多因子模型下?lián)鶆諔{證拉普拉斯定價方法

馬衛(wèi)鋒, 張峻嘉, 孫麗華

(同濟大學 經(jīng)濟與管理學院，上海 200092)

擔保債務憑證(collateralized debt obligations，CDOs)是以一籃子債權(quán)標的為資產(chǎn)池，發(fā)行的償付次序不同的分券.分券依據(jù)不同優(yōu)先償付次序承擔資產(chǎn)池的損失，附著點(attchment point )、分離點(detachment point)決定了分券發(fā)生損失的概率，以及分券所需承擔的損失.分券定價類似于計算期權(quán)損益，需要刻畫計息期內(nèi)的資產(chǎn)池損失分布，即對于任意損失臨界值y估計損失概率P(L>y)以及期望E[L∧y]，意味著刻畫資產(chǎn)間的違約相關(guān)性.Glassman[1]指出理論研究中通常以因子Copula模型作為度量資產(chǎn)池相關(guān)性的標準模型，Vasicek[2]指出該模型認為資產(chǎn)的相依結(jié)構(gòu)由隱含變量決定，資產(chǎn)的價值由系統(tǒng)因子和特殊風險因子決定.

違約相關(guān)性導致資產(chǎn)池損失分布異常復雜，Glassman[3]指出大多數(shù)情況下沒有解析解，所以組合風險管理中廣泛運用Monte Carlo模擬方法.然而，Monte Carlo模擬的收斂速度慢、模擬誤差大，特別當資產(chǎn)間相關(guān)性比較復雜時，或者在定價時需要準確估計損失額度大、發(fā)生概率小的事件，普通Monte Carlo模擬方法的計算效率尤為低.如何提升資產(chǎn)池損失刻畫的準確性和效率一直以來都是學界探討的問題.

按照上述思路，本文在共同因子Z條件下，計算資產(chǎn)池損失的Laplace變換，運用Abate & Whitt[7]提出的Laplace逆變換數(shù)值方法得到條件值，進而估計無條件違約概率P(L>y),期望E[L∧y],這彌補了Glasssman[3]估計P(L>y)時，需要對不同y重新進行重要性測度變換的不便，減小了Glasssman[1]估計E[L∧y]結(jié)果的方差，Laplace逆變換數(shù)值方法所需步數(shù)更少，意味著估計效率更高.對任意y，該方法同時適用于估計P(L>y)和E[L∧y]，較大提升了組合風險管理效率.

1 因子Copula模型

1.1 因子Copula模型

度量資產(chǎn)組合信用風險的關(guān)鍵在于刻畫資產(chǎn)間違約相關(guān)性，理論研究中廣泛運用的是Li[8]提出的Copula模型，核心思想是通過Copula函數(shù)連接資產(chǎn)池的聯(lián)合違約概率分布和單個資產(chǎn)的邊際違約概率分布.下面簡要介紹該模型.

資產(chǎn)池t時刻的損失L(t)為

(1)

式中:N為資產(chǎn)池包含的資產(chǎn)個數(shù);Yj是j個資產(chǎn)違約產(chǎn)生的損失;I為示性函數(shù).

示性函數(shù)間的相關(guān)性決定資產(chǎn)的違約相關(guān)性，因子Copula模型中，相關(guān)性由一系列潛在變量{V1,…,VN}決定,即

式中:Vj是第j個資產(chǎn)的違約臨界值，由邊際違約概率Pj決定，vj=Φ-1(1-Pj),Φ是其累計密度函數(shù).

在因子Copula模型中資產(chǎn)的價值Vj由兩方面因素決定，共同影響因子和個體特殊因子,即

(2)

式中:ρj代表資產(chǎn)j(j=1,2,3…N)受到共同影響因子的影響程度；Z是一系列共同影響因子，代表資產(chǎn)價值受到市場因素的影響程度；ξj是第j個資產(chǎn)的特殊因子，代表資產(chǎn)價值受到自身因素的影響程度.其中，V、Z、ξj的分布根據(jù)不同情況決定，如Gregory[5]等運用Clayton Copula；又如Anderson[4]，Mashal[9]等引入StudenttCopula模型；再如Hull和White[10]在CDO定價中使用了DoubletCopula模型.Kalemanova[11]在CDO定價中引入NIG(normal inverse Gaussian)分布，實證結(jié)果顯示對市場數(shù)據(jù)擬合效果類似DoubletCopula.為了探討金融中“厚尾”“相關(guān)性微笑”問題，Moosbrucker[12]將VG分布因子Copula模型.

