數(shù)理統(tǒng)計(jì)在混凝土數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

李虎成

（佳木斯佳宇建材有限公司，黑龍江 佳木斯 154002）

0 引言

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，它根據(jù)試驗(yàn)或觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，并對(duì)研究對(duì)象做出估計(jì)、判斷。在混凝土的生產(chǎn)過程、質(zhì)量控制、原材料檢測(cè)、配合比試驗(yàn)中，會(huì)產(chǎn)生大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可以幫助分析和處理這些數(shù)據(jù)，從而得出結(jié)論以便優(yōu)化生產(chǎn)，保證質(zhì)量穩(wěn)定性，預(yù)測(cè)試驗(yàn)結(jié)果等。數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在混凝土相關(guān)數(shù)據(jù)處理中具有廣泛應(yīng)用，包括誤差分析、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、抽樣檢驗(yàn)、控制圖、回歸分析、試驗(yàn)設(shè)計(jì)等。下面主要從假設(shè)檢驗(yàn)、控制圖及回歸分析等幾個(gè)方面結(jié)合實(shí)例介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)在混凝土數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。數(shù)據(jù)計(jì)算處理則借助 Excel 軟件這一簡(jiǎn)便實(shí)用的工具。

1 基本概念

1.1 基本統(tǒng)計(jì)量

把試驗(yàn)的全部可能觀測(cè)值稱為總體。其中的每一個(gè)觀測(cè)值稱為個(gè)體。從總體中隨機(jī)抽取一部分的個(gè)體稱為樣本。所有觀測(cè)值的平均值就是總體的均值μ。但試驗(yàn)是有限次數(shù)的樣本。常采用樣本平均值來檢驗(yàn)總體平均值和估計(jì)總體平均值，樣本平均值（Excel 函數(shù)命令 AVERAGE）按下式計(jì)算：

式中：Xi為樣本值。

采用總體方差 σ2來反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，樣本方差S2作為 σ2的無偏估計(jì)量用來估算總體方差。樣本方差 （Excel 函數(shù)命令 STDEV）按下式計(jì)算：

σ 和S分別稱為總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，（Excel 函數(shù)命令 VAR）。

1.2 正態(tài)分布

正態(tài)分布又稱高斯分布，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的一種概率分布，混凝土強(qiáng)度波動(dòng)，試驗(yàn)誤差等許多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布。若隨機(jī)變量X服從平均值μ、方差 σ2的正態(tài)分布，記為X～N(μ,σ2)。其概率密度函數(shù)用下式表示：

當(dāng)μ=0，σ2=1 時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（Excel函數(shù)命令 NORMSDIST），記為X～N(0,1)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為：

正態(tài)分布曲線是單峰對(duì)稱曲線，最大值在 x=μ處。曲線拐點(diǎn)在 x =μ±σ 處。離平均值μ越近，概率越大，在 ±3σ 以外的概率僅約為 0.3%，幾乎不可能發(fā)生，也就是所說的“3σ”法則，見圖 1 。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

2 假設(shè)檢驗(yàn)

2.1 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)是在不知道總體的分布函數(shù)或者雖然知道分布函數(shù)形式，但不知其參數(shù)的情況下，為了推斷總體的有些未知特性，提出某些對(duì)總體的假設(shè)。根據(jù)樣本對(duì)所做出假設(shè)是接受還是拒絕的決策過程。假設(shè)檢驗(yàn)在混凝土數(shù)據(jù)處理中具有非常廣泛的應(yīng)用。

例 1 某預(yù)拌混凝土企業(yè)生產(chǎn) C25 混凝土，粗骨料采用 5～31.5mm 碎石，平均強(qiáng)度μ0=29.2MPa。因原材料短缺，粗骨料采用 5～31.5mm 卵石，在其他原材料相同的情況下，按同樣的配合比成型 7 組混凝土，取得強(qiáng)度數(shù)據(jù)如下：27.8MPa，28.2MPa，31.2MPa，25.8MPa，29.6MPa，26.7MPa，28.3MPa。判斷更換卵石后，總體平均強(qiáng)度是否有顯著變化？（顯著性水平為5%）

