問(wèn)渠哪得清如許
——追尋數(shù)學(xué)試題巧解的入口點(diǎn)

安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) (246700)

周 勝 江保兵

在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，簡(jiǎn)潔、高效的解法一直是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者追求的目標(biāo).一道試題，一個(gè)簡(jiǎn)潔的解法會(huì)使我們眼前一亮，而不按套路出牌的“巧解”更使得我們備感興奮與快樂(lè).“巧解”是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)、內(nèi)在客觀規(guī)律的深刻揭示，巧妙展現(xiàn).“巧解”是怎么想到呢？如何去想？本文通過(guò)幾個(gè)案例，歸納幾種常見(jiàn)“巧解”思維的入口點(diǎn)，供大家參考.

例1 從1、2、3、4、5、6六個(gè)自然數(shù)中任取5個(gè)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，求所有五位數(shù)的和.

總之有a1×104+a2×103+a3×102+a4×101+a5(ai∈{1,2,…,5,6},i∈(1,2,…,5))就有相應(yīng)的(7-a1)×104+(7-a2)×103+(7-a3)×102+(7-a4)×101+(7-a5).

評(píng)注：本例巧解來(lái)自試題結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性.從對(duì)稱性考慮，是巧解思維的一個(gè)入口點(diǎn).

析解：考試中心給出的答案是：利用f(x)=sinx+tanx為奇函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}關(guān)于0對(duì)稱(即a14=0)時(shí)必有f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0.所以當(dāng)k=14時(shí)，f(ak)=0.這樣的解行嗎？不行.這只是結(jié)論成立的充分條件，而不是必要條件！但在應(yīng)試中，它確實(shí)是一個(gè)無(wú)可替代的巧解.

下面給出必要性的證明：假設(shè)a14>0，則f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d)>f(-13d)+f(-12d)+…+f(0)+…+f(12d)+f(13d)=0.

同理，假設(shè)a14<0，則f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d)

綜上：當(dāng)k=14，a14=0時(shí)，f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0，反之，逆命題也成立.

評(píng)注：本題解法又一次看到對(duì)稱性的威力.f(x)=sinx+tanx為奇函數(shù)且為單調(diào)增函數(shù)的特點(diǎn)為我們的巧解提供了天然的土壤.

例3 某班進(jìn)行乒乓球比賽.選手甲獲勝的概率為0.6，選手乙獲勝的概率為0.4.比賽采用5局3勝制，求選手甲獲勝的概率.

兩種解法都正確嗎？

分析：解法1是無(wú)疑正確的.解法2乍一看正確，它直觀，好懂.仔細(xì)一想，好像又是錯(cuò)誤的：5局3勝制中不一定非要比賽5場(chǎng).如果連勝3場(chǎng)，后面不用再比賽了.但計(jì)算的結(jié)果又是一樣，這到底是怎么回事？

至此，我們終于明白了：這2種解法本質(zhì)是一樣的.從問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)考慮，對(duì)于P(3)=p3=

例4 選派5位老師去A、B、C三地支教，每地至少派一位老師，其中甲不派往A地的概率為( ).

評(píng)注：本題如果運(yùn)用常規(guī)做法，不僅運(yùn)算量較大，而且讓人難以理解.而此巧解關(guān)鍵是抓住了概率的本質(zhì)，充分利用古典概型的“等可能”，可謂“四兩撥千斤”.

例5 (2015年安慶市重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)

(1)求曲線C的方程；

圖1

評(píng)注：本題如果按照常規(guī)的解幾方法處理，其運(yùn)算量過(guò)大.而上述巧解通過(guò)深刻的洞察題意，運(yùn)用四點(diǎn)共圓的知識(shí)，不僅簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，而且突出了試題的本質(zhì).

[1]吳振奎.幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的巧解.中等數(shù)學(xué).[J].1987(3).

[2]單墫.我怎樣解題.[M].上海：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013.

[3]波利亞.怎樣解題.[M].上海：上海教育出版社，2001.

[4]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.