供應鏈各成員利潤的影響。王麗梅等[39]研究了現(xiàn)貨供應的不確定性和銷售商的風險規(guī)避態(tài)度對于銷售商的采購策略的影響。何波[40]研究了采購、庫存和定價之間的關系，建立了供應不確定條件下單個零售商動態(tài)定價和采購的最優(yōu)控制模型。

Yanai[41]建立了一個供應不確定條件下無限周期隨機存儲模型，并分別研究了需求服從指數(shù)分布和伽馬分布時的最優(yōu)訂貨策略。Gerchak等[42]分析了一個有限周期的最優(yōu)存儲問題。他們證明在特定情況下order up to策略不是最優(yōu)的。Henig和Gerchak[28]研究類似問題，并證明在有限和無限周期情況下都存在一個關鍵訂貨點。Yano[43]研究了有服務水平要求時有限周期和無限周期下的訂貨問題，他們證明在特定條件下最優(yōu)訂貨量是后續(xù)幾個周期需求之和的倍數(shù)。Parlar和Gerchak[44]建立了一個多周期隨機存儲模型。與以往的研究不同，該模型的目標是要實現(xiàn)期望庫存和產(chǎn)量之和最小。Ciarallo和Morton[45]建立了一個產(chǎn)能隨機的多周期存儲模型。他們證明最優(yōu)解是短視策略。Parlar等[46]建立的模型考慮了訂貨成本，并假設每周期的需求服從Markovian過程。他們給出了(s, S)形式的最優(yōu)訂貨策略。在此基礎上，Wang Yunzeng和Gerchak[47]假設產(chǎn)能可變且交貨量是隨機的。他們證明了成本函數(shù)是擬凸的，并求出了最優(yōu)訂貨點。Erdem和?zekici[48]研究了隨機環(huán)境下的訂貨模型，并假設模型的所有參數(shù)來自一個齊次時間的馬爾科夫鏈。他們證明最優(yōu)訂貨策略是base stock形式。Tomlin[49]進一步研究了多周期2個供應商情況下的貝葉斯庫存模型，并針對不同的分布函數(shù)給出了最優(yōu)訂貨策略。Yeo和Yuan Xueming[50]證明了在允許顧客取消訂單的情況下再訂貨點法是最優(yōu)策略。Chaturvedi和Martínez-de-Albéniz[51]建立了一個無限周期的訂貨模型，并證明供應的不確定性越大安全庫存越高、需要的額外產(chǎn)能越多和采購來源越多。

在上述的研究中，都沒考慮多周期供應不確定條件下的庫存博弈問題。而現(xiàn)實中，產(chǎn)品的替代競爭關系是普遍存在的，而且供應不確定會直接影響這種競爭關系?；谶@一事實提出本文的研究。第2節(jié)建立多周期供應不確定條件下的庫存博弈模型；第3節(jié)研究均衡策略的存在性和唯一性；第4節(jié)分別研究產(chǎn)品替代率和供應可靠性對均衡訂貨量和收益的影響；第5節(jié)進行了算例分析。

2 模型及假設

本節(jié)將建立一個考慮供應不確定性的多周期庫存博弈模型。假設市場中有2種可相互替代的產(chǎn)品，它們分別由2個商家銷售。在每個周期初，商家首先了解產(chǎn)品的直接需求di,n(隨機變量)，再通過訂貨來滿足需求，單位采購成本是ci。令qi,n表示商家i(i=1,2)第n周期訂單到貨后的庫存水平，如果商家j發(fā)生缺貨(dj,n>qj,n)，則有固定比例γji(稱作產(chǎn)品替代率，0≤γji≤1)的顧客轉而購買商家i的產(chǎn)品(i≠j)，稱為替代需求。令Di,n表示第n周期商家i面對的總需求，

Di,n=di,n+γji(dj,n-qj,n)+

其中[x]+=max(0,x)。Di,n是隨機變量，其累計分布函數(shù)(CDF)和概率密度函數(shù)(PDF)分別為FDi,n和fDi,n，各周期需求為獨立同分布。

Levin[53]通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)展示庫存量信息會增強人們的購買欲望。隨后Peterson和Silver[54]進一步研究發(fā)現(xiàn)商品的銷售曲線與庫存量成正比。這說明很多商家愿意公開庫存量信息，一些大型的電子商務網(wǎng)站也都會在顯著位置展示商品的庫存量。正因為如此，本文假設博弈雙方知道彼此的庫存量信息。

