基于LQR控制器的直線倒立擺研究及設計

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(昆明理工大學電力工程學院，云南 昆明 650224)

0 引言

直線倒立擺是控制領域中非常重要的控制系統(tǒng)，它在控制系統(tǒng)研究中受到普遍重視，已被公認為控制理論特別是現(xiàn)代控制理論的典型研究與試驗設備，它不但是最佳實驗工具還是一個理想的實驗平臺。因此，倒立擺控制的研究不但可以對控制進行理論研究，還在應用上面有一定的指導意義[1-3]。

線性二次型最優(yōu)控制理論LQR屬于線性系統(tǒng)綜合理論中最具重要性和綜合性的一類優(yōu)化型綜合問題，取性能指標函數(shù)為二次型函數(shù)積分，既考慮到系統(tǒng)性能的要求，又考慮到控制能量的要求[4-5]。

1 倒立擺數(shù)學模型

對直線一級倒立擺建立數(shù)學模型，如圖1所示。

將小車與擺桿隔離，受力分析分別如圖2和圖3所示。

圖1～圖3中，M為小車質(zhì)量；m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系數(shù)；l為擺桿轉動軸心到桿質(zhì)心的長度；F為加在小車上的力；Φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；θ為擺桿和與垂直向下方向的夾角。

圖1 直線倒立擺的示意

圖2 小車隔離受力分析

圖3 擺桿隔離受力分析

首先，分析小車水平受力，可得：

(1)

接著，分析擺桿水平受力，可得：

(2)

根據(jù)現(xiàn)代控制理論，n階線性定常連續(xù)時間系統(tǒng)為：

y=CX+Du

(3)

A為系統(tǒng)矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣；D為直接傳遞矩陣。

將式(1)和式(2)代入式(3)，對方程求解并經(jīng)過整理后的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

(4)

2 倒立擺參數(shù)確定分析

根據(jù)倒立擺數(shù)學模型，本課題自行研制了直線一級倒立擺。首先進行小車部分設計，包括連桿軸承座及擺桿的設計、小車軸承座的設計、軌道支座設計，接著進行傳動部分設計，包括同步帶及同步帶輪的設計、電機與同步帶連接裝置的設計以及同步輪支架的設計。在以上的基礎上，分析各個部分的特征拓撲關系，然后從下到上，從部分到整體設計出整體三維模型圖[6-8]。倒立擺整體倒立擺Pro/E模型圖，如圖4所示。研制出的倒立擺實物如圖5所示。

圖4 倒立擺Pro/E模型

圖5 倒立擺實物

根據(jù)已經(jīng)做出來的實際倒立擺系統(tǒng)，其物理參數(shù)測量如表1所示。

表1 倒立擺系統(tǒng)物理參數(shù)

再代入自主設計的直線一級倒立擺參數(shù)得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程[1-3]：

(5)

3 最優(yōu)控制策略LQR研究

對于自主設計的直線一級倒立擺系統(tǒng)，基于對倒立擺系統(tǒng)的模型建立、參數(shù)確定等分析，有必要設計相應的控制器，以確保系統(tǒng)能穩(wěn)定地加以控制。鑒于已推導出系統(tǒng)狀態(tài)方程，因此可以采用狀態(tài)空間極點配置和線性二次最優(yōu)控制方法設計最優(yōu)控制策略LQR[9]。應用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)結構框圖如圖6所示。

圖6 控制系統(tǒng)結構框圖

LQR控制理論是反饋系統(tǒng)設計的一種重要工具,取性能指標函數(shù)為二次型函數(shù)積分，它既考慮到系統(tǒng)性能的要求，又考慮到控制能量的要求，綜合出一個性能指標函數(shù)[4-5]。

根據(jù)線性二次最優(yōu)控制LQR基本原理，系統(tǒng)方程為：

(6)

二次型性能指標函數(shù)為：

(7)

Q和R分別為二次調(diào)節(jié)器；Q為半正定矩陣；R為正定矩陣。

如果倒立擺系統(tǒng)受到外界干擾而偏離零狀態(tài)，則施加控制u*可以使系統(tǒng)回到零狀態(tài)附近，并同時滿足上式取得最小值的最優(yōu)控制律為：

u*=v-KX

(8)

K為線性最優(yōu)反饋增益矩陣；v為信號輸入。

為使二次型性能指標函數(shù)J最小值，構造1個Hamilton函數(shù)如下所示：

λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(9)

接著，求導Hamilton函數(shù)，令其值為0，則求出函數(shù)最小值為：

(10)

從而得到最優(yōu)控制信號為:

-PA-ATP+PBR-1BTP-Q=0

(11)

應用LQR，可以得到對應的反饋增益矩陣K=lqr(A，B，Q，R)，這樣就完成了LQR控制策略的設計。

4 LQR控制參數(shù)仿真

假設全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)(4個狀態(tài)量都可測)，仿真曲線如圖7所示。

從圖7可以看出，直線倒立擺系統(tǒng)響應的超調(diào)量較小，但穩(wěn)定時間和上升時間較大。

當Q11,Q33增大后，LQR系統(tǒng)仿真響應曲線如圖8所示。

比較圖7和圖8可知：Q11，Q33增大，R不變時，系統(tǒng)反饋增益矩陣K變大，通過系統(tǒng)的相應結果會發(fā)現(xiàn)上升時間與超調(diào)量減小。Q增大后系統(tǒng)能在3 s的時間內(nèi)達到穩(wěn)定。

對于LQR系統(tǒng)，Q取不同的值，便可以得到不同的響應效果， 而Q的值逐漸增大，則系統(tǒng)抗干擾能力便逐漸增強，調(diào)整時間越短，從而使得系統(tǒng)穩(wěn)定性越好[10]。

圖7 LQR系統(tǒng)響應仿真

圖8 Q11,Q33 增大后的LQR系統(tǒng)響應

基于前面所計算的反饋增益K對建立的模型進行仿真，則直線一級倒立擺系統(tǒng)LQR控制仿真如圖9所示。

圖9 直線一級倒立擺LQR 控制仿真結果

圖9中，曲線a為小車的速度曲線，曲線b為小車的位置曲線，曲線c為擺桿角度曲線，曲線d為擺桿角速度曲線。由圖9可知，閉環(huán)控制系統(tǒng)響應的超調(diào)量很小，但穩(wěn)定時間和上升時間偏大，可以通過增大控制量來縮短穩(wěn)定時間和上升時間[11]。

5 結束語

在直線一級倒立擺數(shù)學建模的基礎上，自行研制了直線一級倒立擺，接著為確保倒立擺系統(tǒng)能更加穩(wěn)定地控制，研究并設計了LQR控制器，給出了LQR控制器結構框圖及理論分析。最后進行了仿真驗證。仿真效果表明，所研究并設計的LQR控制器系統(tǒng)響應靈敏，能保證所設計的直線一級倒立擺系統(tǒng)的擺角在一定的區(qū)域內(nèi)動態(tài)穩(wěn)定豎直向上，即使小車位移突然變化，擺角也能按照要求快速響應并恢復到期望位置，保持倒立擺的擺桿倒立不倒。

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