偶數(shù)階微分系統(tǒng)主次特征值之比的下界

黃振明

（蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州，215104）

在由物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)等學(xué)科推出的微分方程（組）特征值問題中，人們常需找出最小特征值或次小特征值，因?yàn)檫@些低階特征值在實(shí)際問題中有著明顯的物理指征，常與物體的主要振動(dòng)頻率、物體彎曲變形的臨界值等有關(guān)，盡管一般情形下很難求得其精確值，但對(duì)低階特征值的分析和估計(jì)仍是很具實(shí)際意義的一個(gè)研究方向，近年來，國(guó)內(nèi)外許多數(shù)學(xué)工作者從不同角度，運(yùn)用分析、算子、嵌入數(shù)估計(jì)等方法在此領(lǐng)域進(jìn)行了大量研究，取得了一系列成果[1-13]，其中文[1]給出了有界開區(qū)間（a，b）上僅由兩個(gè)方程構(gòu)成的六階微分系統(tǒng)特征值問題：

并得到了用主特征值λ1來估計(jì)次特征值λ2的上界不等式：

其中正實(shí)數(shù) σi，τi（i=1,2）滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù) ξ1，ξ2有

本文考慮從兩個(gè)方面將文[1]中的方程組（1）進(jìn)行推廣，一、方程個(gè)數(shù)為任意多個(gè)，二、方程階數(shù)為任意偶數(shù)階，即如下形式的微分系統(tǒng)：

則可將系統(tǒng)（3）寫成如下等價(jià)的矩陣形式

且滿足如下正定或半正定條件：對(duì)任意 n 維向量有 ξ=(ξ1,ξ2,…，ξn）T∈Rn

上述 σi，τi（i=1,2)均為正常數(shù)，T 為轉(zhuǎn)置符號(hào)。

筆者參照并改進(jìn)文[1]中的討論方法，將[1]中的結(jié)論（2）推廣至如下的一般情形。

定理 1設(shè) λ1,λ2分別是問題（4）的主、次特征值（0＜λ1≤λ2），則有

2 定理的證明

設(shè)問題（4）的主、次特征值分別為λ1,λ2在上述假定條件下，根據(jù)微分算子特征值理論知，λ1,λ2不僅是實(shí)的，而且是非負(fù)的，即0＜λ1≤λ2，又記主特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征向量為u，且滿足

對(duì)式（9）運(yùn)用分部積分，有

由式（10）和（6），得

從問題（4），利用分部積分和式（9），并注意到問題（4）中的邊界條件可推得

利用式（5）、（7）和（12），得

利用分部積分、φ的定義和式（10），計(jì)算得

由此可知，φ與u廣義正交，同時(shí)φ滿足奇次邊界條件：

根據(jù)變分法中的Rayleigh原理知，對(duì)所有與最小特征向量u廣義正交、且滿足奇次邊界條件的連續(xù)函數(shù)φ所得瑞利商的最小值是次小特征值，由此得到下列不等式

利用φ的定義和式（4），計(jì)算可得

將恒等式(x-q)R1(D)u=R1(D)φ-u代入式（16）右端可得

再由式（15）和（17）可得

于是，利用式（14）、（18），有

即

引理1設(shè)u是問題（4）對(duì)應(yīng)于主特征值λ1的特征向量，則

證明：先證明下列不等式

假設(shè) m=k≤t-2 時(shí)，不等式（21）成立，即

則當(dāng)m=k+1≤t-1時(shí)，利用分部積分，Schwarz不等式和上式，并注意到問題（4）中的邊界條件得

整理上式，即得

即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式（21）也成立，所以不等式（21）成立。

即證得引理1的式（20）成立。

引理2設(shè)λ1是問題（4）的主特征值，則當(dāng)t≥3時(shí)，下列兩不等式成立。

證明：利用式（11）、分部積分和Schwarz不等式得

由式（24）和引理1可得

由式（6）和（25）即得引理 2 中的（22）。

利用 P（x）的正定性、式（5）、（12）和引理 1 得

即得引理2中的（23）。

引理3對(duì)于上述I，有如下估計(jì)上界

證明：利用φ的定義和分部積分法，逐項(xiàng)計(jì)算可得

合并式（27）和（28），恰好消去其中的不可控項(xiàng)，得

再根據(jù)引理 1、引理 2、（26）和（29）有

即得引理3。

引理4對(duì)于本文定義的試驗(yàn)函數(shù)φ，成立著不等式

證明：利用φ的定義和分部積分，

有

由式（30）得

利用式（11）、（31）、Schwarz不等式、（6）和引理 1，

有

化簡(jiǎn)即得引理4。

利用引理3和引理4，從式（19）可得

化簡(jiǎn)便得定理1中的式（8）。

3 結(jié)語

本文在六階微分系統(tǒng)（1）的低階特征值估計(jì)基礎(chǔ)上，推廣考慮了偶數(shù)階微分系統(tǒng)（4）的特征值估計(jì)，獲得了主、次特征值之比的下界估計(jì)不等式，其估計(jì)系數(shù)與所論區(qū)間的度量無關(guān)，特別地，文[1]討論的系統(tǒng)（1）僅是本文系統(tǒng)（4）當(dāng) t=3，n=2，Q(x)=0時(shí)的特例，此時(shí)按本文的結(jié)論（8）對(duì)（1）成立著

與文[1]作者對(duì)（1）的估計(jì)結(jié)論（2）相比可知，本文用λ1估計(jì)λ2的上界比文[1]的相同估計(jì)減小了，或者說至少減小了λ1，因此，本文的估計(jì)結(jié)論比文[1]的更精確，在特征值問題中有著一定的參考價(jià)值。

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