路網(wǎng)宏觀基本圖中磁滯現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理

王鵬飛，岳 昊，關(guān)宏志

(1.河北科技師范學(xué)院城市建設(shè)學(xué)院，河北秦皇島066004；2.北京工業(yè)大學(xué)交通工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124；3.北京交通大學(xué)城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

0 引言

為了實(shí)時(shí)把握路網(wǎng)中車輛的運(yùn)行狀態(tài)，進(jìn)而對(duì)交通流進(jìn)行誘導(dǎo)與控制，交通工程師在道路網(wǎng)中布設(shè)了各式各樣的檢測器(例如線圈檢測器、浮動(dòng)車等)。但管理者想通過各路段上零散的交通信息把握路網(wǎng)整體的車輛運(yùn)行狀態(tài)依舊十分困難，這是非線性的交通流現(xiàn)象與出行者路徑選擇行為相互作用的結(jié)果[1]。

對(duì)此，文獻(xiàn)[2]提出可以表征路網(wǎng)車輛數(shù)與路網(wǎng)總流量之間函數(shù)關(guān)系的路網(wǎng)宏觀基本圖(Macroscopic Fundamental Diagram,MFD)的概念。文獻(xiàn)[3]通過對(duì)日本橫濱商業(yè)中心的檢測器數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，驗(yàn)證了MFD在真實(shí)城市道路網(wǎng)中的存在。近年來，針對(duì)法國圖盧茲[4]、美國明尼蘇達(dá)州[5]、波特蘭[6]、芝加哥與爾灣[7]高速公路網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn)，MFD會(huì)產(chǎn)生磁滯現(xiàn)象。同時(shí)，以中國北京[8-10]、上海[11-12]和日本仙臺(tái)[13]、京都[14]的城市道路網(wǎng)為研究對(duì)象，也發(fā)現(xiàn)MFD會(huì)產(chǎn)生磁滯現(xiàn)象。其中，文獻(xiàn)[13-14]使用1年的交通檢測器數(shù)據(jù)驗(yàn)證了MFD中磁滯現(xiàn)象在一定條件下出現(xiàn)的穩(wěn)定性。

針對(duì)MFD中磁滯現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理，在理論研究方面，文獻(xiàn)[15-16]通過仿真實(shí)驗(yàn)，揭示了交通密度在時(shí)空上的不均勻分布是MFD出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象的關(guān)鍵原因；文獻(xiàn)[17]以2環(huán)模型從理論上給出了MFD中磁滯現(xiàn)象的產(chǎn)生條件。在實(shí)證研究方面，文獻(xiàn)[5]使用檢測器數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)在出行高峰時(shí)段過后的一段時(shí)間內(nèi)，路網(wǎng)中會(huì)出現(xiàn)車輛在空間上分布不均衡的現(xiàn)象；文獻(xiàn)[8-9]認(rèn)為高峰時(shí)段前后不同的車道變換率是產(chǎn)生磁滯現(xiàn)象的重要原因；文獻(xiàn)[12]發(fā)現(xiàn)各個(gè)檢測器檢測到的交通狀態(tài)并非同步，認(rèn)為這是MFD磁滯現(xiàn)象產(chǎn)生的重要原因；此外，文獻(xiàn)[14,18]以1年的檢測器數(shù)據(jù)驗(yàn)證了文獻(xiàn)[15-16]結(jié)論的正確性，即在同一平均交通密度下的交通密度標(biāo)準(zhǔn)差與平均流量之間呈現(xiàn)線性負(fù)相關(guān)。

但至今為止，鮮有研究從路網(wǎng)中高峰時(shí)段前后交通流狀態(tài)演變的角度去揭示磁滯現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理并對(duì)其存在的普遍性進(jìn)行說明，而這是將MFD應(yīng)用于實(shí)際交通管控中的重要環(huán)節(jié)。現(xiàn)階段，基于MFD的路網(wǎng)流入流出量控制策略(國內(nèi)外代表研究見文獻(xiàn)[19-20])全部以區(qū)域內(nèi)存在明確路網(wǎng)宏觀基本圖(well-defined MFD)為前提，而這與大量的現(xiàn)實(shí)觀測情況并不相符。

