基于矢量化差分相位的單分布源解耦二維波達(dá)方向估計(jì)?

代正亮崔維嘉 王大鳴 張彥奎

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院,鄭州 450001)

1 引 言

在雷達(dá)、聲納和移動(dòng)通信等應(yīng)用領(lǐng)域中,發(fā)射的信號(hào)時(shí)常會(huì)受到復(fù)雜環(huán)境散射和反射等影響,使得天線陣列接收到的信號(hào)能量在空間某一范圍呈現(xiàn)一定分布[1,2].此時(shí),基于點(diǎn)源模型假設(shè)的傳統(tǒng)波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)算法性能會(huì)嚴(yán)重惡化,而需要采用參數(shù)化的分布式信源模型進(jìn)行處理[3?5].根據(jù)同一信源不同路徑分量是否相關(guān),分布源主要包括兩類:相干分布源(coherently distributed source,CD)和非相干分布源(incoherently distributed source,ID)[6].對于CD源,同一信源不同路徑分量僅相差一個(gè)固定的相位延遲和幅度加權(quán);與之相反,同一ID源的不同路徑分量則完全不相關(guān).

近年來,分布源的DOA估計(jì)研究得到了廣泛關(guān)注,相關(guān)學(xué)者陸續(xù)提出了一系列有效的估計(jì)算法,比如子空間類算法[7?10]、波束形成類算法[11]、最大似然類算法[12,13]和稀疏重構(gòu)類算法[14,15]等.然而這些算法均只適用于一維分布源,在實(shí)際應(yīng)用中,信號(hào)源與接收陣列往往不在同一平面上,這種情況下需要將其建立為一個(gè)二維分布源模型.一個(gè)二維分布源主要包括四個(gè)未知角度參數(shù):中心方位角,方位角擴(kuò)展,中心俯仰角和俯仰角擴(kuò)展.盡管上述的某些一維估計(jì)方法可以直接推廣到二維,如二維協(xié)方差匹配算法[16]等,這些算法由于需要多維參數(shù)搜索復(fù)雜度較高.為解決此類問題,相關(guān)學(xué)者基于一些特定的陣列結(jié)構(gòu)研究了分布源的近似簡化模型,并提出了一些低復(fù)雜度的二維DOA估計(jì)算法,如基于三平行線陣的二維傳播算子算法[17,18],基于矩形陣的二維旋轉(zhuǎn)不變子空間(rotation invariant subspace,ESPRIT)算法[19]和基于對稱十字陣的二維廣義ESPRIT算法[20]等.

特別地,均勻圓陣(uniform circular array,UCA)相比于其他陣列結(jié)構(gòu)具有360?的全方位角覆蓋、幾乎不變的方向圖以及額外的俯仰角信息等優(yōu)點(diǎn)[21],基于UCA的分布源二維DOA估計(jì)成為了研究熱點(diǎn)[22?25].文獻(xiàn)[22]首次基于空間距離相近的兩個(gè)UCA,提出了一種估計(jì)二維CD源DOA的一維交替搜索(sequential one-dimensional searching,SOS)算法,該算法首先基于一階泰勒(Taylor)級數(shù)展開得到兩個(gè)子陣間的近似旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,接下來利用總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變子空間(total least squares rotation invariant subspace,TLS-ESPRIT)算法得到中心俯仰角估計(jì),最后通過多次一維搜索得到中心方位角估計(jì).算法只需要一維搜索,但俯仰角的初始估計(jì)精度對算法性能影響較大,并且靠得很近的兩個(gè)子陣容易產(chǎn)生互耦誤差,降低了估計(jì)精度.在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[23]僅利用單個(gè)對稱UCA,提出了一種基于廣義ESPRIT的二維DOA估計(jì)算法,該算法無須角信號(hào)分布函數(shù)先驗(yàn)已知,但需要二維搜索,復(fù)雜度較高.文獻(xiàn)[22,23]中的算法都是針對CD源的研究,而對于UCA中的ID源二維DOA估計(jì)問題,相關(guān)學(xué)者也取得了一些研究成果.文獻(xiàn)[24]同樣基于靠得很近的兩個(gè)UCA,首先根據(jù)子陣間的近似旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系得到中心俯仰角估計(jì),進(jìn)而在單個(gè)UCA中,通過廣義多重信號(hào)分類(generalized multiple signal classif i cation,GMUSIC)方法實(shí)現(xiàn)了中心方位角估計(jì).而在文獻(xiàn)[25]中,考慮由多個(gè)UCA組成的均勻圓柱陣列(uniform cylindrical array,UCyA),提出了一種低復(fù)雜度的波束空間二維DOA估計(jì)算法,該算法估計(jì)中心俯仰角的方法與文獻(xiàn)[24]類似,但是在波束域進(jìn)行計(jì)算,并且通過波束域GMUSIC(beamspace GMUSIC,BS-GMUSIC)方法得到了中心方位角估計(jì),具有較低的計(jì)算復(fù)雜度.盡管如此,在上述文獻(xiàn)[22—25]的算法中,復(fù)雜度較高的譜峰搜索和特征值分解運(yùn)算依舊無法避免,所以復(fù)雜度仍有待降低.此外,文獻(xiàn)[22,24,25]中的算法均需要多個(gè)UCA,陣列結(jié)構(gòu)的硬件復(fù)雜度較高,不利于工程實(shí)踐.

