易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型

張金隆吳 翔徐浩軒

(1.華中科技大學(xué)管理學(xué)院,湖北武漢430074;2.華中科技大學(xué)現(xiàn)代管理信息研究中心,湖北武漢430074;3.武漢工商學(xué)院現(xiàn)代物流與商務(wù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心,湖北武漢430065)

1 引 言

企業(yè)通常采購(gòu)并存儲(chǔ)產(chǎn)品以滿(mǎn)足未來(lái)需求.然而在存儲(chǔ)過(guò)程中很多產(chǎn)品因?yàn)樽冑|(zhì)腐爛或揮發(fā)等因素產(chǎn)生數(shù)量損耗,例如蔬菜、水果、牛奶、藥品、汽油及血液等產(chǎn)品.在中國(guó)或其它發(fā)展中國(guó)家,果蔬類(lèi)產(chǎn)品變質(zhì)比例常常達(dá)到15%以上[1,2].產(chǎn)品變質(zhì)問(wèn)題往往導(dǎo)致企業(yè)庫(kù)存成本大幅上升.因此,企業(yè)需要將產(chǎn)品變質(zhì)作為庫(kù)存管理的重要考慮因素.Ghare等[3]首先研究了易變質(zhì)產(chǎn)品庫(kù)存決策問(wèn)題.Goyal等[4]和Bakker等[5]從需求類(lèi)型和產(chǎn)品變質(zhì)建模兩個(gè)層面對(duì)易變質(zhì)產(chǎn)品運(yùn)作管理方面的研究進(jìn)行了綜述.易變質(zhì)特性使庫(kù)存決策進(jìn)一步復(fù)雜化,因此供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)或者跨部門(mén)協(xié)作變得十分必要.當(dāng)產(chǎn)品供給有限或者產(chǎn)品需求依賴(lài)于供給時(shí),供應(yīng)商和零售商需要進(jìn)行協(xié)調(diào).例如,王圣東等[6]和曹宗宏等[7]分別在生產(chǎn)率有限和缺貨量影響需求的情形下討論了供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問(wèn)題.當(dāng)產(chǎn)品需求依賴(lài)于價(jià)格決策時(shí),企業(yè)則需要同時(shí)考慮定價(jià)與補(bǔ)貨決策.文獻(xiàn)[8-14]研究了多產(chǎn)品,非立即變質(zhì),隨機(jī)需求,時(shí)變需求,延時(shí)付款等諸多情境下的定價(jià)與庫(kù)存聯(lián)合決策問(wèn)題.在通常情形下,產(chǎn)品需求均依賴(lài)于產(chǎn)品價(jià)格.價(jià)格與補(bǔ)貨決策若未能充分協(xié)調(diào),易變質(zhì)產(chǎn)品容易積壓,變質(zhì)從而造成較大的成本損失.因此,易變質(zhì)產(chǎn)品定價(jià)與庫(kù)存聯(lián)合決策問(wèn)題是企業(yè)運(yùn)作實(shí)踐中廣泛存在的難題.

現(xiàn)有文獻(xiàn)研究易變質(zhì)產(chǎn)品庫(kù)存決策時(shí)幾乎都以成熟產(chǎn)品為研究對(duì)象[4,5],而極少考慮新產(chǎn)品.技術(shù)發(fā)展加速了產(chǎn)品開(kāi)發(fā)和更新?lián)Q代速度,從而極大地縮小了產(chǎn)品生命周期.隨著區(qū)域間貿(mào)易的加深,許多產(chǎn)品不斷進(jìn)入新的市場(chǎng).例如醫(yī)藥行業(yè)開(kāi)發(fā)并推出新藥品的速度顯著加快,近年來(lái)生鮮電子商務(wù)的興起也使得進(jìn)口食品和地方特色食品迅速進(jìn)入新的市場(chǎng).因此新產(chǎn)品情境下的易變質(zhì)產(chǎn)品運(yùn)作管理問(wèn)題,具有顯著的現(xiàn)實(shí)意義并有待更深入的研究.在易變質(zhì)新產(chǎn)品情境下,產(chǎn)品需求呈動(dòng)態(tài)性且依賴(lài)于價(jià)格決策.首先,易變質(zhì)新產(chǎn)品通過(guò)大眾媒體和口碑兩個(gè)渠道傳播,采納者的數(shù)量隨著產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程逐漸增加[15].產(chǎn)品演化過(guò)程導(dǎo)致了需求的動(dòng)態(tài)性,因而企業(yè)適合采取動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨策略進(jìn)行庫(kù)存控制.此外,新產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程依賴(lài)于產(chǎn)品價(jià)格[16]的特征使得定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策十分必要.因此,本文從產(chǎn)品擴(kuò)散視角考慮易變質(zhì)產(chǎn)品的定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策問(wèn)題.

