信道轉(zhuǎn)移概率變化下的極化碼設(shè)計方案

黃志亮 張施怡 周水紅

摘 要： 為了適應(yīng)實際通信系統(tǒng)中信道隨時間的變化，本文將極化碼設(shè)計推廣至更實際的時變通信信道；綜合考慮信道變化范圍內(nèi)所有位信道的平均性能，然后選擇出平均性能最好的位信道作為極化碼的信息位。文章設(shè)計了幾種用于設(shè)計極化碼的位信道平均性能算方法和一種衡量平均增益的計算方法。仿真結(jié)果表明，這些設(shè)計能有效地提高極化碼的平均性能；在時變信道中，通過更加細致地設(shè)計極化碼，能有效地提高極化碼的平均性能。

關(guān)鍵詞： 極化碼； 信道極化； 極化碼設(shè)計； 轉(zhuǎn)移概率

中圖分類號：TN911.2 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1006-8228（2018）03-09-04

Polar code design schemes under Changing Channel Transition Probability

Huang Zhiliang， Zhang Shiyi， Zhou Shuihong

（College of Mathematics， Physics and Information Engineering， Zhejiang Normal University， Jinhua， Zhejiang 321004， China）

Abstract： In order to adapt to time-varying channel in actual communication system， in this paper， the design of polar code is extended to more practical time-varying communication channel； considering the average performance of all the bit-channels， the best bit-channels with the best average performance are selected as the information set of the polar code. Several methods to choose the best bit-channels are proposed， and the method for evaluating the average gains of proposed methods is designed. Simulation results showed that the proposed methods can improve the average performance of polar codes.

Key words： polar codes； channel polarization； polar code construction； transition probability

0 引言

自從1948年香農(nóng)在其開創(chuàng)性的文章中提出信道編碼定理以來[1]，人們一直在尋找著一種漸近性能達到香農(nóng)限，同時有著低編譯碼復(fù)雜度，并且能廣泛適用于各種不同信道場景的信道編碼方案。Arikan在2009年基于信道極化現(xiàn)象構(gòu)造的極化碼可能是第一個能滿足上述條件的信道編碼方案[2]。從Arikan提出極化碼以來，關(guān)于極化碼的研究就成為信息論和編碼領(lǐng)域的一個研究熱點。

雖然極化碼有著豐富和完善的理論，但其在實際應(yīng)用中也存在著一些需要解決的問題。除了二進制擦除信道（BEC），其他信道下極化碼設(shè)計的復(fù)雜度為指數(shù)級復(fù)雜度[2]。文獻[3]和[4]利用信道近似的方法，在二進制輸入無記憶（B-MS）信道條件下，給出了能逼近實際設(shè)計的、具有線性復(fù)雜度的極化碼近似設(shè)計方法。然而文獻[3]和[4]中極化碼近似設(shè)計方法是在信道轉(zhuǎn)移概率保持不變的條件下獲得的。至今，關(guān)于時變信道轉(zhuǎn)移概率條件下極化碼設(shè)計方面的研究文獻還未見到。

在一些實際通信系統(tǒng)中，信道的轉(zhuǎn)移概率依賴于信噪比。在信噪比變化的場景下，最簡單的極化碼設(shè)計方案就是取平均信噪比點對應(yīng)的信道。這樣設(shè)計的缺點是沒有考慮其他信噪比點，會損失極化碼的平均譯碼性能。

本文提出了一種構(gòu)造后設(shè)計方案：首先將信噪比區(qū)間等概率量化，然后利用文獻[3]中的方法構(gòu)造出各個量化信噪比點對應(yīng)的位信道，最后綜合考慮這些位信道，從而設(shè)計出需要的極化碼。這樣做的好處是，綜合考慮了各個信噪比點，使得設(shè)計出的極化碼有更好的平均譯碼性能。

1 問題描述

1.1 連續(xù)信道的下近似離散信道生成方法

考慮一個二進制輸入高斯信道（BiAWGN），其采用BPSK調(diào)制，即在發(fā)送端的二進制數(shù)據(jù)位c被映射為傳輸符號x，x=1-2c。接收端獲得接收數(shù)據(jù)y，y=x+z，其中z為均值為0，方差為σ2的高斯隨機變量。