鑒于此，本文以存在單一交通瓶頸的、由若干同質(zhì)路段串聯(lián)而成的交通網(wǎng)為對(duì)象，利用車流波動(dòng)理論從交通流狀態(tài)演化的角度，對(duì)MFD中磁滯現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理及其存在的普遍性進(jìn)行分析，并以日本京都市的實(shí)際觀測數(shù)據(jù)來驗(yàn)證理論分析得到結(jié)論的可靠性。

圖1 交通網(wǎng)Fig.1 Roadway network

圖2 交通需求時(shí)變圖Fig.2 Time-vary diagram of transportation demand

圖3 每個(gè)路段的交通基本圖Fig.3 Fundamental diagram for different roadway segment

1 模型建立

1.1 路網(wǎng)結(jié)構(gòu)與交通需求的設(shè)定

所有車輛從O點(diǎn)(居住地)出發(fā)向D點(diǎn)(商業(yè)中心)移動(dòng)，且在此過程中存在通行能力為μ的交通瓶頸(瓶頸可視為真實(shí)路網(wǎng)中的平面交叉口或通行能力較低的路段)，從O到瓶頸的部分稱為路段1，而從瓶頸到D的路段為路段2(見圖1)。上游的交通需求在T2時(shí)刻由qA(qA＜μ)增加至(qB(qB＞μ))，而后在T5時(shí)下降至qA(見圖2)，此設(shè)定反映了(早晚)高峰時(shí)段前后的交通需求時(shí)變特性。路段1表示路網(wǎng)中在瓶頸上游受到擁堵流影響的路段，路段2代表在瓶頸下游未受到擁堵流影響的路段。此外，各路段的交通基本圖如圖3所示。

1.2 路網(wǎng)交通狀態(tài)的演變過程

在上述設(shè)定的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)與交通需求的條件下，路網(wǎng)中交通狀態(tài)的演化過程可由時(shí)空?qǐng)D(見圖4)表示。其中，各交通流狀態(tài)(A,B,C,D)的交通量與交通密度可由下列公式計(jì)算得出：qA=kAv，qB=kBv，qD=μ=kDv，qC=μ。另外，沖擊波ωBC與ωCA的波速為

式中：qA，qB，qC為交通流狀態(tài)A，B，C的交通量；kA，kB，kC為交通流狀態(tài)A，B，C的交通密度。

由此可知，每一時(shí)段內(nèi)路網(wǎng)中存在的交通流狀態(tài)不盡相同，并且每一種狀態(tài)所覆蓋的路段數(shù)量與長度也不同。

2 MFD中磁滯現(xiàn)象產(chǎn)生機(jī)理

2.1 MFD的定義

MFD表征路網(wǎng)總流量P(t)與路網(wǎng)車輛數(shù)N(t)之間的函數(shù)關(guān)系，即

式中：li為第i條路段的長度/km；qi(t)為第i個(gè)檢測器在時(shí)段t內(nèi)檢測到的交通量/(輛·5 min-1)；ki(t)為第i個(gè)檢測器在時(shí)段t內(nèi)檢測到的平均交通密度/(輛·km-1)。

根據(jù)上述定義，要求解每一時(shí)段的MFD，必須首先計(jì)算每種交通流狀態(tài)在路網(wǎng)中所占有的路段總長度l(t)。例如，在時(shí)段⑤，路網(wǎng)中存在三種交通流狀態(tài)：B，C與D(見圖4)，它們的分布如圖5所示，因此，路網(wǎng)總流量與路網(wǎng)車輛數(shù)分別為

式中：交通量qC=qD=μ。

2.2 各時(shí)段的MFD及其變化趨勢

根據(jù)上述MFD的定義(公式(3)，(4))計(jì)算得出的每一時(shí)段的路網(wǎng)總流量與路網(wǎng)車輛數(shù)，并通過對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行判別，得出每一時(shí)段的路網(wǎng)總流量與路網(wǎng)車輛數(shù)的變化趨勢(見表1和表2)。其中，時(shí)段④的路網(wǎng)總流量與時(shí)段⑥的路網(wǎng)車輛數(shù)的變化趨勢因無法從符號(hào)判定，所以需要分情況討論，結(jié)果如表3與表4所示。

