帶有臨界指數(shù)的p-Kirchhoff 型方程正基態(tài)解的存在性

白容宇， 王淑麗， 郭祖記

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030024)

本文研究了下列帶有臨界指數(shù)的p-Kirchhoff型方程

f1)f是奇函數(shù)且f(s)>0,s>0;

f4) 存在λ> 0和q∈(p,2p], 使得f(s)≥λsq-1,s>0;

近年來(lái), 很多學(xué)者研究了 Kirchhoff型方程

解的存在性和多重性, 其中a,b為正常數(shù),Ω?RN[1-3]. 最近, 文獻(xiàn)[4]研究了如下帶有臨界指數(shù)的Kirchhoff型方程

解的存在性, 文獻(xiàn)[5]研究了該方程中 R3被 RN取代后正解的存在性. 同時(shí), 有界區(qū)域上帶有臨界指數(shù)的Kirchhoff 型方程解的存在性也有了一些新的研究, 例如文獻(xiàn)[6]中考慮了含有變量的臨界增長(zhǎng)方程, 文獻(xiàn)[7]研究了帶有臨界奇異指數(shù)非線性項(xiàng)的方程. 然而, 只有少量文獻(xiàn)研究帶有臨界指數(shù)的p-Kirchhoff 型方程解的存在性[8-9]. 本文研究方程(P)在全空間 RN上正基態(tài)解的存在性， 主要工作是將文獻(xiàn)[9]中的q降低到(p,2p]并找到一個(gè)正基態(tài)解, 也是將文獻(xiàn)[10]中的p=2,N=3 推廣到一般的p和N, 證明的主要困難在于(PS)c序列的有界性. 主要結(jié)果如下：

定理1 假設(shè)f1)～f5)成立且λ充分大, 則問(wèn)題(P)有一個(gè)正基態(tài)解.

1 預(yù)備知識(shí)

定義泛函I∶W1,p(RN)→R為

由f1)～f3)知I∈C1(W1,p(RN),R), 且對(duì)任意u,v∈W1,p(RN), 有

〈I′(u),v〉=

因此,u是問(wèn)題(P)的解當(dāng)且僅當(dāng)u是泛函I的臨界點(diǎn). 為了證明定理1, 給出以下幾個(gè)引理.

引理1 (消失引理) 設(shè)r>0,p≤q

則對(duì)任意p

證明與文獻(xiàn)[11]中引理1.21的證明類似, 此處省略.

P(vn(x))→v(x) a.e.x∈RN, (n→ ∞),

則對(duì)任何有界的Borel集B, 有 ‖(P(vn)-v)w‖L1(B)→0. 更進(jìn)一步, 如果

則

以下假設(shè)f1)～f5)成立,C,Ci為變化的正常數(shù).

引理3 1) 對(duì)任意的ε>0, 存在Cε>0, 使得對(duì)一切s∈R, 有

|f(s)|≤ε(|s|p-1+|s|p*-1)+Cε|s|q-1,

2) 對(duì)s≠0, 有

證明直接計(jì)算可得, 此處省略.

引理4 如果u∈W1,p(RN)是(P)的弱解, 則u滿足下列Poho?aev恒等式

P(u)

證明證明參考文獻(xiàn)[13], 此處省略.

引入以下流形

M∶={u∈W1,p(RN){0}∶G(u)=0},

其中

直接計(jì)算得

引理5 假設(shè)c1,c2,c3,c4是正常數(shù),u∈W1,p(RN){0}, 則函數(shù)

g(t)∶=c1tN+1-p+c2t2(N+1-p)+c3tN+1-

有唯一的正臨界點(diǎn)且在該點(diǎn)函數(shù)g(t)取到最大值.

證明基本計(jì)算可以證明, 此處省略.

證明任取u∈W1,p(RN){0},t>0, 令

引理7 由式(1)定義的泛函I滿足山路定理的幾何結(jié)構(gòu).

證明1) 顯然I(0)=0. 由f1)～f3)知, 對(duì)任意ε>0, 存在Cε>0使得

|f(s)|≤ε|s|p-1+Cε|s|p*-1,s∈R.(7)

由式(7)和嵌入定理知

2) 固定u∈W1,p(RN){0}, 由式(1)和f4), 有

由山路定理和引理7, 定義I的山路臨界值為

(8)

其中

Γ={γ∈C([0,1],W1,p(RN))|γ(0)=0,

I(γ(1)) <0}.(9)

引理8 存在序列{un}?W1,p(RN)滿足

I(un)→c,I′(un) →0,G(un)→0,(10)

其中c由式(8)定義.

證明定義映射Ψ:R×W1,p(RN)→W1,p(RN)為

R,v∈W1,p(RN).

(11)

其中

(c) dist((θn,vn),(0,γn))→0.

(13)

對(duì)任意(h,ω)∈R×W1,p(RN), 直接計(jì)算可得

Ψ(θn,ω)〉+G(Ψ(θn,vn))h.(14)

在式(14)中, 取h=1,ω=0， 且令un∶=Ψ(θn,vn), 則G(un)→0. 再由式(13)(a), 有I(un)→c.

則I′(un)→0.

利用文獻(xiàn)[14]的方法, 可以證明

(15)

引理9 對(duì)λ>0充分大, 有

則

(19)

n→∞,

(20)

定義函數(shù)

t≥0,

令

由隱函數(shù)定理, 在點(diǎn)P附近存在唯一的可微函數(shù)tε=φ(Xε,Yε)滿足

由于

(21)

因此

(22)

由條件f4)知

注意到q∈(p,2p], 結(jié)合式(17)可得, 當(dāng)λ充分大時(shí), 有c

引理10 如果{un}滿足式(10), 則{un}是有界的.

所以‖un‖有界.

證明假設(shè)結(jié)論不成立, 由引理1可得

|un|q=o(1),q∈(p,p*).(24)

由式(3)的第1個(gè)不等式得

又由{un}的有界性, 可設(shè)

其中l(wèi)1≥0,l2≥0, 則l1>0, 否則‖un‖→0與c>0矛盾. 將式(27)代入式(25)得

(28)

將式(27)， 式(28)代入式(26)得

根據(jù)S的定義可得

于是又可得到

(29)

考慮以式(29)為約束條件, 目標(biāo)函數(shù)為

的最優(yōu)化問(wèn)題. 當(dāng)式(29)取等號(hào)時(shí), 目標(biāo)函數(shù)取得最小值, 即

(30)

因此

結(jié)合式(30)知,c≥c*, 與引理9矛盾.

2 定理1的證明

在引理2中, 取P(s)=f(s),Q(s)=|s|p*-2s, {vn}n={un}n,v=f(u),w=u, 則由式(31), Sobolev不等式和引理2, 有

(32)

同理可得

(33)

(35)

由式(35)和其Poho?aev恒等式可得

因此

定義泛函I+(u)∶W1,p(RN)→R為

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