此時，已知x時y的條件分布是一個高斯分布，其概率密度函數(shù)為

⑴

其中x∈{-1，+1}。

則對于任意的y，由式定義的概率密度函數(shù)有

f（y|+1）=f（-y|-1）

此時，稱⑴式定義的信道是對稱的。

記由⑴式定義的信道為W，此時信噪比為1/σ2。由于信道W的對稱性，可以利用文獻[3]中的方法實現(xiàn)信道W的下近似二進制輸入離散無記憶（B-DMS）信道的生成方法。具體如下：

記y的似然比λy

則有信道W對稱信道容量為：

其中：

令μ=2L為將要生成的下近似B-DMS信道輸出集合的元素個數(shù)。在λ?1的條件下，C[λ]是λ的單調(diào)遞增函數(shù)。所以對于1?i?L，可以將區(qū)間[0，∞]分割成如下L個區(qū)間。

定義信道，其中，，轉(zhuǎn)移概率為：

上述定義的信道Q為信道W的下近似信道[1]?？梢钥闯鲂诺繯為B-DMS信道，所以可以通過[3]中的方法設(shè)計出Q的下近似極化碼，由下近似的傳遞性知，該極化碼也是W的下近似極化碼。

1.2 優(yōu)化問題

給定碼長和碼率，在實際通信中使用極化碼時，極化碼的信息位集合一般來說需要固定。這是因為，極化碼編碼和譯碼需要用到一致的信息位集合，如果發(fā)送端的信息位不固定，而接收端沒有信息位集合的信息，就無法解碼。

當(dāng)信噪比1/σ2變化時，則其對應(yīng)信道的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)f（y|x）和似然比λy也隨之變化。則利用上小節(jié)方法構(gòu)造的極化碼在不同信噪比點對應(yīng)的最優(yōu)信息位集合就不同。然而在實際通信中使用極化碼時，極化碼只能使用一個信息位集合。因此，在信噪比1/σ2變化的條件下，需要折中考慮所有可能的信息位集合，從中選擇一個信息位集合，使得該信息位集合對應(yīng)的極化碼的平均譯碼性能最優(yōu)。

假定信噪比的取值區(qū)間為[a，b]。給定碼長N和碼率R，記所有可能的信息位集合組成的集合為S。在信噪比區(qū)間內(nèi)任意一點x∈[a，b]，使用信息位集合為A的極化碼的譯碼性能記為Pe（x，A）。記g（x）為信噪比的概率密度函數(shù)。得到使上述簡單模型的平均性能最優(yōu)的信息位集合（只考慮極化碼的譯碼性能），需要求解如下優(yōu)化問題：

⑵

2 極化碼折中設(shè)計方案

因為有限長度的極化碼的譯碼性能目前只能通過仿真得到，所以⑵式描述的優(yōu)化問題的最優(yōu)解目前還無法獲得。本節(jié)給出該優(yōu)化問題幾種啟發(fā)式的實現(xiàn)方案。啟發(fā)式實現(xiàn)方案分為兩大類，①構(gòu)造前設(shè)計方案：首先直接找一個折中信噪比點對應(yīng)信道，然后利用文獻[3]中極化碼設(shè)計方法構(gòu)造出對應(yīng)的極化碼，作為實際使用的極化碼；②構(gòu)造后設(shè)計方案：將信噪比區(qū)間進行量化，利用文獻[3]中的方法構(gòu)造出每一個量化點下所有的位信道，然后綜合評價這些位信道，獲得最后信息位集合、即極化碼。

