基于非圓齒輪的卡登圓行星機構(gòu)運動學(xué)分析與仿真

羅競波 - 李美求 - 馮小剛 - 華 劍

(1. 長江大學(xué)機械結(jié)構(gòu)強度與振動研究所，湖北 荊州 434023；2. 大慶油田井下作業(yè)分公司修井一大隊，黑龍江 大慶 163000)

非圓齒輪機構(gòu)可以實現(xiàn)特殊的運動和函數(shù)運算，在某些情況下，采用非圓齒輪對機構(gòu)的運動特性極為有利，有效地提高了機構(gòu)的性能，改善了機構(gòu)的運動條件，目前理論研究趨于成熟，已得到廣泛的應(yīng)用[1]?？ǖ菆A行星機構(gòu)是一種將行星架的旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為導(dǎo)桿往復(fù)直線運動的裝置。其具有結(jié)構(gòu)簡單，可靠性高，輸出端始終做往復(fù)直線運動的特點[2]。與傳統(tǒng)的曲柄滑塊機構(gòu)相比，由于滑動副中不存在周期性變化的接觸力，因此運動精度高，能耗低，使用時間長，在往復(fù)運動機構(gòu)中具有廣闊的應(yīng)用價值?？捎迷谥T如配料機、活塞式制冷壓縮機等食品加工機械中[3]?？ǖ菆A行星機構(gòu)目前的研究集中在結(jié)構(gòu)創(chuàng)新上[4]，本試驗通過建立卡登圓行星機構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，利用幾何分析的方法得到機構(gòu)的參數(shù)約束條件，通過復(fù)數(shù)矢量法來進行運動分析，結(jié)合仿真的手段驗證分析結(jié)果，為設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。同時通過將卡登圓行星機構(gòu)與非圓齒輪機構(gòu)相結(jié)合，分析非圓齒輪機構(gòu)中不同參數(shù)對卡登圓行星機構(gòu)輸出結(jié)果的影響。

1 卡登圓行星機構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

1.1 卡登圓行星機構(gòu)的組成

卡登圓行星機構(gòu)的零部件有行星架、行星輪、中心輪、導(dǎo)桿、殼體等[4]。其中導(dǎo)桿2與行星輪1分度圓上的任意一點O采用旋轉(zhuǎn)副連接。圖1是卡登圓行星機構(gòu)的運動簡圖，將該裝置置于平面直角坐標(biāo)系OHxy中。行星架H為動力輸入件，其長度為lH，繞OH點以角速度ωH逆時針方向旋轉(zhuǎn)，H與X軸所夾銳角為θH。行星輪1與中心輪3內(nèi)嚙合，其中心為O1，以角速度ω1順時針方向自轉(zhuǎn)，同時環(huán)繞OH以角速度ωH逆時針方向公轉(zhuǎn)。導(dǎo)桿2與行星輪1分度圓上的點O通過旋轉(zhuǎn)副連接,與X軸所夾銳角為θ2。OO1的長度為l1，與H所夾銳角為θ1。

工作時，以行星架H為原動件，帶動行星輪1做行星運動，中心輪3固定，從而使行星輪1的分度圓上的點O帶動導(dǎo)桿2做往復(fù)直線運動。

圖1 卡登圓行星機構(gòu)的運動簡圖Figure 1 Kinematic diagram of the Carden circle planetary mechanism

1.2 卡登圓行星機構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析

設(shè)某一初始時刻，其連接點O的坐標(biāo)為：

(1)

設(shè)行星輪1的齒數(shù)為Z1,中心輪3的齒數(shù)為Z3，由齒輪嚙合規(guī)律，行星輪1相對于行星架H的自轉(zhuǎn)角速度：

(2)

取逆時針方向為正，經(jīng)過時間t后，角度變化規(guī)律：

θH→θH+ωHt，

(3)

(4)

此時連接點O′的坐標(biāo)為：

(5)

(6)

連接點O始終要做經(jīng)過坐標(biāo)原點OH的往復(fù)直線運動，由幾何關(guān)系：

(7)

將式(5)、(6)帶入式(7)得：

(8)