易變質(zhì)新產(chǎn)品例如藥品和生鮮蔬果等,大多具有重復(fù)購(gòu)買(mǎi)特征.易變質(zhì)新產(chǎn)品的需求由兩個(gè)部分組成：嘗試性購(gòu)買(mǎi),以及重復(fù)性購(gòu)買(mǎi)[17].在不同情境下,企業(yè)的關(guān)注程度可能有所偏重.例如,企業(yè)在新產(chǎn)品導(dǎo)入和成長(zhǎng)期可能更加關(guān)注嘗試性購(gòu)買(mǎi),以借由口碑效應(yīng)擴(kuò)大新產(chǎn)品的知名度.因此,大多數(shù)Bass模型[15,16]考慮耐用品且主要關(guān)注產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程,而并沒(méi)有納入重復(fù)購(gòu)買(mǎi)特征.相反,企業(yè)在市場(chǎng)成熟期則可能更加關(guān)注源自忠誠(chéng)顧客的重復(fù)性購(gòu)買(mǎi)[17].企業(yè)價(jià)格決策也影響易變質(zhì)新產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程,從而同時(shí)影響嘗試性購(gòu)買(mǎi)和重復(fù)性購(gòu)買(mǎi).因此,本文同時(shí)考慮嘗試性購(gòu)買(mǎi)和重復(fù)性購(gòu)買(mǎi)這兩個(gè)部分,并在產(chǎn)品擴(kuò)散模型中引入價(jià)格決策和重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率來(lái)進(jìn)行需求建模[17,18].

本文使用包含價(jià)格效應(yīng)的Bass模型來(lái)刻畫(huà)新采納者數(shù)量的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程,并引入重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率構(gòu)建易變質(zhì)新產(chǎn)品的需求函數(shù).每期需求由新采納者的嘗試性購(gòu)買(mǎi)以及累積采納者的重復(fù)性購(gòu)買(mǎi)構(gòu)成.易變質(zhì)產(chǎn)品在訂購(gòu)時(shí)通常質(zhì)量良好,但其變質(zhì)速率隨著存儲(chǔ)時(shí)間的增加而增大.故本文假定變質(zhì)速率是存儲(chǔ)時(shí)間的函數(shù)[19],而非庫(kù)存量的函數(shù)或簡(jiǎn)單的時(shí)變函數(shù)[5].結(jié)合需求函數(shù)與變質(zhì)速率,建立了易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型.最后進(jìn)行了算法設(shè)計(jì)和算例分析,并討論了企業(yè)應(yīng)該如何根據(jù)產(chǎn)品擴(kuò)散、重復(fù)購(gòu)買(mǎi)以及產(chǎn)品變質(zhì)特征調(diào)整定價(jià)與補(bǔ)貨決策.結(jié)果顯示,定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策是必要的.最優(yōu)價(jià)格與產(chǎn)品擴(kuò)散速度及重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率呈先減小后增大的U型關(guān)系,隨著消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿的增加而增大,并隨著產(chǎn)品易變質(zhì)程度的增加而減小.

2 易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型

2.1 問(wèn)題描述與模型假設(shè)

企業(yè)在計(jì)劃周期T內(nèi)銷(xiāo)售新產(chǎn)品,或者將現(xiàn)有產(chǎn)品推廣到新市場(chǎng).第t(1≤t≤T)期產(chǎn)品需求dt取決于新產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程,且受價(jià)格P影響.消費(fèi)者每次最多購(gòu)買(mǎi)一個(gè)單位的產(chǎn)品,且可能有重復(fù)購(gòu)買(mǎi)行為.已知在參考價(jià)格P0下,消費(fèi)者重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率為λ.企業(yè)在第t(1≤t≤T)期初檢查庫(kù)存水平,并決定是否需要訂貨vt以及具體訂貨量zt.產(chǎn)品具有易變質(zhì)的特征,且變質(zhì)率與庫(kù)存存放時(shí)間相關(guān).企業(yè)進(jìn)行產(chǎn)品定價(jià)P與補(bǔ)貨決策z=(z1,z2,...,zT),以最大化利潤(rùn)π.