2.1 信噪比均勻分布時極化碼折中設(shè)計方案

⑴ 構(gòu)造前設(shè)計方案

方案一：取最低信噪比點adB對應(yīng)的信道用于設(shè)計極化碼，并作為實際使用的極化碼。

方案二：取最高信噪比點bdB對應(yīng)的信道用于設(shè)計極化碼，并作為實際使用的極化碼。

方案三：取平均信噪比點dB對應(yīng)的信道用于設(shè)計極化碼，并作為實際使用的極化碼。

⑵ 構(gòu)造后設(shè)計方案

方案四：假定需要構(gòu)造的極化碼的碼長為N，信息位集合元素的個數(shù)為K。按如下方法生成實際使用的極化碼：①對信噪比區(qū)間進行量化；②利用文獻[3]中的方法構(gòu)造出每一個量化點對應(yīng)信道下的N個位信道， 并計算出每一個位信道的評價指標(biāo)；③分別處理每一個量化點下的N個位信道，依據(jù)評價指標(biāo)，將每一個量化點對應(yīng)的N個位分為K個信息位（指標(biāo)最小的K個位信道對應(yīng)的位）和N-K個凍結(jié)位，并統(tǒng)計每一位被分為凍結(jié)位的次數(shù)；④依據(jù)每一位被選擇為凍結(jié)位的次數(shù)，從中選擇最大的N-K個對應(yīng)的指標(biāo)組成凍結(jié)位集合Ac，而對應(yīng)的信息位集合A下的極化碼作為最后實際使用的極化碼。

方案四可以表述為下面算法：

[算法1：信噪比均勻分布時極化碼構(gòu)造后設(shè)計算法（方案四） 輸入：信噪比區(qū)間[a，b]、量化點個數(shù)q、碼長N、信息位個數(shù)K和凍結(jié)位次數(shù)統(tǒng)計向量F=（f1，f2…，fN）=（0，…，0）。

輸出：元素個數(shù)為K信息位集合。 步驟1：將信噪比區(qū)間等距離量化為q個點a，，…，b。

步驟2：i從1到q，

⑴ 利用文獻[3]中的方法構(gòu)造出第i個量化點對應(yīng)信道下的N個位信道，并計算出每一個位信道的評價指標(biāo)。

⑵ 依據(jù)指標(biāo)的值，選擇N-K個值最大的位信道對應(yīng)的位為凍結(jié)位，記選擇出的凍結(jié)位集合為B。

⑶ j從1到N，如果j∈B，則fj=fj+1。

步驟3：依據(jù)F=（f1，…，fN）的值，從中選擇最大的N-K個F的分量對應(yīng)的下標(biāo)組成凍結(jié)位集合Ac，而對應(yīng)剩下的位組成信息位集合A。 ]

2.2 方案復(fù)雜度分析

構(gòu)造前設(shè)計時相當(dāng)于只有一個量化點，其復(fù)雜度就是極化碼設(shè)計的復(fù)雜度。因此，利用文獻[3]的近似設(shè)計方法，構(gòu)造前設(shè)計方案的復(fù)雜度為線性復(fù)雜度。構(gòu)造后設(shè)計方案的復(fù)雜度和量化點的個數(shù)成正比，若記量化的個數(shù)為q，極化碼設(shè)計的復(fù)雜度為O（N），則方案的復(fù)雜度為qO（N）。一般量化點的個數(shù)q為一個比較小的常數(shù)，所以構(gòu)造后設(shè)計方案的復(fù)雜度也為線性復(fù)雜度。

3 仿真結(jié)果

為了更好地分辨誤幀率（FER），本文的仿真圖中將橫坐標(biāo)分成兩部分表示，這樣將縱坐標(biāo)“拉近”可以更清晰地顯示出各種方案設(shè)計的極化碼的誤幀率的區(qū)別。

圖1給出方案一、方案二、方案三和方案四設(shè)計的碼長N=256，碼率為1/2的極化碼在SC譯碼算法下的誤幀率曲線。信噪比區(qū)間為[1，4]，方案一、二、三分別對應(yīng)的用來設(shè)計極化碼的信噪比點是1dB、4dB、2.5dB。需要注意的是：在構(gòu)造方案四的極化碼時，多選取了兩個更高的信噪比點4.5和5.0 dB執(zhí)行算法1，即此時參與算法1的量化點為{1.0，1.5，2.0，2.5， 3.0，3.5，4.0，4.5，5.0}。從仿真結(jié)果看，這個調(diào)整可以增加方案四在高信噪比區(qū)域的譯碼性能，而對于低信噪比區(qū)域影響不大。