圖4 時(shí)空?qǐng)DFig.4 Time-space diagram

圖5 時(shí)段⑤交通流狀態(tài)的空間分布Fig.5 Spatial distribution of traffic flow state in roadway network during time period⑤

表1 路網(wǎng)總流量及其變化趨勢Tab.1 Total traffic flow and its variation trend

表2 路網(wǎng)車輛數(shù)及其變化趨勢Tab.2 Total number of vehicles and its variation trend

將表1～表4中的計(jì)算結(jié)果反映在MFD(見圖6)上則可明顯的發(fā)現(xiàn)，在此模型的設(shè)定(存在交通瓶頸，并且高峰時(shí)段的交通量超過瓶頸容量)下MFD一定會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其中，時(shí)段④與時(shí)段⑥的變化趨勢雖具有不確定性(圖6中的紅線)，但這些不確定性并不影響磁滯現(xiàn)象的出現(xiàn)。

2.3 磁滯現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理

首先，需要對(duì)磁滯環(huán)形成過程(時(shí)段④與⑤，上環(huán)用U表示)與消除過程(時(shí)段⑦與⑧，下環(huán)用L表示)中的路網(wǎng)總流量及路網(wǎng)車輛數(shù)的取值范圍，路網(wǎng)中存在的交通流狀態(tài)進(jìn)行比較分析。

表3 時(shí)段④路網(wǎng)總流量的變化趨勢Tab.3 Variation trend of total traffic flow during time period④

表4 時(shí)段⑥路網(wǎng)車輛數(shù)的變化趨勢Tab.4 Variation trend of number of vehicles during time period⑥

圖6 路網(wǎng)宏觀基本圖的形狀特征分析Fig.6 Characteristics of macroscopic fundamental diagram of roadway network

表5 磁滯環(huán)形成與消除過程中交通流狀態(tài)的演變Tab.5 Evolution of traffic flow state in loading and recovery process in the hysteresis loop

雖然兩個(gè)過程中的路網(wǎng)車輛數(shù)的取值范圍有所重合，但上環(huán)的路網(wǎng)總流量卻總是大于等于下環(huán)，即PU(t)≥PL(t)。

對(duì)比公式(7)與公式(9)即可發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生此結(jié)果的關(guān)鍵原因是因?yàn)榇艓Лh(huán)在消除過程中缺少低密度、高流量的交通流狀態(tài)B。從磁滯環(huán)形成與消除過程中的交通流狀態(tài)演變過程(見表5)分析，在時(shí)段④⑤時(shí)，交通流狀態(tài)B逐漸被向上游蔓延的交通流狀態(tài)C(擁堵流)所代替。而當(dāng)路網(wǎng)的交通需求開始下降后(時(shí)段⑥以后)，交通流狀態(tài)A(低流量、低密度)逐漸開始取代狀態(tài)B與狀態(tài)C。因此，狀態(tài)B的缺失是出行高峰時(shí)段的擁堵傳播(擁堵溢出點(diǎn)增加)與出行高峰過后的出行者需求降低這兩個(gè)原因接連作用的結(jié)果，非人為強(qiáng)制干預(yù)(即恢復(fù)、增加路網(wǎng)容量的交通管制措施，例如交通事故處理完畢或公交專用車道恢復(fù)為普通行車道等交通管制措施[21])不可避免，這也就是為什么在很多城市路網(wǎng)的MFD中都可觀測到磁滯現(xiàn)象(見引言部分)的重要原因。

進(jìn)一步對(duì)比磁滯環(huán)的形成過程與消除過程中存在的交通流狀態(tài)即可發(fā)現(xiàn)：在消除過程中，低密度、低流量的交通流狀態(tài)A與擁堵流狀態(tài)C同時(shí)存在，即路網(wǎng)中交通密度在空間上的分布(相較形成過程)是不均勻的。此結(jié)論與文獻(xiàn)[5,14]中出行高峰前后交通密度在空間上的分布觀測結(jié)果相一致，從理論上闡述了此現(xiàn)象出現(xiàn)的機(jī)理。