即：

(9)

式中：

x=θH;

y=θ1+θH;

α=ωHt≠0;

令z=x-y=-θ1，則式(9)可表示為：

(10)

即：

(11)

等式兩邊展開：

(12)

式中：

z,lH,l1——常量；

α,β——變量。

分析左右兩邊，若要保證該機構(gòu)的運動連續(xù)性，則式(12) 應(yīng)滿足以下條件：

分析上述條件得：

z=π+kπ,k∈Z；

(13)

l1=lH。

(14)

即初始安裝角度θ1=-(k+1)π。θH,θ2可根據(jù)安裝需要進行取值。行星架H的中心距離長度lH與行星輪1的分度圓半徑l1等長，因此行星輪1的分度圓直徑是中心輪3的分度圓直徑的1/2。行星輪1與中心輪3采用標(biāo)準(zhǔn)齒輪加工，兩者要保證嚙合完好，因此兩齒輪模數(shù)m1=m3，兩齒輪齒數(shù)之比z1∶z3=1∶2。

1.3 卡登圓行星機構(gòu)的運動分析

機構(gòu)運動過程中導(dǎo)桿2經(jīng)過坐標(biāo)原點OH做往復(fù)直線運動，因此θ2為定值。在ΔOHOO1中，有幾何關(guān)系：

∠OHOO1+∠OOHO1+π-θ1=π，

(15)

θ1=2(θ2-θH)。

(16)

根據(jù)圖1，采用復(fù)數(shù)矢量法[5]作為卡登圓行星機構(gòu)的運動分析法，將行星輪1等效為桿矢量。通過封閉圖形ΔOHOO1建立矢量方程：

(17)

改寫為復(fù)數(shù)形式如下：

lHeiθH+l1ei(θH+θ1)=seiθ2。

(18)

采用歐拉公式將復(fù)數(shù)方程(18)的實部與虛部分離：

lHcosθH+l1cos(θH+θ1)=scosθ2,

(19)

lHsinθh+l1sin(θH+θ1)=ssinθ2。

(20)

平方求和，整理得到：

s2=2l2×(1+cosθ1)。

(21)

其中l(wèi)=l1=lH，利用倍角公式化簡得到導(dǎo)桿的位移表達式：

(22)

將式(21)對時間求導(dǎo)可得導(dǎo)桿的速度表達式為：

Vs=2l×ωHsin(θ2-ωHt)。

(23)

繼續(xù)對時間求導(dǎo)，得導(dǎo)桿的加速度表達式為：

(24)

2 機構(gòu)的運動學(xué)仿真分析

對于如圖1所示的卡登圓行星機構(gòu)，已知l1=lH=20 mm，行星輪1的齒數(shù)Z1=20，中心輪3的齒數(shù)Z3=40。行星架H的轉(zhuǎn)速ωH=0.8π rad/s，θ1的初始值θ10=0°，導(dǎo)桿安裝角度θ2=0°。

根據(jù)以上條件，在SolidWorks中建立卡登圓行星機構(gòu)的仿真模型見圖2。

1. 行星輪 2. 導(dǎo)桿 3. 中心輪 4. 殼體 5. 行星架H圖2 卡登圓行星機構(gòu)的仿真模型Figure 2 Simulation model of the Carden circle planetary mechanism

不考慮齒輪嚙合的碰撞沖擊載荷作用，利用SolidWorks中的motion分析模塊，得到了導(dǎo)桿的線性位移、線性速度、線性加速度隨時間變化的曲線，與理論的曲線分別見圖3、4。

分析圖3、4可知，導(dǎo)桿2理論上以周期T=2πs做正弦(余弦)往復(fù)變速直線運動，其行程為80 mm；與表1模擬分析中得到的結(jié)果與理論計算的結(jié)果非常吻合，驗證了該模型的正確性。