因子Copula模型的優(yōu)勢在于其條件獨立性，不論因子服從何種分布，在給定共同影響因子Z的條件下，各個資產(chǎn)相互獨立，資產(chǎn)j的違約概率為

(3)

1.2 Monte Carlo模擬

Copula方法通常需要結(jié)合Monte Carlo模擬來估計資產(chǎn)池的損失分布.通過模擬市場情況Z以及每種市場狀態(tài)下各個資產(chǎn)ξi的情況，判斷資產(chǎn)i是否違約，計算資產(chǎn)池總損失，得到各個分券層期望損失:

(1)產(chǎn)生共同影響因子隨機數(shù)Z，特殊風險因子隨機數(shù)ξi(i=1,2…N)，在當前市場狀態(tài)Z下基礎資產(chǎn)池中單個資產(chǎn)i的價值為

i=1,2,3…N;j=1,2…n

(2)比較資產(chǎn)i的價值與違約臨界值的大小，找出違約資產(chǎn)，引入示性函數(shù)Ii.

(3)狀態(tài)Z下資產(chǎn)池的總損失，記為Lj,即

(4)將Lj分配到分券層[A,D]中，得到第j次模擬中該分券層的損失Lj[A,D],即

(5)重復上述步驟k次，得到分券層[A，D]的期望損失E[L[A,D]],即

2 Laplace定價方法

對于一個實數(shù)t，其分布函數(shù)f(t)的Laplace變換為

(4)

(5)

式中，A為任意正實數(shù)，則

(6)

對最初n項之后的m項運用歐拉求和函數(shù)，得到sn(t)的近似值,即

(7)

在數(shù)值試驗中，取m=11，n=38，B=19.

假設存在CDO分券層的附著點為A，分離點為D,付息時間點分別為t0,t1,t2…

根據(jù)式(4)資產(chǎn)池損失L的Laplace變換為

φ(s)∶=E[e-sL]

(8)

單個資產(chǎn)損失Yj的Laplace變換為

φj(s)∶=E[e-sYj]

因子模型中，給定共同影響因子Z，組合的資產(chǎn)之間相互獨立，通過對條件Z下的損失概率P(L>y|Z)、期望E[L∧y|Z]求期望，可以得到無條件值如下:

P(L>y)=E[I{L>y} ]=

E[E[I{L>y} |Z]]=E[P(Z)]

(9)

E[L∧y]=E[E[L∧y|Z]]

(10)

式(8)的條件概率為

(11)

要得到tk+1時點分券層[A,D]發(fā)生損失的概率，只需要求出P(L>y)，根據(jù)式(2.1)，P(L>y)的Laplace轉(zhuǎn)換為

(12)

將式(10)代入式(5)—式(7)，可以計算得到不同分券著點的損失概率.(tk,tk+1] 期間，分券層[A,D]承擔的期望損失為

(E[D∧L(tK+1)]-E[A∧L(tK+1)]-

(E[D∧L(tK)]-E[A∧L(tK)]

(13)

其中，

如果能夠計算出CDO存續(xù)期內(nèi)每一個計息時段(tk,tk+1]分券層的期望損失，那么就能得到CDO的現(xiàn)金流.所以對CDO定價只需要計算t時刻的期望E[L∧y].同樣，根據(jù)式(4)，E[L∧y]的Laplace轉(zhuǎn)換為

(14)

將式(12)代入式(5)—式(7)可以計算得到E[L∧y].

總結(jié)上述步驟如下:

(1)產(chǎn)生共同影響因子隨機數(shù)Z，計算Z條件下的違約概率Pj(Z);

(2)根據(jù)式(11)計算市場Z下資產(chǎn)池損失的Laplace轉(zhuǎn)換；

(3)根據(jù)式(5)—式(7)計算P(L>y|Z)和E[L∧y|Z]；

(4)Monte Carlo模擬計算無條件值P(L>y)和E[L∧y].