圖1 方案一、二、三、四設(shè)計的極化碼的誤幀率，碼長256、碼率1/2

圖2 方案一、二、三、四設(shè)計的極化碼的誤幀率，碼長256、碼率1/4

從圖1可以看出，方案一在低信噪比時有較好的譯碼性能，而在高信噪比時譯碼性能有一定的損失。方案二正好相反，在高信噪比時有較好的譯碼性能，而在低信噪比時譯碼性能有一定的損失。這與直觀一致，因為方案一是在最低信噪比1dB時設(shè)計得到，而方案二是在最高信噪比4 dB時設(shè)計得到。方案三有著比方案一、二更好的平均性能。相比于方案三，方案四在中間信噪比區(qū)域有一定的譯碼性能損失，而在信噪比的兩端區(qū)域有超過方案三的譯碼性能，表明了方案四有著比方案三更好的平均性能。

圖2給出方案一、二、三、四設(shè)計的碼長N=256，碼率為1/4的極化碼在SC譯碼算法下的誤幀率曲線。信噪比區(qū)間為[0，5]，方案一、二、三分別對應(yīng)的用來設(shè)計極化碼的信噪比點是0dB、5dB、2.5dB。對于方案四，參與算法1的量化點為{0.0，1.0，2.0，3.0，4.0，5.0}。

直觀上看，方案一在低信噪比區(qū)域應(yīng)該有最好的譯碼性能，方案二在高信噪比區(qū)域有最好的譯碼性能，方案三在中間信噪比區(qū)域有最好的譯碼性能。圖1和圖2中的仿真結(jié)果和直觀一致。從圖1和圖2可以看出，構(gòu)造后設(shè)計方案四，在低信噪比區(qū)域和方案一有差不多的譯碼性能，在高信噪比區(qū)域和方案二有差不多的譯碼性能，在中間信噪比區(qū)域和方案三有差不多的譯碼性能，表明了方案四良好的平均譯碼性能。

圖3 方案一、二、三、四設(shè)計的極化碼的誤幀率，碼長1024、碼率1/2

圖3給出了方案一、二、三、四設(shè)計的碼長N=1024，碼率為1/2的極化碼在SC譯碼算法下的誤幀率曲線。信噪比區(qū)間為[1，4]，方案一、二、三分別對應(yīng)的用來設(shè)計極化碼的信噪比點是1dB、4dB、2.5dB。與圖 1一樣，在構(gòu)造方案四的極化碼時，多選取了兩個更高的信噪比點4.5和5.0dB執(zhí)行算法1，即此時參與算法1的量化點為{1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5，4.0，4.5，5.0}。從仿真結(jié)果看，這個調(diào)整可以增加方案四在高信噪比區(qū)域的譯碼性能，而對于低信噪比區(qū)域影響不大。

在圖3中，方案一、二在低信噪比區(qū)域和高信噪比區(qū)域的譯碼性能有著很大的區(qū)別，表明了折中設(shè)計極化碼的必要性。相比于方案一、二、三，方案四有著更好的平均性能。

方案一、二在低信噪比區(qū)域和高信噪比區(qū)域的譯碼性能有著很大的區(qū)別，表明了折中設(shè)計極化碼的必要性。相比于方案一、二和三，方案四有著更好的平均性能。

表1給出了三個極化碼在四種方案下的“平均度量”。首先假設(shè)每個信噪比點的重要程度相同，基于此假設(shè)本文設(shè)計了一個“平均度量”來衡量方案的好壞。各個方案“平均度量”以及增益的計算方法如下。

⑴ “平均度量”計算方法：首先計算方案四的“平均度量”，對于一個給定的極化碼，將其在各個信噪比點的誤幀率通過放大或縮小，使其值在1到10之間，然后將所有信噪比點的誤幀率值相加，得到方案四的“平均度量”。然后以方案四的放大/縮小倍數(shù)作為基準，去放大/縮小其他方案的誤幀率，然后將所有信噪比點的誤幀率值相加，得到方案一、二、三的“平均度量”。顯然“平均度量”的值越小越好。

