基于輪徑差函數(shù)的曲線鋼軌打磨廓形設(shè)計(jì)

毛 鑫， 沈 鋼

(同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804)

輪軌關(guān)系作為影響軌道車輛動力學(xué)的關(guān)鍵因素，歷來為鐵路領(lǐng)域?qū)W者所重視，合理的輪軌匹配關(guān)系不僅關(guān)系到車輛直線運(yùn)行的穩(wěn)定與否，曲線通過的順暢與否，輪軌磨耗的均勻與否等，更是保證車輛運(yùn)行安全性的重要前提.在軌道列車的長期運(yùn)行過程中，輪軌不可避免地會發(fā)生磨耗，因此需要定期對輪軌進(jìn)行鏇修和打磨.

踏面鏇修廓形的設(shè)計(jì)方法國內(nèi)外已有多位學(xué)者研究，如Wu[1]提出了一種基于圓弧擬合的踏面外形設(shè)計(jì)方法，該方法設(shè)計(jì)的踏面外形能夠與鋼軌形成共形接觸，這樣就具有較好的曲線通過能力和較小的磨耗；Shevtsov[2-4]等運(yùn)用響應(yīng)表面擬合(Response Surface Fitting,RSF)的方法，將踏面型面的整體優(yōu)化問題分解為多個次級優(yōu)化問題，運(yùn)用MARS數(shù)學(xué)算法求解，獲得的踏面具有較小的接觸應(yīng)力和較低的滾動磨耗；沈鋼[5]等考慮到輪軌接觸函數(shù)對車輛動力學(xué)性能提出的車輪型面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.鋼軌打磨廓形的設(shè)計(jì)方法雖然和踏面鏇修廓形設(shè)計(jì)有共通點(diǎn)，但由于其固有的特性，給設(shè)計(jì)工作帶來了新的挑戰(zhàn)，主要在于：不同線路條件對設(shè)計(jì)提出的兼容性要求；同一線路上不同行車工況對設(shè)計(jì)提出的兼容性要求；非對稱的廓形設(shè)計(jì)要求.

由此造成了國內(nèi)外對該方面的研究相較踏面要少很多，但還是有部分學(xué)者就此作出了努力，典型的有：Eric[6]等提出的通過控制輪軌接觸點(diǎn)的分布范圍來獲得期望的輪軌幾何接觸特性的鋼軌型面設(shè)計(jì)方法，Wang[7]等提出的基于演繹算法和非線性規(guī)劃理論優(yōu)化輪軌接觸應(yīng)力的廓形設(shè)計(jì)方法，崔大賓[8]等提出的以優(yōu)化輪軌接觸應(yīng)力水平為目標(biāo)的鋼軌打磨廓形設(shè)計(jì)方法，肖乾[9]等通過分析輪軌滾動機(jī)理優(yōu)選最優(yōu)鋼軌打磨廓形的設(shè)計(jì)方法.

由于以上這些方法或多或少地使用了復(fù)雜的數(shù)學(xué)優(yōu)化算法，而對于輪軌接觸的諸多因素，算法的設(shè)計(jì)變量較多，因而效率低，設(shè)計(jì)周期長，研發(fā)成本大，本文在基于沈鋼等踏面鏇修廓形設(shè)計(jì)研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了以優(yōu)化輪軌動力學(xué)性能為核心的非對稱鋼軌打磨廓形的設(shè)計(jì).該方法以輪徑差(RRD)函數(shù)為主要依據(jù)，以輪軌接觸時(shí)的預(yù)期分布為邊界條件，實(shí)現(xiàn)了通過目標(biāo)函數(shù)反推鋼軌廓形的算法設(shè)計(jì)，既可同時(shí)針對兩股鋼軌，也可只針對單股鋼軌進(jìn)行設(shè)計(jì)，能夠滿足不同的打磨需求.