對于相關(guān)性較強的資產(chǎn)池而言，通過重要性抽樣產(chǎn)生的共同影響因子Z～N(μ，1)，從而進一步減小得到結(jié)果的方差.估計值為

1{L>y}e-μTZ+μTμ/2

(15)

詳見Glassman[3].

為說明上述Laplace定價方法的計算結(jié)果的準確性，以及計算效率的優(yōu)越性，下面與普通的Monte Carlo模擬方法結(jié)果進行對比.

3 數(shù)值實驗

下面通過數(shù)值實驗更直觀反映Laplace方法在計算效率，尤其是對小概率事件的計算效率提升.根據(jù)實際情況，違約相關(guān)性假設，因子服從分布會有所不同，文獻中出現(xiàn)過StudenttCopula、DoubletCopula、NIG等多種模型評估資產(chǎn)池風險，本文的Laplace方法對于上述Copula模型的估計均適用.下面以業(yè)界標準模型——因子高斯Copula模型為例，相關(guān)文獻可參考Lauren和Gregory[5-6].

參照Glassman[1]的數(shù)值實驗參數(shù)設定，以一個基礎資產(chǎn)池包含m=1 000個資產(chǎn)的CDO為例，假設資產(chǎn)價值由10因子模型決定，資產(chǎn)的邊際違約概率和風險暴露分別為

pk=0.01×(1+sin(16πk/m))k=1,…m

)

2

k

=1,…

m

表1統(tǒng)計了20萬次普通模擬方法和1萬次模擬的Laplace方法，分別計算資產(chǎn)組合損失超過某一臨界值y的概率以及方差縮減倍數(shù).其中，Pm和Pl是普通模擬方法和Laplace方法計算的概率結(jié)果，Vm和Vl是兩種方法計算結(jié)果對應的方差，方差縮減倍數(shù)定義為普通模擬方法結(jié)果的方差與Laplace方法結(jié)果方差的比值.

由表1中結(jié)果可知，首先，Laplace方法的能夠得到穩(wěn)定模擬結(jié)果所需的模擬次數(shù)遠遠低于普通模擬方法；其次，發(fā)生大額損失的小概率事件的計算上，與普通模擬方法結(jié)果誤差較大，Laplace方法精確度更高，這點可以從方差縮減倍數(shù)上看出，并且隨著損失數(shù)值增大，方差縮減倍數(shù)逐漸放大；最后，極端事件導致資產(chǎn)池發(fā)生巨大損失的情況，大量的普通模擬方法無法產(chǎn)生符合條件的樣本，而Laplace方法卻能在精度極高的前提下估計損失概率.

表2統(tǒng)計了兩種模擬方法對期望值E[L∧y]的估計結(jié)果，與概率估計結(jié)果類似，Laplace方法的期望值方差減少倍數(shù)隨著損失數(shù)值的增大，方差縮減倍數(shù)逐漸增大.

表1 損失概率數(shù)值結(jié)果Tab.1 Numerical results of loss probability

表2 E[L∧y]數(shù)值結(jié)果Tab.2 Numerical results of E[L∧y]

4 結(jié)論

CDO是一種新型的結(jié)構(gòu)化信用衍生產(chǎn)品，在國外被廣泛運用，而在國內(nèi)發(fā)行很少.這與資產(chǎn)組合定價的復雜性有關(guān)，CDO的定價涉及到資產(chǎn)池中資產(chǎn)的違約率、違約損失、以及資產(chǎn)間的違約相關(guān)性的刻畫.本文在Copula模型基礎上，提出一種精確、高效的Laplace定價方法，并給出了Gaussian Copula模型的數(shù)值實驗結(jié)果.結(jié)果表明， Laplace逆變換數(shù)值方法可以精確刻畫資產(chǎn)池的損失分布，對于任意給定的閾值y，可求解得到概率值P(L>y),以及期望值E[L∧y]，相比于普通Monte Carlo模擬方法，Laplace方法得到穩(wěn)定結(jié)果所需模擬次數(shù)更少，精度更高；此外，Laplace方法對資產(chǎn)組合發(fā)生概率小，但是損失數(shù)值大的事件的處理優(yōu)勢尤為明顯，數(shù)值實驗結(jié)果表明，Laplace方法估計的損失事件發(fā)生概率的方差減少倍數(shù)，隨著損失數(shù)值增大而增大.

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