本文針對單個(gè)分布源入射的情況,提出了一種基于矢量化差分相位的解耦二維DOA快速估計(jì)算法.所提算法首先基于UCA不同陣元間的差分相位不受角度擴(kuò)展影響的特性,實(shí)現(xiàn)了中心DOA的解耦合;進(jìn)而通過最小二乘方法直接得到二維DOA的閉式解.該算法僅需要單個(gè)均勻圓陣,無須任何的譜峰搜索和特征值分解運(yùn)算,具有較低的硬件復(fù)雜度和計(jì)算復(fù)雜度.仿真實(shí)驗(yàn)表明,相比于現(xiàn)有的低復(fù)雜度算法,所提算法具有較好的估計(jì)性能;同時(shí),該算法無須角信號(hào)分布的任何先驗(yàn)信息.

2 數(shù)學(xué)模型

考慮如圖1所示的均勻圓陣,該陣列由分布于x-y平面的M個(gè)陣元組成,各陣元均勻分布在半徑為r的圓周上,第一個(gè)陣元位于x軸上且坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓陣的圓心.假設(shè)有單個(gè)遠(yuǎn)場窄帶分布源入射到該陣列,則t時(shí)刻該陣列第m個(gè)陣元的輸出信號(hào)可以表示為[22?25]

其中γm=2π(m?1)/M,λ為入射信號(hào)波長;t=1,2,………,T為采樣時(shí)刻,T為快拍總數(shù);s(θ,φ,t;μ)為分布源的角信號(hào)密度函數(shù);μ=(θ0,σθ0,φ0,σφ0)為分布源的角度參數(shù)矢量,其中各分量分別表示中心方位角θ0,方位角擴(kuò)展σθ0,中心俯仰角φ0和俯仰角擴(kuò)展σφ0;nm(t)是均值為0,方差為σ2n的高斯白噪聲.需要注意的是,為了表達(dá)式的簡化,在下面的相關(guān)積分中均省略了上下限的標(biāo)識(shí).

圖1 均勻圓陣Fig.1.Uniform circular array.

進(jìn)一步可將(1)式寫成向量形式為

其中x(t)和n(t)分別為M×1的輸出信號(hào)矢量和噪聲矢量;a(θ,φ)為均勻圓陣的陣列方向矢量,

根據(jù)單個(gè)分布源內(nèi)部不同路徑分量是否相關(guān),可以將分布源分成兩類:CD源和ID源,分別對應(yīng)于多徑時(shí)不變和多徑時(shí)變兩種信道狀態(tài).當(dāng)信道的相關(guān)時(shí)間大于觀測周期時(shí),此時(shí)分布源為CD源;而當(dāng)信道的相關(guān)時(shí)間遠(yuǎn)小于觀測周期時(shí),此時(shí)分布源為ID源.本文討論單個(gè)CD源和單個(gè)ID源入射兩種情況,因此接下來需要對上述分布源統(tǒng)一模型進(jìn)行區(qū)別討論.