1 算法描述

為正確定義打磨廓形設(shè)計(jì)問題，必須預(yù)先引入以下假設(shè)：

(1)輪軌部件均為剛體，其接觸時(shí)的外形變形量相對外形尺寸可以忽略，同時(shí)忽略輪對搖頭角對接觸特性的影響：為避免輪徑差曲線出現(xiàn)重復(fù)定義，即同一橫移量對應(yīng)多個輪徑差值，導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果出現(xiàn)偏差，必須保證設(shè)計(jì)廓形在空間的接觸點(diǎn)的唯一性，因此這里用剛性接觸假設(shè)而非彈性接觸假設(shè)，用平面接觸假設(shè)而非空間接觸假設(shè)；

(2)設(shè)計(jì)過程中，有效輪軌接觸區(qū)段應(yīng)保證相同的凹凸性：對于輪軌接觸區(qū)段的劃分，大致可分為輪踏面—軌頂區(qū)、輪緣—軌道內(nèi)側(cè)區(qū)以及踏面外側(cè)—軌道外側(cè)區(qū)，其中踏面外側(cè)及軌道外側(cè)區(qū)凹凸性通常相反，輪軌間隙較大，發(fā)生在該區(qū)段的接觸點(diǎn)較少且接觸應(yīng)力較大，而廓形設(shè)計(jì)的核心是以可能產(chǎn)生的接觸點(diǎn)反推外形，為保證設(shè)計(jì)廓形的合理性，需要設(shè)計(jì)區(qū)段輪軌凹凸性保持一致；

(3)輪軌磨耗與有效接觸區(qū)段長度成反比，且輪軌動力學(xué)特性主要取決于以輪徑差曲線為計(jì)算基礎(chǔ)的輪軌等效斜度：廓形優(yōu)化問題的求解，無論是通過常規(guī)的數(shù)學(xué)優(yōu)化算法，還是通過直接反推方法，都必須構(gòu)成一個閉環(huán)—從設(shè)計(jì)到校驗(yàn)再到修正，為了提高設(shè)計(jì)效率，突出主要問題，弱化次要問題，校驗(yàn)部分應(yīng)做出一定的簡化，本文為提升算法效率，縮短驗(yàn)算流程，擬采用設(shè)計(jì)輪徑差曲線與目標(biāo)曲線的平均誤差作為設(shè)計(jì)階段動力學(xué)校驗(yàn)的主要手段；

(4)設(shè)計(jì)打磨廓形應(yīng)盡量保證軌距不變并不應(yīng)超過原始外形，對于不同區(qū)段的廓形設(shè)計(jì)不必對稱：前一條件是為滿足打磨和定位需求，后一條件則是優(yōu)化打磨量的必然前提—不同于踏面設(shè)計(jì)的對稱性，鋼軌設(shè)計(jì)可以按區(qū)段定制需求，尤其在曲線上，僅針對磨耗嚴(yán)重的內(nèi)軌或外軌進(jìn)行打磨，這樣一方面能夠提高打磨效率，另一方面也能延長鋼軌的使用壽命.

基于以上假設(shè)，結(jié)合圖1所示,圖中，鋼軌局部坐標(biāo)系固定于軌道中心線，同時(shí)也作為輪軌接觸的整體坐標(biāo)系，其原點(diǎn)Or為整體坐標(biāo)系原點(diǎn)，整體坐標(biāo)為(0,0)，輪對局部坐標(biāo)系固定于輪對質(zhì)心，原點(diǎn)為Ow，其整體坐標(biāo)為(yw0,zw0)，輪軌接觸時(shí)，輪對有橫移量yw和一側(cè)滾角φw，兩側(cè)接觸點(diǎn)在輪軌局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為(ywl,zwl)、(yrl,zrl)和(ywr,zwr)、(yrr,zrr)，由于在輪對局部坐標(biāo)系下，接觸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為滾動圓半徑，即zwl=Rwl，zwr=Rwr，定義輪徑差為左右輪徑之差，即

圖1 輪軌平面接觸示意圖Fig.1 Wheel-rail planar contact

ΔR=Rwl-Rwr=zwl-zwr

(1)

易知ΔR是yw的函數(shù)，即

ΔR=ΔR(yw)

(2)

定義實(shí)際輪徑差曲線(Δr)與目標(biāo)輪徑差曲線(ΔR)的平均誤差為設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)如下：

(3)

從圖1不難推知

(4)