令FDi,nεj和fDi,nεj表示給定εj條件下總需求Di,n的條件累計分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)。由于殘次品已經(jīng)不能使用，商家需要另行處置，假設每件殘次品會產(chǎn)生δici的處理費用，其中δi∈[0,1]表示殘次品的費用率，則周期n的總處理費為δiciQi,n(1-εi)。商家i銷售單位產(chǎn)品獲得的收入為pi，假設pi>ci。hi是單位庫存費用，li是單位缺貨損失。

給定可靠性指數(shù)a=(ai,aj)，每一周期兩個商家通過訂貨決策完成供應不確定條件下的庫存博弈，則此博弈中第n周期商家i的收益函數(shù)可表示為：

πi(Qi,nQj,n,a)=E[pimin(Di,n,Qi,nεi+Ii,n)-ciQi,n-hi(Qi,nεi+Ii,n-Di,n)+-li(Di,n-Qi,nεi-Ii,n)+-δiciQi,n(1-εi)]

整理后可得：

πi(Qi,nQj,n,a)=(pi+δici)Qi,nE(εi)-(pi+hi)E[(Qi,nεi+Ii,n-Di,n)+]-liE(Di,n-Qi,nεi-Ii,n)+-(1+δi)ciQi,n+piIi,n

在第n周期，商家i根據(jù)期初庫存量Ii,n和競爭對手的訂貨決策Qj,n來決定訂貨量Qi,n，從而實現(xiàn)由第n周期到最后一個周期的總收益最大化。令這個最大收益為Ci(Ii,n,Qj,n)。令β表示貼現(xiàn)因子(0<β<1)，則商家i從第n周期到最后一個周期N的期望總收益為：

Xi(Qi,n,Qj,n)=πi(Qi,nQj,n,a)+

在第n周期，商家i通過訂貨決策實現(xiàn)期望總收益最大，即：

Ii,n))Ci(0,Qj,n+1)+FDi,nεj(Qi,nεi+Ii,n)Ci(Qi,nεi+

Ii,n-Di,n,Qj,n+1)]dGi(εi,ai)dGj(εj,aj)}

(2.1)

同理可得商家j的總收益為：

FDj,nεi(Qj,nεj+Ij,n)Cj(Qj,nεj+Ij,n-Dj,n,

Qi,n+1)]dGj(εj,aj)dGi(εi,ai)}

(2.2)

如果供應確定，即εi=εj=1，則上述博弈模型與Avsar和Baykal-Gürsoy[17]以及Nagarajan與Rajagopalan[9]中的模型相同；如果是單周期且不考慮缺貨損失，則本文的模型與Lee和Lu[12]中的模型相同。所以，上述文獻中的模型可視為本文模型的特例。

3 博弈均衡及其性質(zhì)

本節(jié)研究博弈(2.1)-(2.2)的Nash均衡策略的存在性和唯一性。供應不確定以及庫存量的跨期依存關系必然會對商家們的訂貨策略和收益產(chǎn)生影響。

定理1：收益函數(shù)Xi(Qi,n,Qj,n)(Xj(Qj,n,Qi,n))是關于Qi,n(Qj,n)的凹函數(shù)，多周期庫存博弈(2.1)-(2.2)存在Nash均衡訂貨量。

證明：利用歸納法證明在第n周期，商家i的收益函數(shù)是關于訂貨量Qi,n的凹函數(shù)。

(1)驗證第N周期商家i的收益函數(shù)(2.1)是Qi,N的凹函數(shù)。Xi(Qi,N,Qj,N)關于Qi,N的一階導數(shù)為:

FDi,Nεj(Qi,Nεi+Ii,N)]dGi(εi,ai)dGj(εj,aj)=

(pi+li+δici)E(εi)-(1+δi)ci-(pi+hi+

二階導數(shù)為：

所以Xi(Qi,N,Qj,N)是Qi,N的凹函數(shù)。同理可證，Ci(Ii,N,Qj,N)是Ii,N的凹函數(shù)。

(2)假設對第k=n+1，n+2…,N周期，商家i的收益函數(shù)是Qi,k的凹函數(shù)，下面證明Xi(Qi,n,Qj,n)是Qi,n的凹函數(shù)。

