半立方拋物線形斷面收縮水深簡(jiǎn)化計(jì)算

沈 剛 ，彭 凱 ，王 潔 ，沈 洲 ，孫少江

（1．溧陽(yáng)市水利局，江蘇 溧陽(yáng) 213300；2．揚(yáng)州大學(xué) 水利與能源動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225009；3．廣東省水文局江門水文分局，廣東 江門 529030）

明渠特征水深計(jì)算在水利工程設(shè)計(jì)中，由于拋物線類斷面明渠的水力學(xué)特性較優(yōu)，且斷面穩(wěn)定性好，在渠道工程中得到較為廣泛的運(yùn)用［1-2］。趙延風(fēng)［3］和滕凱［4］等分別提出了一套可適用于各類拋物線形斷面收縮水深的計(jì)算公式，趙延風(fēng)的公式形式復(fù)雜，且需要通過(guò)迭代法提高計(jì)算精度，而滕凱的公式須查表確定參數(shù)，兩者的計(jì)算過(guò)程均不夠簡(jiǎn)便；代述兵等［5］提出的初值公式精度較低，運(yùn)用迭代計(jì)算可提高精度，但增加了計(jì)算的復(fù)雜程度；陳誠(chéng)等［6］將牛頓迭代法算法引入立方拋物線形斷面收縮水深的計(jì)算，迭代計(jì)算收斂速度快但公式形式略顯復(fù)雜不便于記憶；陳誠(chéng)等［7-8］首次提出高次方程求解的迭代逼近—逐次優(yōu)化擬合方法，并先后將其應(yīng)用于立方和半立方拋物線形斷面收縮水深的計(jì)算，其計(jì)算精度較高但公式略顯復(fù)雜，本文借鑒該方法擬建立一套精度高且形式簡(jiǎn)捷的直接計(jì)算公式，便于工程設(shè)計(jì)人員直接應(yīng)用。

1 無(wú)量綱收縮水深基本方程

半立方拋物線形斷面曲線方程：

式中 a為半立方拋物線形斷面的形狀參數(shù)（m-1/2）。

收縮水深的基本方程為

式中 E0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的過(guò)水建筑物上游總水頭（m）；hc為收縮斷面處的水深（m）；Q為過(guò)水流量（m3/s）；g為重力加速度，通常取9.81（m/s2）；φ為流速系數(shù)，一般取0.80～1.00；Ac為收縮斷面處的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e（m2）。

引入無(wú)量綱收縮水深x和無(wú)量綱參數(shù)k，即：

由式（1）～（4）可得半立方拋物線形斷面無(wú)量綱收縮水深x的基本方程：

式（5）為x的高次方程，實(shí)際工程中可通過(guò)已知參數(shù)根據(jù)式（4）求得k值，但無(wú)法由式（5）直接解得x。

2 無(wú)量綱收縮水深簡(jiǎn)化計(jì)算公式

對(duì)式（5）進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換，得到迭代公式：

設(shè)迭代初值為x0，兼顧公式的精確性和簡(jiǎn)捷性，將其帶入式（6）連續(xù)迭代3次，得：

式中x∈［0.01，0.50］［3-4］，經(jīng)過(guò)反復(fù)試算與分析比較，發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)踔祒0取0.25時(shí)，得：

此時(shí)計(jì)算公式精度較高，且形式較為簡(jiǎn)捷。

3 誤差分析與精度評(píng)價(jià)

3.1 誤差分析

為驗(yàn)證式（8）的精確性，在［0.01，0.50］區(qū)間內(nèi)以一定步長(zhǎng)選取不同的x*，以此作為無(wú)量綱收縮水深的精確值，將其代入式（5）得k值，并將k作為已知參數(shù)代入式（8），可求得無(wú)量綱收縮水深的近似值x，及相對(duì)誤差，可知hc與x的相對(duì)誤差相同，計(jì)算結(jié)果如表1。

表1 新建公式相對(duì)誤差

計(jì)算結(jié)果表明，在工程適用范圍內(nèi)，式（8）的相對(duì)誤差呈先上升后下降的趨勢(shì)，其最大相對(duì)誤差絕對(duì)值僅為0.296%。 當(dāng)x∈［0.01，0.4661］時(shí)，相對(duì)誤差為正值，最大誤差值為0.296%；當(dāng)x∈（0.4661，0.50］時(shí)，相對(duì)誤差為負(fù)值，最大誤差值為-0.244%。