導(dǎo)桿2在與殼體4中的滑槽內(nèi)做往復(fù)直線運動，提取該滑動副的兩個側(cè)接觸面之間的接觸力隨時間的變化關(guān)系曲線，見圖5。

圖3 導(dǎo)桿2的模擬分析結(jié)果Figure 3 Simulation analysis results of the bar 2

圖4 導(dǎo)桿2的理論計算結(jié)果Figure 4 Theoretical calculation results of the bar 2表1 模擬分析與理論計算的結(jié)果對比Table 1 Comparison between simulation analysis and theoretical calculation

項目位移初始值s/m位移最大值s/m位移最小值s/m模擬分析值0.040.04-0.04理論計算值0.040.04-0.04項目速度初始值V/(m·s-1)速度最大值V/(m·s-1)速度最小值V/(m·s-1)模擬分析值-3.39×10-16100.52×10-3-100.52×10-3理論計算值0100.52×10-3-100.52×10-3項目加速度初始值a/(m·s-2)加速度最大值a/(m·s-2)加速度最小值a/(m·s-2)模擬分析值-252.66×10-3252.66×10-3-252.66×10-3理論計算值-252.66×10-3252.66×10-3-252.66×10-3

圖5 滑動副中的接觸力F隨時間t的變化關(guān)系Figure 5 The change of contact force F with time t in the slip pair

分析可知在不考慮重力的情況下，導(dǎo)桿2與殼體4之間的接觸力始終為零；而傳統(tǒng)的曲柄滑塊機構(gòu)中由于搖桿周期性的相對于滑塊的擺動，使滑塊擠壓在滑槽中，滑動副始終存在周期性變化的接觸力，長期摩擦磨損使曲柄滑塊機構(gòu)的精度降低，增加了能耗，縮短了使用時間。因此，卡登圓行星機構(gòu)相對于傳統(tǒng)的曲柄滑塊機構(gòu)在往復(fù)直線運動中更有優(yōu)勢。

3 卡登圓行星機構(gòu)的具體應(yīng)用

3.1 運動要求分析

導(dǎo)桿2的運動特性參數(shù)對卡登圓行星機構(gòu)的應(yīng)用場合有著很大的影響。例如，應(yīng)用在滾筒式平版印刷機的自動送紙裝置、紡織機械、液壓泵、造紙機械中的壓力機有正弦機構(gòu)。工作過程中要求速度的變化越小，則加工質(zhì)量越好，降低速度的波動使桿件的運動盡可能平穩(wěn)[6-8]。而對于牛頭刨床，為了提高工作效率，減小空行程時間，要求輸出機構(gòu)具有急回特性，為了提高刨削的表面粗糙度，延長刀具的使用時間，還要輸出裝置在工作過程中保持速度盡可能的平穩(wěn)[9]。農(nóng)業(yè)機械中的后插式水稻分插機構(gòu)，在取秧過程中要求秧針?biāo)俣嚷?，防止撕扯秧塊傷害秧苗根部，在推秧過程要求秧針迅速完成推秧動作，提高生產(chǎn)效率[10]。而食品機械中通常需要較小的傳動力，較大的行程速比系數(shù)，從而完成物料的定量運送、灌裝及制品的壓制成型動作[11-12]。

通常情況下有以下方式可以改變機構(gòu)的輸出特性來達到合適的運動要求：① 在輸入條件一定的情況下，通過將機構(gòu)各部件的相關(guān)尺寸參數(shù)設(shè)為設(shè)計變量，建立需要的目標(biāo)函數(shù)來進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計；② 在機構(gòu)各部件的尺寸參數(shù)已經(jīng)確定的情況下，通過改變輸入的運動規(guī)律，也可以影響機構(gòu)輸出的運動特性。

3.2 變速輸入時導(dǎo)桿的運動方程與分析

實際工作過程中應(yīng)用卡登圓行星機構(gòu)，需要考慮空間結(jié)構(gòu)布置，會對機構(gòu)各部件的參數(shù)優(yōu)化產(chǎn)生制約作用。因此在結(jié)構(gòu)尺寸一定的情況下，采用疊加非圓齒輪裝置使機構(gòu)的動力輸入不再呈勻速規(guī)律，從而改變機構(gòu)的運動特性來達到工作要求。這種方式具有簡單有效、靈活方便的特點[13]。

