最小二乘配置法優(yōu)化的REHSM模型及應(yīng)用

王東東，張 俊，鄧小東，劉繼庚，趙旭坤

(貴州大學(xué)礦業(yè)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

自板塊構(gòu)造運動理論提出以來，很多學(xué)者根據(jù)地球物理資料，基于歐拉定理，建立了一批全球板塊運動模型[1-3]。這些早期的模型大多是將板塊運動看作是一種剛性運動，認為板塊運動時，其內(nèi)部不發(fā)生變形，或者認為變形只發(fā)生在板塊邊緣一定條帶范圍。20世紀90年代以來，有關(guān)研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，板塊邊緣是發(fā)散的，板塊具有彈塑性。地球物理學(xué)也表明，一點的運動或多或少都具有一定的彈性性質(zhì)和塑性性質(zhì)[1]，并且地球的巖石圈在幾年到幾十年的時間尺度上，表現(xiàn)為彈性性質(zhì)，在這個時間尺度上進行研究，可以將塊體視為彈性介質(zhì)[4]。目前，大地測量技術(shù)可在幾千千米的空間尺度中實現(xiàn)對地表位移的監(jiān)測，精度達到毫米級[5]，可以精確地監(jiān)測板塊運動狀況，使研究板內(nèi)形變成為可能。一個板塊受周圍板塊的作用常常發(fā)生板內(nèi)形變，板內(nèi)形變長期積累是地震發(fā)生的原因[6]，因此，研究板內(nèi)形變，對于研究地震的發(fā)震機制具有很強的現(xiàn)實意義。李延興等學(xué)者建立了板塊的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型(REHSM)[7]和整體旋轉(zhuǎn)與線性應(yīng)變模型(RELSM)[4]，對板塊旋轉(zhuǎn)參數(shù)和板內(nèi)應(yīng)變參數(shù)進行了統(tǒng)一解算，改變了以往兩種參數(shù)分開解算的狀態(tài)，它們是真正意義上的綜合模型。由于顧及了板內(nèi)形變，這兩種模型對地殼運動的速度場擬合精度明顯優(yōu)于剛性運動模型[4]。但鑒于不同區(qū)域地質(zhì)構(gòu)造環(huán)境的差異和復(fù)雜性，簡單假設(shè)板內(nèi)形變應(yīng)變隨位置呈均勻或線性變化，可能與實際板塊運動難以達到最佳的符合。為此，本文提出一種利用最小二乘配置模型(LSC)對REHSM模型進行優(yōu)化的方案，即仍然假定板內(nèi)各點的形變應(yīng)變隨位置大致呈均勻變化，但同時認為板塊運動除遵循整體剛性旋轉(zhuǎn)運動和均勻應(yīng)變外，還存在板內(nèi)非均勻應(yīng)變。由于非均勻應(yīng)變量級和形式都非常復(fù)雜，并受許多地質(zhì)構(gòu)造因素影響，故可利用LSC模型中的信號部分對偏離均勻應(yīng)變的部分進行補償，而將REHSM模型表達為LSC的主項，即趨勢項，以此建立板塊運動及形變模型，稱為〗LSCREHSM模型。對最近幾期中國大陸構(gòu)造環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)在環(huán)渤海區(qū)域的速度場數(shù)據(jù)進行擬合分析，結(jié)果表明LSCREHSM模型可以精確描述塊體的整體運動和板內(nèi)應(yīng)變情況，其擬合結(jié)果明顯優(yōu)于REHSM模型。

1 剛性運動模型

傳統(tǒng)板塊構(gòu)造理論認為板塊是一個剛體，其運動模型為

(1)

式中，VE、VN分別為板塊上任意一點在東西方向和南北方向的運動速率；λ、φ為經(jīng)緯度；ωx、ωy、ωz為歐拉旋轉(zhuǎn)參數(shù)；r為地球平均半徑。

2 塊體運動的整體旋轉(zhuǎn)與均勻應(yīng)變模型

在研究大范圍的塊體運動與應(yīng)變時，常采用球面坐標系。以塊體的幾何中心(λ0，φ0)為坐標原點，以緯線為x軸、經(jīng)線為y軸建立球面坐標系。其中，令塊體上一點沿緯線到y(tǒng)軸的平行圈弧長為x坐標，沿經(jīng)線到x軸的子午圈弧長為y坐標，則有