3.2 精度評(píng)價(jià)

表2為在x∈［0.01，0.50］工程適用范圍內(nèi)，由近年來(lái)提出的各種半立方拋物線形斷面收縮水深直接計(jì)算方法求得的最大相對(duì)誤差及評(píng)價(jià)。各式中n為斷面方程冪函數(shù)的指數(shù)，對(duì)于半立方拋物線形斷面n=3/2；B，γ分別為與n有關(guān)的系數(shù)。結(jié)果顯示，當(dāng)x∈［0.01，0.50］時(shí)，現(xiàn)有各類迭代初值計(jì)算公式最大相對(duì)誤差絕對(duì)值從0.583%至5.439%不等，均須通過(guò)迭代計(jì)算提高精度，且公式形式較為復(fù)雜；而本文公式的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值僅0.296%，且形式簡(jiǎn)捷。所提出的直接計(jì)算公式不需要借助于迭代過(guò)程提高計(jì)算精度，通過(guò)較小計(jì)算量即可較精確地計(jì)算出半立方拋物線形斷面的收縮水深，在工程實(shí)際計(jì)算中具有較為顯著的優(yōu)越性，可供工程設(shè)計(jì)人員參考使用。

4 應(yīng)用舉例

已知某閘前斷面總水頭E0=5m，通過(guò)渠道的流量Q=32m3，流速系數(shù)φ=0.95。若采用半立方拋物線形斷面渠道，其斷面曲線的方程為y=0.2|x|3/2，求閘后斷面收縮水深hc的值（保留至10-3m）。

表2 現(xiàn)有計(jì)算公式的相對(duì)誤差

4.1 參數(shù)k

將已知參數(shù)代入式（4），得k=5.0946。

4.2 收縮水深近似值x

將k值代入式（8）得，x=0.2112。

4.3 收縮水深hc

將x值代入式（3），計(jì)算收縮水深hc=1.056m。

通過(guò)試算法或計(jì)算機(jī)編程求得本算例收縮水深的精確值1.054m，故由本文公式算得收縮水深值的相對(duì)誤差僅0.190%，精度完全滿足工程實(shí)際應(yīng)用要求。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）借鑒高次方程近似求解的迭代逼近—逐次優(yōu)化擬合方法，建立了一套新的半立方拋物線形斷面收縮水深直接計(jì)算公式，形式簡(jiǎn)捷便于記憶。

（2）誤差分析結(jié)果表明，在工程適用范圍內(nèi)該公式的相對(duì)誤差介于-0.244%～0.296%之間，精度較高能夠滿足工程實(shí)際應(yīng)用的需要。

參考文獻(xiàn)：

［1］張偉，何武全．基于粒子群算法的拋物線形渠道斷面優(yōu)化方法［J］．灌溉排水學(xué)報(bào)，2017，36（4）：94-98．

［2］韓延成，徐征和，高學(xué)平，等．二分之五次方拋物線形明渠設(shè)計(jì)及提高水力特性效果［J］．農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2017，33（4）：131-136．

［3］趙延風(fēng)，王正中，劉計(jì)良．拋物線類渠道斷面收縮水深的計(jì)算通式［J］．水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2013，32（1）：126-131．

［4］滕凱．拋物線形斷面渠道收縮水深簡(jiǎn)化計(jì)算通式［J］．水利水電科技進(jìn)展，2014，34（3）：61-64．

［5］代述兵，劉韓生，卞曉衛(wèi)，等．三種拋物線形斷面收縮水深的直接計(jì)算公式［J］．長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2015，32（9）：90-93．

［6］陳誠(chéng)，金城，趙程程，等．立方拋物線形斷面收縮水深的牛頓迭代公式［J］．水科學(xué)與工程技術(shù)，2017（4）：1-2．

［7］陳誠(chéng)，龔懿，王潔，等．立方拋物線形斷面收縮水深的直接計(jì)算研究［J］．中國(guó)農(nóng)村水利水電，2017（2）：173-175，181．

［8］陳誠(chéng)，龔懿，沈剛，等．迭代逼近逐次優(yōu)化擬合方法在水力計(jì)算中的應(yīng)用研究［J］．水利水電技術(shù)，2017，48（6）：75-79．