由于輪軌接觸點(diǎn)在空間上重合，且輪軌接觸表面光滑，因此在接觸點(diǎn)處必然存在公切面及其公法線，使得滿足關(guān)系如下：

(7)

(8)

注意式(1)—(6)僅構(gòu)成輪軌接觸的充分條件，若要構(gòu)成必要條件，還需添加約束以下：

zwl(yw)-zrl(yw)=min{zwl-zrl|y=yw}=0

(9)

zwr(yw)-zrr(yw)=min{zwr-zrr|y=yw}=0

(10)

以上約束表明，輪軌在同一側(cè)的接觸點(diǎn)數(shù)不應(yīng)大于1，即接觸點(diǎn)處的輪軌間隙最小且為0.為提高求解效率，有時(shí)也可用一組弱約束代替以上強(qiáng)約束條件如下：

(11)

(12)

再結(jié)合預(yù)設(shè)(2)和預(yù)設(shè)(4)中的假定，為滿足凹凸性條件，有

(13)

(14)

為滿足打磨廓形條件，有

zrl(yw)≤zrl0(yrl(yw)) min{|zrl-zrl0|}=0

(15)

zrr(yw)≤zrr0(yrr(yw)) min{|zrr-zrr0|}=0

(16)

式中:zrl0和zrr0為原始廓形垂向坐標(biāo).

綜合式、式(4)—式(8)和式(11)—式(16)即可得到一般廓形設(shè)計(jì)問題的約束條件集.

2 設(shè)計(jì)流程

如前所述，廓形的設(shè)計(jì)流程應(yīng)構(gòu)成一個閉環(huán)，具體如圖2所示：設(shè)計(jì)流程以基準(zhǔn)廓形的選取為起始，在給定輪軌配合參數(shù)后通過幾何接觸計(jì)算得到左右輪徑差曲線，并以此為基準(zhǔn)設(shè)計(jì)優(yōu)化的輪徑差曲線，即設(shè)計(jì)參考曲線，應(yīng)用前述的數(shù)學(xué)建模方法將待求解問題轉(zhuǎn)換為逆向問題的形式進(jìn)行求解，所求得的優(yōu)化區(qū)段(打磨區(qū)段)與其余外形(非打磨區(qū)段)進(jìn)行拼接以獲得完整廓形.設(shè)計(jì)得到的廓形需要先通過幾何約束檢驗(yàn)，避免打磨廓形超出限界，之后再次計(jì)算輪徑差函數(shù)，比較與目標(biāo)函數(shù)的平均誤差.在前后任一校驗(yàn)流程中，若出現(xiàn)不滿足規(guī)定的約束或精度情況，應(yīng)返回設(shè)計(jì)階段修改目標(biāo)函數(shù)和求解參數(shù)，直到符合約束和精度，至此流程結(jié)束.

以上流程僅為針對目標(biāo)輪徑差曲線進(jìn)行鋼軌廓形設(shè)計(jì)的主要階段劃分，具體可視需求進(jìn)行增減，例如：針對輪軌接觸分布進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，需要在校驗(yàn)流程加入輪軌接觸分布校驗(yàn)；針對輪軌接觸應(yīng)力進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，需要在校驗(yàn)流程加入輪軌靜應(yīng)力校驗(yàn)；針對輪軌磨耗進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，需要在校驗(yàn)流程同時(shí)考慮輪軌接觸分布和輪軌接觸應(yīng)力的因素等.

圖2 鋼軌打磨廓形設(shè)計(jì)流程Fig.2 Grinding profile design procedure

3 設(shè)計(jì)案例

3.1 雙側(cè)廓形設(shè)計(jì)

以實(shí)測的京哈線鋼軌廓形(鋼軌原型：60 kg鋼軌)的優(yōu)化為例，選擇匹配踏面外形為磨耗型踏面(踏面原型：LM踏面)，輪軌原始接觸點(diǎn)分布及配合輪徑差曲線如圖3和圖4所示：