(2)

一個塊體受到周圍塊體的碰撞和擠壓，會使塊體發(fā)生整體旋轉(zhuǎn)和板內(nèi)形變。以往大多數(shù)建立的是塊體的剛性運動模型，認為形變只發(fā)生在塊體的邊緣，忽略了板內(nèi)形變，這與塊體的實際運動情況不符。大地測量技術(shù)得到的塊體運動速率是塊體整體運動和局部板內(nèi)形變的綜合。利用GPS速度場數(shù)據(jù)建立塊體的剛性運動模型，不能描述板內(nèi)形變情況。李延興給出了顧及板內(nèi)形變的塊體運動模型，將塊體的整體旋轉(zhuǎn)和板內(nèi)應(yīng)變統(tǒng)一起來進行參數(shù)求解。當假設(shè)板內(nèi)的應(yīng)變是均勻變化的，其模型為

(3)

式中，εE、εEN、εN為應(yīng)變參數(shù)；其他參數(shù)含義同式(1)、式(2)。

3 塊體運動的整體旋轉(zhuǎn)與線性應(yīng)變模型

若進一步假設(shè)塊體內(nèi)部的形變是線性應(yīng)變，則可得到塊體的整體旋轉(zhuǎn)與線性應(yīng)變模型，其模型為

(4)

式中，第一項參數(shù)同式(1)；A0、B0、C0、A1、B1、C1、A2、B2、C2為應(yīng)變參數(shù)。

4 最小二乘配置模型

最小二乘配置模型的一般形式為[5]

L=AX+Y+Δ

(5)

通過間接平差得到參數(shù)為

(6)

已測點和未測點的估值為

(7)

式中，Ds為已測點協(xié)方差陣；DS′S為已測點和未測點之間的協(xié)方差陣。

最小二乘配置的核心是協(xié)方差函數(shù)的確定和擬合，選擇合適的協(xié)方差函數(shù)是得到最優(yōu)結(jié)果的保障。許多學(xué)者在板塊運動中使用LSC模型時，常常選擇高斯指數(shù)函數(shù)作為協(xié)方差函數(shù)模型，并取得了良好的結(jié)果[5，8-13]，詳見文獻[11]。

5 塊體運動的LSCREHSM模型

空間大地測量技術(shù)得到的數(shù)據(jù)是塊體的整體運動與板內(nèi)形變的綜合，其中必然包含擴張形變的影響[14]。REHSM假設(shè)塊體內(nèi)部形變是均勻應(yīng)變，而這種擴張形變必然會影響板內(nèi)應(yīng)變，破壞其對板內(nèi)形變的均勻應(yīng)變的假設(shè)，在塊體運動活躍區(qū)域?qū)憩F(xiàn)得更加明顯。這種情況下建立的模型既不能精確描述塊體的整體旋轉(zhuǎn)運動，也不能精確描述板內(nèi)形變情況。因此，采用最小二乘配置模型中的信號部分來描述板內(nèi)應(yīng)變偏離均勻應(yīng)變的部分，從而建立一種改進模型，其形式為

(8)

6 環(huán)渤海區(qū)域地殼形變分析

本文采用中國大陸構(gòu)造環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)絡(luò)在環(huán)渤海區(qū)域的GPS觀測速度場數(shù)據(jù)。監(jiān)測站空間分布范圍為30.96°N—42.54°N、111.48°E—128.11°E，共有482個監(jiān)測站，其中包括基準站32個，區(qū)域站450個?；鶞收緮?shù)據(jù)采集時間為2010—2014年；區(qū)域站數(shù)據(jù)采集時間為2009年、2011年和2014年3期觀測數(shù)據(jù)，每個測站連續(xù)觀測3 d，采樣間隔為30 s。通過對監(jiān)測站觀測資料的處理，得到環(huán)渤海區(qū)域統(tǒng)一速度場數(shù)據(jù)，精度優(yōu)于2 mm/a。