性質(zhì)1：收益函數(shù)Xi(Qi,n,Qj,n)是關于(Qi,n,Qj,n)的下模函數(shù)，(i,j=1,2;i≠j)。

證明：收益函數(shù)的下模性可以通過驗證Xi(Qi,N,Qj,N)對Qi,N，Qj,N的交叉偏導數(shù)不大于0來證明。本文利用歸納法證明上述性質(zhì)。

(1)在第N周期，有Di,N=di,N+γji(dj,N-Qj,Nεj-Ii,N)+

(2)假設在第n+1，n+2…,N周期，上述結論成立。下面證明在第n周期，Xi(Qi,n,Qj,n)是(Qi,n,Qj,n)的下模函數(shù)。

因為Ii,n+1=Qi,nεi+Ii,n-[di,n+γji(dj,n-Qj,nεj-Ij,n)+]，對于?Ii,n+1/?Qj,n有以下5種情況：

(a)dj,n≥Qj,nεj+Ij,n,di,n≥Qi,nεi+Ii,n，兩個商家都缺貨Ii,n+1=0，此時?Ii,n+1/?Qj,n=0；

(b)Qj,nεj+Ij,n≤dj,n

Ii,n+1=Qi,nεi+Ii,n-[di,n+γji(dj,n-Qj,nεj-Ij,n)]>0

所以有?Ii,n+1/?Qj,n=γjiεj≥0；

(c)dj,n≥Qj,nεj+Ij,n+(Qi,nεi+Ii,n-di,n)/γji且di,n≤Qi,nεi+Ii,n，商家i不缺貨而商家j缺貨，但替代需求大于商家i的剩余庫存，此時Ii,n+1=0，所以有?Ii,n+1/?Qj,n=0；

(d)dj,n≥Qj,nεj+Ij,n,di,n

(e)dj,n≤Qj,nεj+Ij,n,di,n≤Qi,nεi+Ii,n，則兩個商家都不缺貨，此時?Ii,n+1/?Qj,n=0。

綜上所述，?Ii,n+1/?Qj,n≥0。由假設知，下式第一項為負。由于Ci(Ii,n,Qj,n)是Ii,n的凹函數(shù)，所以下式第二項非正。則有：

dGi(εi,ai)dGj(εj,aj)≤0

同理可證，Xj(Qj,n,Qi,n)是Qj,n,Qi,n的下模函數(shù)。證畢。

性質(zhì)1說明，兩個商家的庫存具有替代關系，商家i通過多訂貨所帶來的額外收益隨著商家j訂貨量的增加而減少。也就是說，如果商家j訂貨增加，商家i一定不會多訂貨，反之亦然。實際上，博弈中商家j多訂貨都意味著商家i的替代需求會減小，所以商家i不會多訂貨。

定理2：如果εi和εj服從伯努利分布，ai和aj分別為εi=1和εj=1的概率且0≤γji<1(i,j=1,2;i≠j)，則博弈(2.1)-(2.2)存在唯一的Nash均衡訂貨策略。

證明：由Cachon和Netessine[52]的定理4可知，當收益函數(shù)具有收縮映射性(contraction mapping)時，該博弈存在唯一Nash均衡解。收縮映射性可以通過證明響應函數(shù)斜率的絕對值小于1來實現(xiàn)。由隱函數(shù)定理可得:

利用歸納法證明定理2。

(1)第N周期，

由于εi和εj服從伯努利分布，則有

又因為，

fDi,NDj≤Qj,N+Ij,N,εj=1(Qi,N+Ii,N)Pr(Dj,N≤Qj,N+Ij,N)≥fDi,NDj>Qj,N+Ij,N,εj=1(Qi,N+Ii,N)Pr(Dj,N>

Qj,N+Ij,N)≥γjifDi,NDj>Qj,N+Ij,N,εj=1(Qi,N+Ii,N)Pr(Dj,N>Qj,N+Ij,N)

由0≤γji<1可得：

(2)假設在第n+1周期，商家i的響應函數(shù)具有收縮映射性。驗證在第n周期這一性質(zhì)是否依然存在。

其中：

(Qi,Nεi+Ii,N)Pr(Dj,N>Qj,Nεj+Ij,N)dGi(εi,ai)dGj(εj,aj)≤0

dF(Di,n)dGi(εi,ai)dGj(εj,aj)≤0

dF(Di,n)dGi(εi,ai)dGj(εj,aj)≤0

如果εi和εj服從伯努利分布，則

B2=

4 影響因素分析

本節(jié)我們將分別研究產(chǎn)品替代率γji和供應可靠性因子ai(i=1,2)對均衡訂貨量和收益函數(shù)的影響。

證明：由文獻[52]中的定理11可知，如果供應商i的第n周期的收益函數(shù)是Qi,n和γji上模函數(shù)，供應商j的第n周期的收益函數(shù)是Qj,n和γji下模函數(shù)，即?2Xi(Qi,n,Qj,n)/?Qi,n?γji≥0和?2Xj(Qj,n,Qi,n)/?Qj,n?γji≤0，那么上述定理成立。