由圖4可見，作為衡量輪軌動力學(xué)性能的主要指標(biāo)，輪徑差曲線并不對稱：在輪對橫移量較小([-3,3]mm)的區(qū)段呈現(xiàn)較為明顯的線性，且斜率較大，這不利于輪對在直線上運(yùn)行時(shí)保持穩(wěn)定性；左側(cè)的輪徑差曲線在橫移量[-9,-7]mm范圍內(nèi)存在明顯階躍現(xiàn)象，這可能導(dǎo)致輪對在通過緩和曲線時(shí)出現(xiàn)沖擊，引發(fā)安全隱患；此外，兩側(cè)輪徑差曲線在越過某一臨界值(左側(cè)約-10 mm，右側(cè)約9 mm)后斜率急速增大，對照圖3，原因可知為輪軌接觸點(diǎn)從輪踏面—軌頂區(qū)過渡到軌道內(nèi)側(cè)—內(nèi)軌角接觸區(qū)上的跳躍，其中右側(cè)輪軌甚至出現(xiàn)了明顯的接觸點(diǎn)集中分布的現(xiàn)象，這會導(dǎo)致輪對在通過較小半徑的曲線時(shí)發(fā)生多點(diǎn)接觸，造成不均勻磨耗，從而降低輪軌使用壽命.為此需要在計(jì)算得到的輪徑差曲線基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)以上分析，一個合理的輪徑差曲線應(yīng)具備以下特征：

(1)在較小的輪對橫移量區(qū)間中保持較低的斜率，以保證輪對的直線運(yùn)行穩(wěn)定性；

a 左側(cè)接觸點(diǎn)分布

b 右側(cè)接觸點(diǎn)分布圖3 待優(yōu)化鋼軌接觸分布Fig.3 Non-optimized wheel-rail contact

圖4 待優(yōu)化鋼軌廓形的輪徑差曲Fig.4 Non-optimized RRD function

(2)在由小橫移量到大橫移量的過渡區(qū)應(yīng)盡可能光順，以減小輪軌的動態(tài)沖擊；

(3)在大橫移量區(qū)應(yīng)保證合理的輪徑差，以保證曲線通過性能及減小輪軌磨耗和應(yīng)力集中.

優(yōu)化的輪徑差曲線如圖5所示.

按優(yōu)化輪徑差曲線反推得到的鋼軌打磨廓形如圖6所示.

設(shè)計(jì)廓形的接觸點(diǎn)分布和與目標(biāo)輪徑差曲線的誤差分別如圖7和圖8所示.

由圖7可見，新設(shè)計(jì)的打磨廓形不僅更為光順，能夠減少輪軌沖擊，同時(shí)提高了有效輪軌接觸面積，從而降低了輪軌磨耗，并且由于小橫移量范圍(|Yw|≤4 mm)內(nèi)輪徑差變化不大，同時(shí)大橫移量范圍(|Yw|>6 mm)輪徑差的明顯提升，既能夠保持直線上的運(yùn)行穩(wěn)定性，又能夠增進(jìn)輪對的曲線通過性能.由圖8可見，最終的平均設(shè)計(jì)誤差不超過3%，與目標(biāo)曲線相當(dāng)接近，因此設(shè)計(jì)得到的廓形是可接受的.

圖5 優(yōu)化前后輪徑差曲線對比Fig.5 RRD function before and after optimization

a 左側(cè)打磨廓形

b 右側(cè)打磨廓形圖6 打磨前后廓形對比Fig.6 Rail profile before and after grinding

優(yōu)化后的輪軌應(yīng)力特性和等效斜度如圖9所示，可見優(yōu)化后的應(yīng)力在軌頂接觸區(qū)部分大大降低，同時(shí)用不同方法計(jì)算的等效斜度在較大的橫移量下都保持了一個較高的值，有利于曲線通過.

a 左側(cè)接觸點(diǎn)分布

b 右側(cè)接觸點(diǎn)分布圖7 優(yōu)化后接觸點(diǎn)分布Fig.7 Optimized wheel-rail contact

圖8 計(jì)算輪徑差曲線與目標(biāo)曲線的誤差Fig.8 Error between object and calculated RRD

3.2 單側(cè)廓形設(shè)計(jì)

由于鋼軌打磨的特殊性，有時(shí)僅需要針對單股進(jìn)行打磨，針對單股打磨的設(shè)計(jì)要點(diǎn)已在第2部分闡述，具體設(shè)計(jì)流程與雙側(cè)設(shè)計(jì)類似，以針對上述實(shí)測廓形的左側(cè)進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計(jì)為例，其優(yōu)化輪徑差曲線和左側(cè)廓形如圖10所示.