采用橢圓齒輪，這是一種常見的非圓齒輪。當(dāng)卡登圓行星機構(gòu)的輸入軸由一對橢圓齒輪來驅(qū)動時，如圖6所示。

圖6 采用橢圓齒輪驅(qū)動的機構(gòu)Figure 6 The Mechanism driven by elliptical gears

橢圓齒輪的傳動比[14-15]：

(25)

式中：

e——非圓齒輪的離心率；

m——橢圓的階數(shù)；

α——輸入端的旋轉(zhuǎn)角度，rad。

(26)

(27)

其中：

(28)

代入式(22)，得導(dǎo)桿的位移表達式：

(29)

對時間t求導(dǎo)，得導(dǎo)桿的速度表達式：

(30)

其中：

(31)

繼續(xù)求導(dǎo)，得導(dǎo)桿的加速度表達式：

(32)

其中：

(33)

(34)

(35)

(1) 保持其它參數(shù)不變，只改變橢圓齒輪的離心率e，如圖7(a)所示，分析可知，離心率e影響了導(dǎo)桿2的速度峰值及出峰時間。e越大，導(dǎo)桿2的速度峰值越大，速度曲線平穩(wěn)區(qū)間所占周期比增加；如圖8(a)所示，離心率e影響了導(dǎo)桿2的加速度極值。e越大，導(dǎo)桿2的加速度極值越大，此時導(dǎo)桿2有急回特性。

(2) 保持其它參數(shù)不變，只改變橢圓的變性階數(shù)m，如圖7(b)所示，在一定的范圍內(nèi)適當(dāng)?shù)販p小變性階數(shù)m，導(dǎo)桿2的運動周期變長，此時低速平穩(wěn)區(qū)間延長，速度最值之間連線的斜率減小；如圖8(b)所示，導(dǎo)桿2的加速度波動次數(shù)增加，因此改變m可以提升機構(gòu)的運動平穩(wěn)性。同時，在設(shè)計橢圓齒輪中可以通過對變性階數(shù)m的微調(diào)來使輪齒均勻地分布在節(jié)曲線上，便于橢圓齒輪的加工。

圖7 導(dǎo)桿2的速度隨時間的變化曲線Figure 7 The curve of the speed of guide bar 2 with time

4 結(jié)論

本試驗通過建立卡登圓行星機構(gòu)數(shù)學(xué)模型的同時借助SolidWorks運動仿真得到機構(gòu)的運動參數(shù)，得出以下結(jié)論：

(1) 通過復(fù)數(shù)矢量法得到了卡登圓行星機構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，運用軟件模擬分析得到機構(gòu)的運動參數(shù)，結(jié)果表明理論分析得到的運動曲線與模擬的結(jié)果吻合，同時，通過接觸力分析表明該機構(gòu)與普通的曲柄滑塊機構(gòu)相比在食品機械中的往復(fù)直線運動的應(yīng)用更有優(yōu)勢。

(2) 通過合理組合橢圓齒輪中橢圓的離心率、變性階數(shù)以及行星架的初始角度，可以有效調(diào)整機構(gòu)的運動特性，采用橢圓齒輪的卡登圓行星機構(gòu)能實現(xiàn)導(dǎo)桿的等速運動，并且具有急回特性，提高了機構(gòu)在工程中的適應(yīng)性。

(3) 在滿足機構(gòu)輸出特性要求的前提下，通過橢圓齒輪參數(shù)的動態(tài)設(shè)計，可以全面了解基于非圓齒輪的卡登圓行星機構(gòu)的運動狀態(tài)，從而提高機構(gòu)的設(shè)計效率，得到期望的機構(gòu)輸出特性。

圖8 導(dǎo)桿2的加速度隨時間的變化曲線Figure 8 The curve of the acceleration of guide bar 2 with time

(4) 實際應(yīng)用該機構(gòu)時，需要考慮提高行星輪和中心輪的加工精度，對齒輪副采用標(biāo)準(zhǔn)側(cè)隙進行安裝，同時定期進行潤滑，從而使機構(gòu)實現(xiàn)精確的運動。

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