根據(jù)研究的實(shí)際問(wèn)題,作如下基本假設(shè)：

1)不允許缺貨.

2)補(bǔ)貨的提前期為0,亦即瞬時(shí)補(bǔ)貨.

3)產(chǎn)品在補(bǔ)貨進(jìn)入庫(kù)存之前質(zhì)量完好,在存儲(chǔ)過(guò)程中才發(fā)生變質(zhì).產(chǎn)品變質(zhì)率與在存儲(chǔ)時(shí)間正相關(guān).

4)需求取決于產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程、重復(fù)購(gòu)買(mǎi)以及價(jià)格決策.

2.2 需求演化過(guò)程

在新產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程中,需求取決于擴(kuò)散過(guò)程、重復(fù)購(gòu)買(mǎi)行為和價(jià)格決策.首先考慮擴(kuò)散過(guò)程和價(jià)格決策對(duì)新采納者數(shù)量的影響,繼而引入重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率構(gòu)建需求函數(shù).

在Bass模型[15]中,新產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程取決于兩個(gè)傳播渠道的影響：1)大眾媒體傳播渠道如廣告等的影響,稱(chēng)為創(chuàng)新的或外部影響,用創(chuàng)新系數(shù)p表示;2)口碑傳播渠道的影響,稱(chēng)為模仿的或內(nèi)部影響,用模仿系數(shù)q表示.

本文采用Bass模型的離散形式,產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程可以表述為

其中m為市場(chǎng)容量,nt為第t期新采納者的數(shù)量,而為第t-1期末的累積采納者數(shù)量.

在第0期末,所有消費(fèi)者都尚未產(chǎn)生購(gòu)買(mǎi)行為.因此,第1期的新采納者數(shù)量為pm.因此,第t期新采納者的數(shù)量為

實(shí)際上,企業(yè)的營(yíng)銷(xiāo)決策如價(jià)格等也會(huì)影響產(chǎn)品的擴(kuò)散過(guò)程.因此若將價(jià)格因素考慮在內(nèi),則Bass模型可擴(kuò)展為[16]

其中函數(shù)g(P)用來(lái)刻畫(huà)價(jià)格決策對(duì)產(chǎn)品擴(kuò)散速率的影響,且現(xiàn)有文獻(xiàn)大多選用指數(shù)函數(shù)形式[16].

因此,將價(jià)格對(duì)產(chǎn)品擴(kuò)散速率的影響表示為

其中參數(shù)μ衡量了價(jià)格效應(yīng)的大小.當(dāng)價(jià)格P=P0時(shí),g(P)=1.因此,創(chuàng)新系數(shù)p與模仿系數(shù)q刻畫(huà)了企業(yè)在價(jià)格為P0下的新產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程.采取以上建模方式,非常便于在實(shí)際情形中對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì).

由于最初的Bass模型并沒(méi)有將價(jià)格因素考慮在內(nèi),因此依據(jù)Bass[15]給出的估計(jì)方法所得到的產(chǎn)品擴(kuò)散參數(shù)其實(shí)是基于特定價(jià)格條件的.因此,本文將特定價(jià)格條件P0引入Bass模型進(jìn)行價(jià)格效應(yīng)建模.當(dāng)企業(yè)準(zhǔn)備推出新產(chǎn)品時(shí),大多會(huì)根據(jù)類(lèi)似產(chǎn)品的價(jià)格和銷(xiāo)售記錄來(lái)對(duì)新產(chǎn)品擴(kuò)散參數(shù)進(jìn)行估計(jì).因此,上式在實(shí)踐中更富于直觀含義和操作意義.式(4)可以重新表述為

上式類(lèi)似于計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的雙對(duì)數(shù)模型,因此價(jià)格效應(yīng)參數(shù)μ則衡量了產(chǎn)品擴(kuò)散速度在價(jià)格P0附近的彈性：當(dāng)價(jià)格變化一定百分比(以來(lái)衡量)時(shí),產(chǎn)品擴(kuò)散速率對(duì)應(yīng)變化的百分比.當(dāng)μ越接近于1時(shí),則價(jià)格P0越接近于最優(yōu)價(jià)格.考慮價(jià)格效應(yīng)之后每期新采納者數(shù)量為