首先,對于一個(gè)二維CD源,由于不同的入射分量僅相差一個(gè)固定的相位延遲和幅度加權(quán),因此角信號(hào)密度函數(shù)s(θ,φ,t;μ)可進(jìn)一步表示為其中,s(t)是復(fù)隨機(jī)信號(hào)源;?(θ,φ;μ)為相應(yīng)的確定性角信號(hào)密度函數(shù),通常假設(shè)為以中心DOA為對稱中心的單峰對稱函數(shù),服從均勻分布、高斯分布和拉普拉斯分布[22]等.

接下來將(4)式代入(2)式,可以得到

然而,對于二維ID源而言,由于不同的路徑分量是完全不相關(guān)的,則有下式成立:

3 基于矢量化差分相位的二維DOA快速估計(jì)算法

在分布源二維DOA估計(jì)中,現(xiàn)有基于均勻圓陣的估計(jì)算法均需要譜峰搜索和特征分解運(yùn)算,復(fù)雜度較高.針對該問題,本文分別考慮單個(gè)CD源和單個(gè)ID源入射到均勻圓陣這兩種情形,首先基于空間頻率近似模型,證明了各陣元接收信號(hào)間的差分相位可實(shí)現(xiàn)中心DOA的解耦合,即差分相位中只包含中心DOA信息,而與角度擴(kuò)展無關(guān);然后基于此特性,通過對協(xié)方差矩陣的嚴(yán)格上三角元素相位進(jìn)行矢量化處理,使得二維DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最小二乘問題,進(jìn)而直接得到中心方位角和俯仰角的閉式解.

3.1 陣元間差分相位的解耦合特性證明

根據(jù)(2)式的陣列輸出信號(hào)矢量x(t),可以得到相應(yīng)的輸出信號(hào)協(xié)方差矩陣為R=E[x(t)xH(t)],則R的第(p,q)個(gè)元素可表示為

由上式分析可知[R]p,q的相位即為第p個(gè)陣元和第q個(gè)陣元輸出信號(hào)的差分相位,所以可以通過分析協(xié)方差矩陣中的元素相位來實(shí)現(xiàn)陣元間差分相位的解耦合特性證明.由于CD源和ID源的陣列模型有所不同,因此需要分別進(jìn)行討論.

首先對于CD源,由于信號(hào)與噪聲無關(guān),根據(jù)(5)式的廣義陣列流型,可以得到對應(yīng)于CD源的陣列協(xié)方差矩陣RCD的解析表達(dá)式為

其中,IM為M×M的單位矩陣.由于協(xié)方差矩陣RCD的主對角線元素中不包含中心DOA信息,因此只需要考慮非主對角線上的元素,即當(dāng)p?=q時(shí),[RCD]p,q可進(jìn)一步表示為

可以定義θ=θ0+?θ和φ=φ0+?φ,其中?θ和?φ分別是θ,φ和中心方位角θ0、中心俯仰角φ0之間的角度偏差.在小角度擴(kuò)展假設(shè)下,基于空間頻率近似模型[7?10],有以下近似關(guān)系成立:

在廣義方向矢量b(μ)中,中心DOA與角度擴(kuò)展相互耦合.根據(jù)(10),(11)和(12)式,則可以得到廣義方向矢量b(μ)的參數(shù)解耦形式:

其中g(shù)(μ)為確定性角信號(hào)分布函數(shù)矢量,且有

其中,?表示Schur-Hadamard積.