首先稱“更換卵石后，總體平均強(qiáng)度也不變”這種假設(shè)為原假設(shè)，記作H0，與原假設(shè)對(duì)立的假設(shè)“更換卵石后，總體平均強(qiáng)度發(fā)生變化”稱為備擇假設(shè)，記作H1。對(duì)原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)叫做假設(shè)檢驗(yàn)。本例中混凝土抗壓強(qiáng)度X符合正態(tài)分布，即X～N(μ,σ2)，這里均值μ和方差 σ2均未知，問題是根據(jù)樣本值判斷μ=29.2 還是μ≠29.2，屬于正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)。

設(shè)H0:μ = μ0,H1:μ ≠ μ0

當(dāng)方差 σ2未知時(shí)采用 檢驗(yàn)法，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

算得=28.2MPa，S=1.8MPa。

應(yīng)用t檢驗(yàn)

查t分布表得t0.025(6)=2.45＞t=1.44，所以接受假設(shè)H0，即更換卵石后，總體平均強(qiáng)度沒有顯著變化。以上檢驗(yàn)法稱為t檢驗(yàn)法，其中t分布統(tǒng)計(jì)值t0.025(6) 也可以在 Excel 輸入函數(shù)命令 [=TINV(0.05,6)] 得到。t檢驗(yàn)法適用于總體方差 σ02未知的情況。

2.2 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)

2.2.1 單個(gè)總體的情況

對(duì)于符合正態(tài)分布的總體X～N(μ,σ2),μ, σ2均未知，要求檢驗(yàn)假設(shè)（顯著性水平為α）

作為統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量，拒絕域?yàn)?/p>

以上檢驗(yàn)法稱為2χ檢驗(yàn)法，分布函數(shù)2χ稱為卡方分布。

例 2 某預(yù)拌混凝土公司質(zhì)量穩(wěn)定，C30 混凝土 28d抗壓強(qiáng)度長(zhǎng)期服從方差 σ2=2.7MPa 的正態(tài)分布，該公司五月份生產(chǎn)取用了新開采的江砂，含水率波動(dòng)較大。現(xiàn)從五月份該批 C30 混凝土隨機(jī)取樣 26 組試樣，測(cè)得其樣本方差S2=3.5MPa。判斷根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷該批混凝土的抗壓強(qiáng)度波動(dòng)性較以往有顯著的變化（取顯著性水平α=0.05）。

設(shè)H0: σ2=2.7，H1: σ2≠2.7

n= 26,其中2χ統(tǒng)計(jì)值可以查表求得，也可以在 Excel 輸入函數(shù)命令[=CHIINV(0.025,25)] 求得。同樣方法得到代入式 (7)得到拒絕域?yàn)?/p>

由S2=3.5 得所以拒絕H0，結(jié)論為該批混凝土抗壓強(qiáng)度波動(dòng)性較以往具有顯著性變化。

2.2.2 兩個(gè)總體的情況

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)，我們?nèi)?/p>

作為統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量，拒絕域?yàn)?/p>

以上檢驗(yàn)法稱為F檢驗(yàn)法。

例 3 某混凝土攪拌站在校準(zhǔn)稱量系統(tǒng)前取得 21 組抗壓強(qiáng)度數(shù)據(jù)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1=3.6MPa，校準(zhǔn)后取得相同配合比的強(qiáng)度數(shù)據(jù) 16 組，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S2=1.9MPa。判斷校準(zhǔn)前后混凝土均勻性是否具有顯著差異（顯著性水平α取 0.05）.

n1=21,n2=16,Fα/2(n1-1,n2-1) =F0.025(20,15) = 2.756，其中F統(tǒng)計(jì)值可以查表求得，也可以在 Excel 輸入函數(shù)命令[=FINV(025,21,15)] 求得。同樣方法得到F0.975(20,15) = 0.259。代入式 (9) 可得拒絕域?yàn)?/p>

F≥2.756 和F≤0.259 的并集。

結(jié)論為校準(zhǔn)前后混凝土均勻性具有顯著差異。

3 控制圖

3.1 控制圖介紹

控制圖也稱休哈特控制圖。是由沃特.休哈特（Walter A.Shewhart）博士于 1924 年首先提出的一種實(shí)用管理方法。它將顯著性統(tǒng)計(jì)原理應(yīng)用于生產(chǎn)過程，通過作圖方法來了解生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性。控制圖方法在歐美、日本等發(fā)達(dá)國(guó)家得到廣泛應(yīng)用，美國(guó)混凝土學(xué)會(huì)（ACI）及日本建設(shè)省也早已將其納入混凝土相關(guān)規(guī)范。

