撥開云霧見月明
——源于一節(jié)隨聽課對(duì)一道數(shù)列題的講授而引發(fā)的探究

廣東省云浮市新興縣新興理工學(xué)校 (527400)

陳偉彬

偶爾隨聽了一節(jié)年輕老師的“推門”課.下面原汁原味地再現(xiàn)該年輕老師的“完美解法、優(yōu)秀解法”.

生：起立！老師好！

師：同學(xué)們好，請(qǐng)坐下！這節(jié)課我們先講解一下兩天前中段考題中的一道數(shù)列題(板書).

題目在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)，Sn取得最大值，則使Sn>0的n的最大值是 .

師：從評(píng)卷得分的情況來看，全班52人得分率很不理想：有40人的答案完全錯(cuò)誤；有7人的答案只寫對(duì)部分，如只寫n=11(或只寫n=12)；有5人不作答.

師：這道題目若借助于拋物線的圖像來求解是很直觀、很完美的.下面展示該完美解法：

圖1

圖2

②當(dāng)對(duì)稱軸n=6.5時(shí)，如圖2，由對(duì)稱性知，S13=S0=0，當(dāng)對(duì)稱軸向左微移時(shí)，顯然有S12>0且S13<0.綜合以上①②得，要使Sn>0的n的最大值是11或12.

師：下面再講解中段考中的概率題目(以下的講課內(nèi)容本文略)

圖3 圖4

點(diǎn)評(píng)：該法是借助于二次函數(shù)的圖像，并且取兩個(gè)極端對(duì)稱軸位置，再依拋物線的對(duì)稱軸向右向左微移時(shí)，慢慢觀察圖像的變化，從而體會(huì)出(注：對(duì)學(xué)生來說有困難)S11>0且S12<0，或者S12>0且S13<0，從而得出結(jié)論.課后通過原年輕老師對(duì)全班學(xué)生的問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)老師的“完美解法、優(yōu)秀解法”并不是很領(lǐng)情，學(xué)生普遍感到吃力、難以接受，即對(duì)二次函數(shù)Sn的圖像，老師沒有作相應(yīng)的知識(shí)鋪墊就一下畫出過原點(diǎn)的圖3情形，那老師是怎樣想到的？若首項(xiàng)a1<0，則S1=a1<0，此時(shí)圖像很可能是不過原點(diǎn)的圖4情形，若是圖4情形，那如何判斷S11、S12、S13的正與負(fù)呢？總之，老師的解法很直觀、很正確、很完美，但心中很糾結(jié)，總感覺有問題如哽在咽.

在中段考后的教研活動(dòng)中，詢問了幾個(gè)同事，都基本上類同上面“完美解法”的思路.當(dāng)問到除此之外有沒有更為學(xué)生所接受的通俗易懂的解法時(shí)，同事們都說沒想過.對(duì)該“完美解法”，本文作者不想做過多的評(píng)價(jià)，但遺憾的是：在“完美解法、優(yōu)秀解法”的背后還隱含著一些深層問題沒有跟學(xué)生一起探討.這些深層問題知識(shí)的缺失，可能會(huì)影響相類似題目的通性通法解決，而上面“完美解法、優(yōu)秀解法”只是一個(gè)解法的個(gè)案.下面就這個(gè)“深層問題”作進(jìn)一步的囊中探物，從難到易的探究，以便達(dá)到“撥開云霧見月明”找到更佳的通性通法，以饗讀者，引起廣大師生共鳴.

探究之一：結(jié)合二次函數(shù)Sn的圖像，探究對(duì)稱軸在三個(gè)特殊位置并相應(yīng)的向左右平移，全面感知Sn的正負(fù)變化，從而得出結(jié)論(本質(zhì)上是仿年輕老師的“完美解法、優(yōu)秀解法”，但更完整).

圖5

圖6

圖7

點(diǎn)是n=0和n=12.8，所以S0=0和S12.8=0，又Sn在區(qū)間(6.4,+)上單調(diào)遞減，所以S12>S12.8=0且S130的n的最大值是12.

綜合①②③可知，使Sn>0的n的最大值是11或12.

評(píng)：此法較繁瑣，適合培養(yǎng)運(yùn)算的基本功與慎密的思維品質(zhì)，以及空間想象能力.

探究之二：以對(duì)稱軸為切入點(diǎn)進(jìn)行分類討論，討論軸的位置，判斷Sn的正與負(fù)變化.

①當(dāng)對(duì)稱軸5.50且S12≤0，此時(shí)使Sn>0的n的最大值是11;

②當(dāng)對(duì)稱軸60且S13<0，此時(shí)使Sn>0的n的最大值是12.

綜合①②知，使Sn>0的n的最大值是11或12.

評(píng)：此法較“探究之一”簡(jiǎn)潔，但思維能力與邏輯推理能力要求較高，不易達(dá)到最終目標(biāo).

探究之三：函數(shù)法——以對(duì)稱軸為切入點(diǎn)，通過構(gòu)造數(shù)列“和”函數(shù)，并研究“和”函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造不等式來確定n的取值范圍.

評(píng)：此法思維量不大，計(jì)算量少，易于操作，適合廣大學(xué)生，是解此類題的主流.

探究之四：依據(jù)題意先確定數(shù)列的正負(fù)分界項(xiàng)an>0且an+1≤0(或an≥0且an+1<0)，并借助于等差數(shù)列的性質(zhì)ap+aq=am+an來等價(jià)轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)出Sn>0且Sn+1≤0(或Sn≥0且Sn+1<0).

分析：當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)，S6取得最大值，則公差d<0，同時(shí)a1>0，a2>0，a3>0，a4>0，a5>0，a6>0且a7<0.

綜合①②知，使Sn>0的n的最大值是11或12.

評(píng)：此法簡(jiǎn)潔、明快，但要儲(chǔ)備基礎(chǔ)知識(shí)，如ai>0(i=1,2,3,4,5,6)且a7<0，以及靈活應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)等價(jià)轉(zhuǎn)換.否則難以入手.

例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0，①求公差d的范圍；②問該數(shù)列前幾項(xiàng)和最大？請(qǐng)說明理由.

下面補(bǔ)充4道原創(chuàng)題目，供嘗試：

(答案為n=31)

(答案為n=13)

3.在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)且僅當(dāng)n=13時(shí)，Sn有最大值，則使Sn<0的最小n值為 .

(答案為n=26或27)

4.等差數(shù)列{an}中，當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí)，Sn有最小值，則使Sn<0的最大n值為 .

(答案為n=19或20)

探究后的體會(huì)：解決諸如“當(dāng)n為何值時(shí)，使Sn的值最大(小)”或“使Sn>0(Sn<0)的n的最大(小)值是多少？”的數(shù)列題目的通性解法的獲得，是緣于對(duì)“完美解法”的不知足而誘發(fā)一系列的由難到易，去粗存精，剝絲抽繭，整合優(yōu)化等“撥開云霧見月明”的深入研究的結(jié)果.本文經(jīng)探究所獲得的兩種通性通法，即“探究之三”與“探究之四”，若能為你處理該類數(shù)列題帶來一些新意的話，那作者的寫作目的也就達(dá)到了.