將(15)式代入(9)式,可得

分析上式,雖然g(μ)中同時(shí)包含中心DOA和角度擴(kuò)展信息,但由于其為實(shí)向量,不會(huì)對[RCD]p,q的相位產(chǎn)生影響,因此[RCD]p,q的相位可以表示為

對于ID源,根據(jù)(2)式和(6)式,可以計(jì)算對應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

在無噪?yún)f(xié)方差矩陣Rs(μ)中,中心DOA與角度擴(kuò)展參數(shù)相互耦合.在小角度擴(kuò)展下,基于(10),(11)和(12)式的近似關(guān)系,同樣可以得到Rs(μ)的參數(shù)解耦形式:

其中

由(17)和(22)式可知,當(dāng)p ?=q時(shí),[RCD]p,q和[RID]p,q的相位中均僅包含待定的分布源中心DOA,而不包含任何的角度擴(kuò)展參數(shù),因此通過提取協(xié)方差矩陣的非對角線元素相位可將中心DOA與角度擴(kuò)展分離開,即證明了均勻圓陣中不同陣元接收信號(hào)的差分相位具有解耦合的特性.

3.2 中心方位角與俯仰角估計(jì)

通過上述的陣元間差分相位解耦合特性的證明,可知協(xié)方差矩陣非對角線上的元素相位僅包含待定的中心DOA信息,基于此,可進(jìn)一步得到中心方位角與俯仰角估計(jì).根據(jù)(17)和(22)式可知,具有相同的形式,因此接下來可以一起討論,統(tǒng)一記為?p,q,于是有:

值得注意的是,為了避免產(chǎn)生相位模糊問題,本文假設(shè)r/λ6 1/4,同時(shí)

進(jìn)而有?p,q ∈[?π,π),因此?p,q不會(huì)產(chǎn)生相位模糊.應(yīng)該指出的是當(dāng)r/λ>1/4時(shí),相關(guān)學(xué)者也提出了多種方法來解決相位模糊問題[26?28].

為了得到中心方位角和俯仰角估計(jì),可以將(23)式進(jìn)一步展開,改寫為以下形式:

由于協(xié)方差矩陣是共軛對稱的,并且主對角線的元素相位不含方位信息,因此只需要考慮協(xié)方差矩陣嚴(yán)格上三角部分的元素,將這部分元素相位按行提取,并進(jìn)行矢量化處理,進(jìn)而可以得到差分相位矢量W:

接下來可將(24)式改寫為如下矩陣形式:

其中

因此v的最小二乘估計(jì)由下式給出:

最后,分別得到單分布源的中心方位角和俯仰角估計(jì):

3.3 算法步驟與復(fù)雜度分析

根據(jù)上述分析可以將本文估計(jì)單分布源二維DOA的方法歸納為以下步驟:

1)根據(jù)(2)式的分布源陣列輸出信號(hào)矢量,計(jì)算相應(yīng)的協(xié)方差矩陣R=E[x(t)xH(t)];

2)提取協(xié)方差矩陣R的嚴(yán)格上三角元素相位,并進(jìn)行矢量化處理,得到差分相位矢量W;

3)根據(jù)(27)和(28)式分別構(gòu)造矩陣A和v,進(jìn)而得到如(26)式所示的等式關(guān)系,接下來根據(jù)(29)式直接得到v的最小二乘估計(jì);

4)由(30)和(31)式計(jì)算中心方位角和俯仰角估計(jì)值.