由正態(tài)分布可知，樣本值落在μ±3σ 之外的概率僅約為 0.3%，幾乎不可能發(fā)生。如果發(fā)生了，則說明生產(chǎn)過程有系統(tǒng)因素存在。管理圖的作用在于判斷在生產(chǎn)過程的受控狀態(tài)，區(qū)分系統(tǒng)因素和偶然因素，當(dāng)樣本點(diǎn)出現(xiàn)在控制限以外，則說明生產(chǎn)出現(xiàn)異常，需要及時(shí)查找原因并通過組織、管理、經(jīng)濟(jì)、技術(shù)等措施消除異常，保持生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性。控制圖的判斷準(zhǔn)則就是μ±3σ。圖 2 中平均值μ稱為中心線 CL；μ+σ 稱為上控制限 UCL；μ-σ 稱為下控制限 LCL?？刂茍D分為計(jì)量管理圖和計(jì)數(shù)管理圖，在混凝土數(shù)據(jù)處理中，一般采用計(jì)量管理圖，即管理混凝土強(qiáng)度、含氣量、坍落度、容重等統(tǒng)計(jì)量。計(jì)量管理圖中，以混凝土抗壓強(qiáng)度為例常用均值圖與極圖R圖或標(biāo)準(zhǔn)差S圖。

圖2 管理圖判斷準(zhǔn)則

由于在實(shí)際生產(chǎn)中μ與 σ 通常未知，并不能簡(jiǎn)單通過μ±3σ 來作出控制圖，可以通過總均值來估計(jì)μ作出中心控制線 CL；根據(jù)樣本的極差或者標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì) σ 作出 UCL 線和 LCL 線。表 1 是 GB/T 4091—2001《常規(guī)控制圖》（以下簡(jiǎn)稱《控制圖》）給出的相應(yīng)控制限公式。其中A2、A3、D4、B4等為常數(shù)，可以通過《控制圖》內(nèi)的表 2 查得。

表1 控制圖控制限公式

3.2 應(yīng)用實(shí)例

例 4 表 2 為某預(yù)拌混凝土企業(yè) 2017 年七月份連續(xù)生產(chǎn)的同一配合比混凝土 28d 抗壓強(qiáng)度樣本數(shù)據(jù)共計(jì)25 組，作出該月混凝土的平均值圖。

表2 混凝土 28d 抗壓強(qiáng)度數(shù)據(jù) MPa

其中子組數(shù)k為 25，

中心線CL==36.1MPa；上控制限UCL=X+A3= 36.1+1.954×1.66=39.4MPa；下控制限LCL=-= 36.1-1.945×1.66=32.9MPa。這里由子組內(nèi)樣本數(shù)n=3，在《控制圖》標(biāo)準(zhǔn)表 2 中查得A3為 1.945。

在 Excel 中選擇“插入”—“圖表”—“折線圖”可以方便的畫出平均值圖，見圖 3。

圖3 混凝土 28d 抗壓強(qiáng)度平均值圖

畫出之后，可以根據(jù)《控制圖》中第 7 款的八個(gè)模式檢驗(yàn)示意圖來判斷生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性。

4 回歸分析

4.1 一元線性回歸

回歸分析是確定當(dāng)自變量x變化時(shí)，因變量 Y 大體按照某種規(guī)律變化的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。其在混凝土數(shù)據(jù)處理中具有廣泛應(yīng)用，在試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、求得經(jīng)驗(yàn)公式、產(chǎn)品質(zhì)量控制等許多方面，回歸分析是一種有力的方法。如果在回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，則這種回歸稱為一元線性回歸分析。一元線性回歸模型為：

其中ε為隨機(jī)變量，b稱為回歸系數(shù)。

通常使用最小二乘法求出一條直線，使試驗(yàn)點(diǎn)離這條直線縱坐標(biāo)距離的平方和最小，稱這條直線方程為回歸方程：

對(duì)于一些非線性關(guān)系，也可以通過變量代換轉(zhuǎn)化成線性關(guān)系而求得回歸方程。

4.2 應(yīng)用實(shí)例

例 5 某次混凝土凝結(jié)時(shí)間試驗(yàn)測(cè)得表 3 中試驗(yàn)數(shù)據(jù)，求該批混凝土的初、終凝時(shí)間。

試驗(yàn)證明，混凝土貫入阻力與凝結(jié)時(shí)間的關(guān)系符合冪函數(shù)關(guān)系，即：

式中：t——時(shí)間，min；

fPR——貫入阻力，MPa；

c、k ——經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

其屬于非線性回歸關(guān)系，對(duì)公式 (14) 兩邊取自然對(duì)數(shù)，并移項(xiàng)，按照 GB/T 50080—2016《普通混凝土拌和物性能試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》的要求以 lnfPR為自變量、lnt