優(yōu)化后的左側(cè)接觸點(diǎn)分布和與目標(biāo)曲線的誤差如圖11所示.

可見設(shè)計(jì)平均誤差不超過2%，滿足設(shè)計(jì)精度，且設(shè)計(jì)廓形的接觸點(diǎn)分布和輪徑差曲線特性均得到了提高，設(shè)計(jì)廓形可接受.

a 優(yōu)化前后的接觸應(yīng)力

b 優(yōu)化后的等效斜度圖9 優(yōu)化廓形的力學(xué)和動力學(xué)特性

Fig.9Mechanicalanddynamicpropertiesofoptimizedrailprofile

a 優(yōu)化前后的輪徑差對比

b 優(yōu)化前后的廓形對比圖10 優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化鋼軌廓形Fig.10 Optimized RRD function and rail profile

優(yōu)化后的輪軌應(yīng)力特性和等效斜度如圖12所示，可見由于僅針對單股軌道進(jìn)行優(yōu)化，其應(yīng)力略有降低，等效斜度在低橫移量范圍內(nèi)較小，但隨著橫移量增大迅速增加.

a 設(shè)計(jì)廓形接觸點(diǎn)分布

b 目標(biāo)曲線的誤差圖11 優(yōu)化廓形的接觸分布和輪徑差曲線Fig.11 Optimized wheel-rail contact and RRD function

a 優(yōu)化前后的應(yīng)力特性

b 優(yōu)化后的等效斜度圖12 優(yōu)化廓形的力學(xué)和動力學(xué)特性Fig.12 Mechanical and dynamic properties of optimized rail profile

4 結(jié)論

本文介紹了一種基于輪徑差函數(shù)的曲線鋼軌打磨廓形設(shè)計(jì)方法，該方法以輪徑差曲線為主要設(shè)計(jì)參數(shù)，以輪軌接觸分布為主要設(shè)計(jì)邊界條件，以直接反推的求解方式將打磨廓形設(shè)計(jì)問題構(gòu)成一個動態(tài)的閉環(huán)，通過計(jì)算機(jī)軟件程序模擬了實(shí)測鋼軌廓形的優(yōu)化案例，結(jié)果表明：設(shè)計(jì)打磨廓形能夠在保證與目標(biāo)輪徑差曲線良好吻合的前提下優(yōu)化輪軌的動力學(xué)性能，為鋼軌打磨工作提供了一種可行而高效的廓形定制方法.這種基于輪徑差的鋼軌打磨廓形設(shè)計(jì)方法，既可適用于重載鐵路軌道的打磨，也可適用于高速鐵路軌道的打磨，其關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)合理的輪徑差曲線和預(yù)期接觸分布范圍：對于重載鐵路，設(shè)計(jì)時(shí)需要針對減小輪軌間的接觸應(yīng)力，增大接觸點(diǎn)處的曲率半徑，因此輪徑差曲線應(yīng)過渡平緩，降低曲線導(dǎo)數(shù)值；對于高鐵線路，應(yīng)注重提升輪軌接觸分布特性和動力學(xué)特性，因此需要依據(jù)合理的等效斜度來設(shè)計(jì)輪徑差曲線并盡可能地增加接接觸分布的范圍和均勻性.此外，該方法不僅適用于兩股軌道打磨廓形設(shè)計(jì)，也適用于僅針對單股軌道的打磨廓形設(shè)計(jì)，使得打磨廓形的設(shè)計(jì)更為多樣化，打磨方案的選擇更為靈活.可以預(yù)見的是，該方法在成功應(yīng)用于當(dāng)前小半徑曲線的打磨工作之后能夠進(jìn)一步推廣到道岔的打磨工作上，為道岔打磨設(shè)計(jì)廓形，這也是下一步將要嘗試的工作.

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