接下來將本文算法與文獻(xiàn)[22]中的SOS算法、文獻(xiàn)[23]中的NAM算法、文獻(xiàn)[24]中的GMUSIC算法和文獻(xiàn)[25]中的BS-GMUSIC算法進(jìn)行復(fù)雜度對比分析.假設(shè)陣列陣元數(shù)為M,快拍數(shù)為T,則本文算法的復(fù)雜度主要在于估計(jì)一個(gè)M階的陣列協(xié)方差矩陣以及最小二乘計(jì)算過程,相應(yīng)的計(jì)算量可以表示為O(M2T+(M2?M)/2);SOS算法的復(fù)雜度主要在于估計(jì)一個(gè)M階的陣列協(xié)方差矩陣和特征分解運(yùn)算以及一維譜峰搜索過程,可以表示為O(M3+9M2T+L(1+M));NAM算法的復(fù)雜度主要在于估計(jì)一個(gè)M階的陣列協(xié)方差矩陣和特征分解運(yùn)算以及二維譜峰搜索過程,可以表示為O(M2T+M3+L2(M+1));GMUSIC算法的主要復(fù)雜度同樣在于估計(jì)一個(gè)M階的陣列協(xié)方差矩陣和特征分解運(yùn)算以及一維譜峰搜索過程,可以表示為O(M2T+M3+M2L);BS-GMUSIC算法實(shí)現(xiàn)了波束域計(jì)算,其復(fù)雜度主要包括波束空間轉(zhuǎn)換過程、估計(jì)一個(gè)M階協(xié)方差矩陣和特征分解運(yùn)算以及一維波束域譜峰搜索過程,可以表示為O(MPT+P2T+P3+P2L).注意在上述復(fù)雜度分析中,L表示搜索點(diǎn)數(shù),P為輸出信號(hào)矩陣波束空間轉(zhuǎn)換后的維數(shù).

由上述的復(fù)雜度分析可知,當(dāng)搜索點(diǎn)數(shù)L較大時(shí),本文算法的復(fù)雜度明顯低于其他算法,這是因?yàn)楸疚乃惴o須任何的譜峰搜索和特征分解運(yùn)算.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文研究的是單個(gè)分布源DOA估計(jì)算法,擬分別采用單個(gè)CD源與單個(gè)ID源作為發(fā)射信號(hào).仿真實(shí)驗(yàn)采用如圖1所示的均勻圓陣,圓陣中包含20個(gè)陣元,半徑為r=λ/4.實(shí)驗(yàn)中假設(shè)噪聲為高斯白噪聲.為了驗(yàn)證本文算法的實(shí)用性與魯棒性,采用蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)將本文算法與文獻(xiàn)[22]中的SOS算法、文獻(xiàn)[23]中的NAM算法、文獻(xiàn)[24]中的GMUSIC算法、文獻(xiàn)[25]中的BS-GMUSIC算法和相應(yīng)的CRLB進(jìn)行對比分析.

為衡量算法性能,首先定義中心方位角和俯仰角估計(jì)的二維均方根誤差2D-RMSE為

其中,

Q

為蒙特卡羅仿真次數(shù),

q

和

q

分別為第

q

次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中分布源的中心方位角和俯仰角估計(jì)值.

仿真1參數(shù)估計(jì)直方圖分布

圖2 分布源二維DOA估計(jì)直方圖 (a)CD源;(b)ID源Fig.2.Histogram of two dimensional DOA estimation for distributed source:(a)CD source;(b)ID source.

假設(shè)入射的單個(gè)分布源角度參數(shù)矢量為μ=(30? ,1? ,50? ,1?),固定信噪比(SNR)為10 dB,快拍數(shù)為500,分別在CD源和ID源兩種情況下,進(jìn)行300次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),相應(yīng)的二維DOA估計(jì)值的分布直方圖如圖2所示.從圖中可以看出,中心方位角和中心俯仰角估計(jì)的誤差范圍均在1?以內(nèi),并且越接近真值,估計(jì)次數(shù)越多,因此本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)對單個(gè)分布源二維DOA的有效估計(jì).