此外，在同一路網(wǎng)車輛數(shù)的條件(公式(11))下，進(jìn)一步定量分析磁滯環(huán)在形成與消除過程中的路網(wǎng)交通流狀態(tài)，即可得到lC,U(t)＜lC,L(t)的結(jié)論。即在同一路網(wǎng)車輛數(shù)的條件下，在磁滯環(huán)消除過程中，擁堵狀態(tài)C所占據(jù)的路段總數(shù)量更多、總長度更長。而在真實(shí)路網(wǎng)中，這意味著在比較相同路網(wǎng)車輛數(shù)條件下的擁堵模式時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在磁滯環(huán)的消除過程中存在更多的擁堵路段與擁堵溢出點(diǎn)。此結(jié)論與文獻(xiàn)[14-15]中仿真實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果相符。

3 實(shí)例分析

大城市路網(wǎng)中MFD某種特征的產(chǎn)生機(jī)理受到交通數(shù)據(jù)采集方式、檢測器的數(shù)量與位置以及眾多因素的影響。本文以日本京都市為例，以實(shí)際的檢測器數(shù)據(jù)對(duì)上述理論分析的可靠性進(jìn)行驗(yàn)證，并非以研究京都市路網(wǎng)中MFD磁滯現(xiàn)象的真正產(chǎn)生機(jī)理為目的。

3.1 京都市道路網(wǎng)中的路網(wǎng)宏觀基本圖

京都市是日本的古都也是著名的旅游勝地，截至2013年10月人口約147萬。路網(wǎng)中的單向路段由1～3條車道組成，道路交叉口間距為100～500 m。在城市路網(wǎng)中分布著約800個(gè)檢測器，記錄各路段每5 min的斷面交通量與車速[14]。在剔除錯(cuò)誤數(shù)據(jù)后，利用公式q=kv即可得到交通密度，再依照公式(3)，(4)計(jì)算每5 min的路網(wǎng)總流量與路網(wǎng)車輛數(shù)即得到路網(wǎng)宏觀基本圖。研究發(fā)現(xiàn)在每年①11月(紅葉觀光季節(jié))的周末，京都市的MFD(見圖7)都會(huì)呈現(xiàn)如下兩個(gè)特點(diǎn)：1)具有一個(gè)巨大的磁滯環(huán)；2)在磁滯環(huán)形成的過程中(13:00—17:15)會(huì)出現(xiàn)罕見②的水平推移現(xiàn)象(即磁滯環(huán)在形成過程中路網(wǎng)車輛數(shù)持續(xù)增加、但路網(wǎng)總流量保持不變的現(xiàn)象)。

3.2 磁滯現(xiàn)象分析

在對(duì)磁滯現(xiàn)象進(jìn)行分析前，首先需要對(duì)路網(wǎng)中的擁堵溢出數(shù)St進(jìn)行定義。

式中：K為路網(wǎng)中交叉口的集合；IN(k)，OUT(k)為交叉口k的上游流入與下游流出路段的集合；為交叉口k上游與下游路段的車速；為交叉口k處擁堵溢出點(diǎn)的個(gè)數(shù)。根據(jù)此定義，在時(shí)段t，某一交叉口處上游與下游路段同時(shí)陷入擁堵狀態(tài)時(shí)，則計(jì)算為1個(gè)擁堵溢出點(diǎn)。本文將時(shí)段t的平均車速小于等于20 km·h-1的路段定義為擁堵路段。

依據(jù)公式(12)，(13)對(duì)全天每5 min整個(gè)路網(wǎng)中擁堵溢出點(diǎn)的數(shù)量進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)在同一路網(wǎng)車輛數(shù)的條件(Nt≈8 250，t=13:00與t=18:55，見圖7)下，擁堵溢出點(diǎn)數(shù)量在磁滯環(huán)形成過程中為15，而在消除過程中為29(見圖8)。此實(shí)證結(jié)果驗(yàn)證了2.3節(jié)理論分析得到的結(jié)論：在同一路網(wǎng)車輛數(shù)中，相較形成過程，磁滯環(huán)在消除過程中會(huì)擁有更多的擁堵溢出點(diǎn)。