⑵ “增益”計算方法：對于一個給定的極化碼，選取方案一、二、三中的最小“平均度量”，然后計算方案四與該最小“平均度量”相對百分比。

如表1所示，方案四相比于方案一、二、三，有一定的增益，并且方案四的“平均度量”最穩(wěn)定即：其他方案有可能針對某一個極化碼很好，而對另外極化碼則相對較差。

表1 方案一、二、三、四設(shè)計極化碼的“平均度量”

[平均度量 256， 1/2 256， 1/4 1024， 1/2 方案一 29.3 36.6 80.7 方案二 21.9 28.9 40.8 方案三 22.3 36.7 43.5 方案四 21.2 27.5 38.0 增益 3.2% 4.8% 6.9% ]

從上述仿真結(jié)果中，可以得到如下結(jié)論，在所有提出的方案中，基于凍結(jié)位次數(shù)的構(gòu)造后設(shè)計方案有著最好的平均譯碼性能。

4 總結(jié)

本文研究了信道轉(zhuǎn)移概率變化下極化碼的折中設(shè)計問題。本文首先指出了當(dāng)信道轉(zhuǎn)移概率變化時極化碼的設(shè)計困難，并建立了一個適合于討論信道轉(zhuǎn)移概率變化時，如何較優(yōu)設(shè)計極化碼的簡單模型；然后提出了兩類折中設(shè)計極化碼的方案：構(gòu)造前設(shè)計方案和構(gòu)造后設(shè)計方案。構(gòu)造前設(shè)計方案直接找一個折中信噪比點對應(yīng)的信道，然后利用極化碼的近似設(shè)計方法設(shè)計出對應(yīng)的極化碼，作為實際使用的極化碼；構(gòu)造后設(shè)計方案：將信噪比區(qū)間進行量化，構(gòu)造出每一個量化點對應(yīng)的位信道的近似信道，然后綜合評價這些位信道，獲得最后信息位集合，即極化碼；最后簡要分析了兩類方案的復(fù)雜度，并給出了仿真結(jié)果。

構(gòu)造前設(shè)計方案的復(fù)雜度就是極化碼設(shè)計的復(fù)雜度，利用文獻[3]的近似設(shè)計方法，構(gòu)造前設(shè)計方案的復(fù)雜度為線性復(fù)雜度。構(gòu)造后設(shè)計方案的復(fù)雜度是構(gòu)造前設(shè)計方案的q倍（q為量化點的個數(shù)）。一般量化點的個數(shù)q為一個比較小的常數(shù)，所以，構(gòu)造后設(shè)計方案的復(fù)雜度也近似為線性復(fù)雜度。

在信噪比均勻分布的條件下，構(gòu)造前設(shè)計方案中提出了三種方案。仿真結(jié)果表明，方案一、方案二在低信噪比區(qū)域和高信噪比區(qū)域的譯碼性能有很大的區(qū)別，表明了折中設(shè)計極化碼的必要性。構(gòu)造后設(shè)計方案只提出了一種方案即方案四，通過比較方案三和方案四，可以得到構(gòu)造后設(shè)計方案比構(gòu)造前設(shè)計方案有更好的平均性能。

參考文獻（References）：

[1] Shannon C E. A mathematical theory of communication[J].

Bell Syst. Tech. J.，1948.27：374-423，623-656

[2] Arikan E. Channel polarization： a method for constructing

capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels [J]. IEEE Trans. Inform.Theory，2009.55（7）：3051-3073

[3] Tal I， Vardy A. How to construct polar codes[J].IEEE

Trans. Inform.Theory，2013.59（10）：6562-6582

[4] Tal I， On the Construction of Polar Codes for Channels

With Moderate Input Alphabet Sizes[J]. IEEE Trans. Inform.Theory，2017.63（3）：1501-1509