仿真2不同算法性能對比

在CD源的條件下,將本文算法與SOS算法和NAM算法性能進(jìn)行對比,而對于ID源,則將本文算法與GMUSIC算法和BS-GMUSIC算法性能進(jìn)行對比.入射的CD源或ID源的角度參數(shù)矢量均為μ=(30? ,2? ,60? ,3?),SNR從0 dB變化到30 dB,快拍數(shù)為500,分別繪制這些算法的2DRMSE曲線與信噪比SNR的關(guān)系曲線如圖3所示.從圖中可以看出,在CD源角度估計(jì)中,本文算法的估計(jì)性能明顯優(yōu)于SOS算法,而與NAM算法近乎相同;在ID源角度估計(jì),本文算法的性能在低信噪比時(shí)明顯優(yōu)于GMUSIC算法和BS-GMUSIC算法.因此結(jié)合上述的復(fù)雜度分析可得出結(jié)論:所提算法在具有較低復(fù)雜度的同時(shí)也具有一個(gè)較好的估計(jì)性能.

仿真3驗(yàn)證快拍數(shù)對算法性能的影響

假設(shè)快拍數(shù)由100到1500之間變化,SNR固定為10 dB,其他參數(shù)與仿真二相同,分別繪制不同算法的2D-RMSE曲線與快拍數(shù)的關(guān)系,如圖4所示.從圖中可以得出與仿真二類似的結(jié)論,并且隨著快拍數(shù)的增多,算法的估計(jì)性能也越來越好.

圖3 不同算法二維DOA均方根誤差對比 (a)CD源;(b)ID源Fig.3.2D-RMSE contrast of two-dimensional DOA of different algorithms:(a)CD source;(b)ID source.

圖4 不同算法二維DOA估計(jì)均方根誤差與快拍數(shù)的關(guān)系 (a)CD源;(b)ID源Fig.4.The relationship between 2D-RMSE of two-dimensional DOA and the number of snapshots of different algorithms:(a)CD source;(b)ID source.

仿真4驗(yàn)證算法對不同中心DOA的估計(jì)能力

選取分布源的角度擴(kuò)展參數(shù)為σθ0=σφ0=1.5?, 首先固定中心俯仰角φ0=60?,SNR=10 dB,快拍數(shù),研究中心方位角的變化對算法估計(jì)性能的影響,如圖5(a)所示.從圖中可以看出,在全方位角范圍內(nèi)[?180? ,180?),所提算法均具有近乎相同的估計(jì)性能與分辨力,因此本文算法可以實(shí)現(xiàn)全方位測角;類似地,固定中心方位角θ0=30?,則中心俯仰角的變化對算法估計(jì)性能的影響如圖5(b)所示,分析可知當(dāng)中心俯仰角接近角度域下界φ0=0?或者上界φ0=90?時(shí),估計(jì)的均方根誤差顯著增大但仍然小于1?,這說明算法在整個(gè)角度區(qū)域(θ0∈[?180? ,180?),φ0∈(0? ,90?))內(nèi)都可進(jìn)行有效估計(jì).

圖5 算法對不同中心DOA的估計(jì)能力 (a)中心方位角;(b)中心俯仰角Fig.5.Estimation performance of the algorithm for different center DOAs:(a)Center azimuth;(b)center elevation.

5 結(jié) 論

基于均勻圓陣的分布源二維DOA估計(jì)可以實(shí)現(xiàn)全方位測角,并且具有較高的分辨率,然而現(xiàn)有的估計(jì)算法均需要譜峰搜索和特征值分解,復(fù)雜度較高.針對該問題,本文算法在證明任意單分布源入射時(shí),均勻圓陣不同陣元接收信號(hào)間的差分相位具有解耦合特性的基礎(chǔ)上,通過提取協(xié)方差矩陣的嚴(yán)格上三角元素相位,并進(jìn)行矢量化處理,最終將波達(dá)方向估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最小二乘問題,從而可以直接得到閉式解.通過仿真實(shí)驗(yàn)和復(fù)雜度分析可以看出,所提算法與現(xiàn)有的算法相比,在大幅度降低復(fù)雜度的同時(shí),依舊能夠獲得較好的估計(jì)性能;并且僅需要單個(gè)圓陣,具有較低的硬件復(fù)雜度,同時(shí)也無須角度分布的任何先驗(yàn)信息.

附錄A

因此g(μ)為實(shí)值矢量.

因此B(μ)為實(shí)對稱矩陣.

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