鑒于塊體運動整體上具有長期穩(wěn)定性，其主要規(guī)律應(yīng)遵循歐拉剛體整體旋轉(zhuǎn)運動規(guī)律，為此，需要對明顯偏離塊體整體運動趨勢的測站進行剔除。具體做法為：利用式(1)計算塊體在東方向和北方向運動速率的殘差，以塊體測站速率分量標準差平均值的2倍作為選站的限差，逐步剔除那些明顯偏離塊體整體運動趨勢的測站，直至剩余測站的速率殘差絕對值均小于限差為止。經(jīng)過以上方法對環(huán)渤海482個測站進行篩選，共剔除測站48個。

為驗證本文方法，分別采用RRM、REHSM、RELSM和LSCREHSM這4種模型及擬合方案對環(huán)渤海區(qū)域GPS速度場進行擬合分析，結(jié)果列于表1，同時給出了4種模型解算的速度殘差圖，如圖1所示。表中SΔv利用式(9)計算。

(9)

式中，ΔvEi、ΔvNi分別為塊體第i個測站在東西方向和南北方向運動速率的殘差；R為未知參數(shù)的個數(shù)；n為測站個數(shù)。

圖1

塊體名稱模型歐拉運動參數(shù)λ/(°)φ/(°)ω/(°)速率殘差標準差SΔv/(mm/a)環(huán)渤海區(qū)域RRM-127.0±3.3370.6±0.830.332±0.0041.32REHSM-120.8±2.9868.8±1.000.324±0.0041.28RELSM-119.6±3.3668.2±1.270.322±0.0051.28LSCREHSM52.1±0.00257.4±0.0020.11±0.00000.49

對計算結(jié)果進行分析如下：

(1) 從圖1(a)—(c)可以看出，塊體在東西方向和南北方向運動速率的殘差均在4.5 mm以內(nèi)，且圖1(a)速率殘差的波動要略微大于圖1(b)和圖1(c)；圖1(b)和圖1(c)中速率殘差的波動相似；由圖1(d)也可以看出，在東西方向和南北方向的運動速率殘差均小于2.5 mm/a，表明了4種模型在描述板塊長期趨勢性運動都是有效的。從4種模型解算的運動速率殘差可以得出，LSCREHSM模型擬合的效果明顯優(yōu)于其他3種模型。

(2) 從表1可以看出，RRM模型處理的效果最差，由于RRM模型只考慮到塊體的整體旋轉(zhuǎn)運動，沒有顧及板塊內(nèi)部形變，其處理效果最差是可以預(yù)見的；REHSM模型和RELSM模型分別假設(shè)板內(nèi)應(yīng)變是均勻和線性的，其數(shù)據(jù)處理結(jié)果的精度相當，均優(yōu)于RRM模型處理的結(jié)果，說明假設(shè)具有一定的合理性。

(3) 從表1也可以看出，LSCREHSM模型解算的效果優(yōu)于REHSM模型和RELSM模型。這是因為環(huán)渤海區(qū)域塊體運動活躍，呈現(xiàn)擴張狀態(tài)，且有部分區(qū)域是陸地和海洋相接，其地質(zhì)情況復(fù)雜[15]，在該區(qū)域?qū)Π鍍?nèi)運動情況作任何假設(shè)都難以符合實際情況。在環(huán)渤海區(qū)域，假設(shè)板內(nèi)應(yīng)變是均勻應(yīng)變或線性應(yīng)變，顯然很難描述板內(nèi)實際應(yīng)變狀態(tài)。

(4) 本文假設(shè)板內(nèi)應(yīng)變以均勻應(yīng)變?yōu)橹?，其次板?nèi)還存在偏離均勻應(yīng)變的其他應(yīng)變，將其看作信號。采用LSC模型對信號加以描述，試驗結(jié)果表明LSC模型對偏離均勻應(yīng)變的部分，處理是有效的，得到的結(jié)果更加符合本區(qū)域塊體運動的實際情況。說明該模型不僅可以精確描述塊體的整體旋轉(zhuǎn)運動，而且還可以精確描述塊體內(nèi)部應(yīng)變情況。

7 結(jié) 語

RRM模型僅能描述塊體長期運動的平均趨勢性運動，不能顧及板內(nèi)形變。REHSM和RELSM模型雖然顧及了塊體的內(nèi)部形變，但這兩種模型分別假設(shè)塊體內(nèi)部形變?yōu)榫鶆驊?yīng)變和線性應(yīng)變，仍然具有相當?shù)木窒扌?。本文提出利用LSC中信號對偏離REHSM的板內(nèi)形變進行補償，建立了LSCREHSM地殼形變分析模型，取得了良好的效果，為地殼形變分析提供了一種新的思路。