下面我們利用歸納法證明這兩個性質(zhì)成立。

(1)在第N周期，因為

所以，

又因為

所以，

(2)假設在第n+1周期結論成立，則有:

又因為

在實際生活中，產(chǎn)品替代率體現(xiàn)了產(chǎn)品間的差異程度或顧客忠誠度。定理3說明，在競爭環(huán)境下，顧客忠誠度較低(γji較大)的企業(yè)往往處于劣勢，在同質(zhì)化嚴重且顧客忠誠度較低的市場中商家往往更容易訂更多的貨，這樣會增加產(chǎn)品積壓的風險。

定理4：在第n周期，如果δi≥hi/ci，商家i(i=1,2)的期望收益是ai的增函數(shù)，是aj的減函數(shù)。

證明：我們只需證明?Xi(Qi,n,Qj,n)/?ai≥0，?Xi(Qi,n,Qj,n)/?aj≤0。

(1)第N周期，由假設δi≥hi/ci可知下式成立。

(pi+δici-li)-(pi+hi-li)FDi,Nεj(Qi,Nεi+Ii,n)≥(pi+δici-li)-(pi+hi-li)≥0

所以，

又因為

所以在第N周期，定理4成立。

(2)假設定理4在第n+1周期成立，則有:

定理4說明，當市場中存在2個相互競爭的商家，且銷售可相互替代的產(chǎn)品時，供應可靠程度高的商家具有更強的競爭優(yōu)勢。因為供應可靠性的提高不僅可以增加銷售額，還可以減少缺貨成本，還能滿足替代需求。

5 算例分析

作為前文理論分析的補充，本節(jié)首先通過算例1闡述多重Nash均衡的求解方法，其次通過算例2描述博弈方期望收益是如何受產(chǎn)品替代率影響的，以及均衡訂貨量隨供應可靠性因子變化的情況。

算例1：設兩個商家在2個周期內(nèi)進行競爭，且有pi=pj=100,hi=hj=10,ci=cj=50,δi=δj=0.5,li=lj=30,γji=γij=0.5,β=0.8。他們所面對的直接需求分別為：di～U(0,bi);dj～U(0,bj)，其中bi=bj=10，供應隨機因子服從的分布分別為：εi～U(ai,1);εj～U(aj,1)，其中ai=aj=0。通過反復迭代法可算得兩個均衡訂貨量：(5.71,0.907)和(0.907,5.71)。又因為兩個商家各類參數(shù)相同，所以還有另一個對稱均衡訂貨量(6.136, 6.136)。這說明，對于一般的需求分布函數(shù)，由于供應不確定性導致博弈存在多個Nash均衡。

圖1 商家i的均衡訂貨量與ai關系圖

圖2 商家j的均衡訂貨量與ai關系圖

圖3 商家i的期望收益與γji關系圖

6 結語

本文將供應不確定引入多周期庫存博弈的研究中，考慮供應不確定及2個競爭商家所售產(chǎn)品的替代性，研究了競爭情況下，產(chǎn)品替代率和供應可靠性因子對商家收益及訂貨決策的影響。證明多周期庫存博弈均衡的存在性，同時給出均衡唯一性的條件。進一步探討參數(shù)對均衡的影響；當產(chǎn)品替代率γji(γij)增加時，商家i(j)的收益以及均衡訂貨量的上界和下界將同時增大；當商家i(j)的供應可靠性因子ai(aj)提高時，商家i(j)的期望收益也會增加。

基于本論文，還可以從以下幾個方面進一步研究：首先，本文假設供應可靠性因子是外生變量，但是在實際中企業(yè)往往可以通過加大投入來提高供應的穩(wěn)定性，即可以將其作為內(nèi)生變量考慮；其次，本文中只考慮2個商家的競爭，現(xiàn)實的市場中有時是許多商家同時競爭的，后續(xù)的研究可以考慮供應不確定條件下多人庫存博弈問題。

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