3.3 水平推移現(xiàn)象分析

對(duì)于京都市MFD中產(chǎn)生的水平推移現(xiàn)象，文獻(xiàn)[14]并未從理論角度闡述其產(chǎn)生機(jī)理及意義。根據(jù)2.2節(jié)的理論分析，只要滿足 表 3 中 (μ-qA)v+(μ-qB)ωBC=0 這 一條件，即交通流狀態(tài)D代替狀態(tài)A導(dǎo)致的路網(wǎng)總流量的增加量與狀態(tài)C代替狀態(tài)B導(dǎo)致的路網(wǎng)總流量的減少量時(shí)刻等同，則會(huì)出現(xiàn)水平推移現(xiàn)象。

圖7 京都市紅葉觀賞季周末的MFDFig.7 Macroscopic fundamental diagram in Kyoto roadway networks on weekends during the autumn maple viewing

圖8 擁堵溢出點(diǎn)數(shù)量的推移Fig.8 Time-vary of the number of congestion spillover spots

在真實(shí)路網(wǎng)中，狀態(tài)A轉(zhuǎn)化為狀態(tài)D，意味著路網(wǎng)中不斷增加的車輛選擇了非擁堵路段(即擁堵可以回避，圖1中路段2上的車輛)，從而使得非擁堵路段的路網(wǎng)總流量(圖9a中的藍(lán)線)上升，接近其交通容量。相反，狀態(tài)C代替狀態(tài)B意味著車輛選擇了擁堵路段(即擁堵無法回避，圖1中路段1上的車輛)，使得擁堵路段的路網(wǎng)總流量(圖9a中的紅線)下降，低于交通容量。但無論怎樣，路網(wǎng)中車輛總數(shù)的增加總會(huì)使得擁堵路段與非擁堵路段的車輛數(shù)上升(見圖9b)，若兩種選擇使得路網(wǎng)總流量保持基本不變就會(huì)出現(xiàn)水平推移現(xiàn)象。此條件意味著路網(wǎng)中存在非擁堵路段可供不斷增加的車輛選擇，而這即是京都市MFD中出現(xiàn)水平推移現(xiàn)象的直接原因。上述分析是否符合實(shí)際路網(wǎng)中出行者的路徑選擇行為還有待考證。

4 結(jié)語

本文利用車流波動(dòng)理論，從交通流狀態(tài)演化的角度闡述了MFD中磁滯現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理并得出以下結(jié)論：1)低密度、高流量的交通流狀態(tài)B經(jīng)過擁堵流狀態(tài)C后逐漸被低密度、低流量的交通狀態(tài)A所代替，是磁滯現(xiàn)象產(chǎn)生的重要原因；2)在相同路網(wǎng)車輛數(shù)的前提下，磁滯環(huán)的消除過程將會(huì)產(chǎn)生更多的擁堵路段及擁堵溢出點(diǎn)；3)路網(wǎng)中尚存在非擁堵路段可供逐漸增加的車輛選擇是MFD中水平推移現(xiàn)象產(chǎn)生的必要條件。以日本京都市的實(shí)際觀測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了上述部分理論分析的可靠性。

未來，可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行拓展研究：1)追加考慮道路網(wǎng)布局、OD的空間分布特性；2)追加考慮絕對(duì)理性或有限理性視野下的出行者路徑選擇行為[22]；3)探討網(wǎng)絡(luò)交通流逐日動(dòng)態(tài)演化[23]與MFD特性再現(xiàn)的關(guān)系等。此外，本文以存在單一交通瓶頸、屬性相同的路段組成的串聯(lián)路網(wǎng)為對(duì)象得到MFD中磁滯現(xiàn)象產(chǎn)生的機(jī)理及特性，在應(yīng)用于較大范圍路網(wǎng)時(shí)還有待進(jìn)一步的嚴(yán)謹(jǐn)證明。

圖9 路網(wǎng)總流量與路網(wǎng)車輛數(shù)的平均值推移Fig.9 Time-vary of the average total traffic flow and number of vehicles

注釋：

Notes:

①在此僅展示具有代表性的2012年11月25日(周日，晴天)的路網(wǎng)宏觀基本圖。

②在至今為止關(guān)于MFD的實(shí)證或仿真研究中，尚未發(fā)現(xiàn)類似現(xiàn)象。

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