利用LSCREHSM模型進行地殼形變分析涉及協(xié)方差函數(shù)的構(gòu)建，協(xié)方差函數(shù)的好壞將直接影響形變分析結(jié)果。本文采用高斯指數(shù)函數(shù)進行協(xié)方差函數(shù)擬合，取得了較好的結(jié)果。說明假定地殼運動速度場各點間的聯(lián)系隨距離衰減是基本符合實際的。但在不同區(qū)域，因地質(zhì)構(gòu)造情況差異性較大，LSCREHSM模型的適用性尚需進一步驗證。

參考文獻：

[1] JIN S，ZHU W.A Revision of the Parameters of the NNR-NUVEL-1A Plate Velocity Model[J].Journal of Geodynamics，2004，38(1):85-92.

[2] DEMETS C，GORDON R G，ARGUS D F，et al.Current Plate Motions[J].Geophysical Journal International，1990，101(2):425-478.

[3] ARGUS D F，GORDON R G.No-net-rotation Model of Current Plate Velocities Incorporating Plate Motion Model NUVEL-1[J].Geophysical Research Letters，1991，18(11):2039-2042.

[4] 李延興,張靜華,何建坤,等.由空間大地測量得到的太平洋板塊現(xiàn)今構(gòu)造運動與板內(nèi)形變應(yīng)變場[J].地球物理學(xué)報，2007，50(2)：437-447.

[5] 江在森,劉經(jīng)南.應(yīng)用最小二乘配置建立地殼運動速度場與應(yīng)變場的方法[J].地球物理學(xué)報，2010，53(5)：1109-1117.

[6] BURBIDGE D R.Thin Plate Neotectonic Models of the Australian Plate[J].Journal of Geophysical Research Solid Earth，2004，109(B10):1-15.

[7] 李延興,胡新康,帥平,等.中國大陸地殼水平運動速度場與應(yīng)變場[J].國際地震動態(tài)，2002(7)：1-9.

[8] 楊元喜,曾安敏,吳富梅.基于歐拉矢量的中國大陸地殼水平運動自適應(yīng)擬合推估模型[J].中國科學(xué):地球科學(xué)，2011，41(8)：1116-1125.

[9] 張貴鋼,楊志強,王慶良,等.基于最小二乘配置模型探討青藏高原巴彥喀拉塊體的運動特征[J].地球科學(xué)與環(huán)境學(xué)報，2011，32(2)：213-216.

[10] 張希,江在森.考慮區(qū)域構(gòu)造特征的最小二乘配置方法初步研究[J].中國地震，2001，17(4)：78-82.

[11] 柴洪洲,崔岳,翟天增,等.中國大陸主要塊體水平運動協(xié)方差函數(shù)確定方法研究[J].大地測量與地球動力學(xué)，2009，29(4)：74-78.

[12] 趙麗華,曾安敏.自適應(yīng)擬合推估在地殼形變分析中的應(yīng)用[J].大地測量與地球動力學(xué)，2009，29(1)：132-134.

[13] 柴洪洲，崔岳,明鋒.最小二乘配置方法確定中國大陸主要塊體運動模型[J].測繪學(xué)報，2009，38(1)：61-65.

[14] 李延興,張靜華,何建坤,等.菲律賓海板塊的整體旋轉(zhuǎn)線性應(yīng)變模型與板內(nèi)形變-應(yīng)變場[J].地球物理學(xué)報，2006，49(5)：1339-1346.

[15] 李延興,馬宗晉,張靜華,等.渤海盆地的現(xiàn)今擴張運動[J].地球物理學(xué)報，2009，52(6)：1483-1489.

[16] 丁阿鹿,楊建華,張莞玲,等.基于自適應(yīng)擬合推估的最小二乘配置改進模型在地殼形變分析中的應(yīng)用研究[J].測繪通報,2013(1):19-21.

[17] 曾安敏,劉光明,秦顯平,等.應(yīng)用擬合推估法建立我國大陸地殼水平運動速度場的研究[J].測繪通報,2012(S1):11-15.