為因變量得到：

式中α、b——最小二乘估計(jì)值。

當(dāng)貫入阻力為 3.5MPa 時(shí)的t為初凝時(shí)間ts，貫入阻力為 28MPa 時(shí)t為終凝時(shí)間te：

采用 Excel 中的散點(diǎn)圖及趨勢(shì)線可以較方便的求解出回歸方程為 y = 0.1298 x + 6.3843，見圖 4。

表3 混凝土凝結(jié)時(shí)間實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

圖4 混凝土凝結(jié)時(shí)間曲線圖

回歸系數(shù)α=6.3843，b=0.1298。將貫入阻力取 3.5MPa 帶入初凝時(shí)間公式 [Excel 函數(shù)命令為=EXP(B11+B13*LN(3.5))，B11 為回歸系數(shù)α所在單元格，B13 為回歸系數(shù)b所在單元格]，得初凝時(shí)間ts為697min，同樣方法求得終凝時(shí)間te為 913min。

將非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸處理時(shí)，不能用變換成直線后的線性相關(guān)系數(shù) r 來判斷曲線擬合的效果，應(yīng)該直接根據(jù)實(shí)測(cè)值yi與回歸曲線上相應(yīng)估計(jì)點(diǎn)來計(jì)算剩余平方和，此時(shí)有：

R2稱為相關(guān)指數(shù)，以區(qū)別于相關(guān)系數(shù)r，R2越接近1，表示曲線擬合得越好。本例中用 Excel 可以直接求出R2=0.9926，顯示擬合的效果比較好。

5 總結(jié)

符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量在混凝土數(shù)據(jù)中隨處可見，一般來說對(duì)非正態(tài)分布的隨機(jī)變量當(dāng)樣本數(shù)n的數(shù)量足夠大時(shí)，根據(jù)大數(shù)定律與中心極限定理也可以當(dāng)做正態(tài)分布來處理，這也是正態(tài)分布應(yīng)用廣泛的原因。假設(shè)檢驗(yàn)中的t分布，2χ分布及F分布統(tǒng)稱為三大分布，是符合正態(tài)分布隨機(jī)變量抽出的樣本的分布，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。

控制圖的作用在于區(qū)分偶然因素與系統(tǒng)因素，并以±3σ 作為上下控制限。如果只有偶然因素，在 1000 次試驗(yàn)中只會(huì)出現(xiàn) 3 次，是幾乎不可能超出控制限的，如果發(fā)生超過控制限的點(diǎn)，可以判定不是偶然因素引起的，這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱為小概率事件原理。

回歸分析主要研究變量之間是否具有一定的關(guān)系。如果存在關(guān)系，則選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表達(dá)式來描述變量之間關(guān)系的密切程度。一元線性回歸是指一個(gè)因變量與一個(gè)自變量的關(guān)系，它們之間的關(guān)系通過散點(diǎn)圖判定有線性趨勢(shì)，可以建立回歸直線。對(duì)于非線性關(guān)系，通常將觀測(cè)點(diǎn)分布形狀與函數(shù)圖像相比較，選擇某些函數(shù)類型，再對(duì)變量做適當(dāng)變換，可以轉(zhuǎn)化成線性回歸問題。

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．北京：高等教育出版社，2008．

[2] 蒲括，邵鵬．精通 Excel 數(shù)據(jù)與分析[M]．北京：人民郵電出版社，2014．

[3] GB/T 4091—2001．常規(guī)控制圖[S]．

[4] （澳）肯·戴．混凝土配合比設(shè)計(jì)、質(zhì)量控制與規(guī)范[M]．曾力譯．北京：中國(guó)建材工業(yè)出版社，2011．

[5] GB/T 50080—2016．普通混凝土拌合物性能試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)[S]．