消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)易變質(zhì)產(chǎn)品時(shí)大多具有重復(fù)購(gòu)買(mǎi)行為.當(dāng)2≤t≤T時(shí),第t期的產(chǎn)品需求源于兩個(gè)部分：新采納者的嘗試性購(gòu)買(mǎi),以及累積采納者的重復(fù)購(gòu)買(mǎi).假設(shè)基本重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率為λ,并將其定義為價(jià)格為P0時(shí)的重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率.重復(fù)購(gòu)買(mǎi)意愿與信任,消費(fèi)習(xí)慣,消費(fèi)者滿(mǎn)意度,使用價(jià)值,享樂(lè)價(jià)值等諸多因素有關(guān)[20].Orbach和Fruchter[21]以及Danaher等[22]提供了從歷史銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中分離出嘗試性購(gòu)買(mǎi)并估計(jì)重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率的方法.然而當(dāng)企業(yè)推出易變質(zhì)新產(chǎn)品時(shí),并無(wú)可用的歷史銷(xiāo)售數(shù)據(jù).此時(shí)企業(yè)可以采用如下方法[16]估計(jì)擴(kuò)散參數(shù)(創(chuàng)新系數(shù)p,模仿系數(shù)q,以及市場(chǎng)容量m)和重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率：挑選相似產(chǎn)品,并根據(jù)環(huán)境條件,市場(chǎng)結(jié)構(gòu),消費(fèi)者行為,營(yíng)銷(xiāo)組合策略,以及產(chǎn)品創(chuàng)新本身五個(gè)方面來(lái)衡量這些相似產(chǎn)品和新產(chǎn)品的相似性;根據(jù)歷史購(gòu)買(mǎi)記錄分別估計(jì)這些相似產(chǎn)品的擴(kuò)散參數(shù)和重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率;以相似性為權(quán)重,對(duì)相似產(chǎn)品對(duì)應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)得到新產(chǎn)品的參數(shù)估計(jì)值.企業(yè)需要關(guān)注如何提高重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率,以及重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率對(duì)企業(yè)決策的影響.本文僅考慮后者.此外,本文將對(duì)重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率做敏感性分析,考慮重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率變化時(shí)企業(yè)的價(jià)格與補(bǔ)貨決策應(yīng)如何變化,以及企業(yè)的利潤(rùn)會(huì)有何種變化.

價(jià)格決策同時(shí)影響新采納者的數(shù)量和累積采納者的重復(fù)購(gòu)買(mǎi)行為,所以?xún)r(jià)格P下的實(shí)際重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率可以表示為λe-μ(P/P0-1).當(dāng)價(jià)格極低的時(shí)候,最多導(dǎo)致累積采納者全部進(jìn)行重復(fù)購(gòu)買(mǎi).因此,實(shí)際重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率為min{λe-μ(P/P0-1),1}.所以需求函數(shù)為

式(6)和式(7)共同刻畫(huà)了新產(chǎn)品需求演化過(guò)程,并將重復(fù)購(gòu)買(mǎi)行為和價(jià)格決策納入其中.

2.3 定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型

在不允許缺貨的情況下,企業(yè)既可以通過(guò)補(bǔ)貨來(lái)滿(mǎn)足當(dāng)期需求,也可以通過(guò)上一期庫(kù)存來(lái)滿(mǎn)足當(dāng)期需求.記第t期補(bǔ)貨的固定訂購(gòu)成本kt,單位補(bǔ)貨成本為ct,單位庫(kù)存持有成本為ht.補(bǔ)貨數(shù)量記為zt,是否補(bǔ)貨記為vt,且vt=1代表在第t期有補(bǔ)貨行為.第i期訂購(gòu)的易變質(zhì)新產(chǎn)品在第t期的庫(kù)存持有量為yit.企業(yè)進(jìn)行定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策時(shí),目標(biāo)函數(shù)為

其中函數(shù)b(t)表示產(chǎn)品變質(zhì)速率.通常情形下或者假定產(chǎn)品變質(zhì)速率恒定,即b(t)=θ;或者假定產(chǎn)品變質(zhì)速率可變且服從Weibull函數(shù)[4],即b(t)=αβtβ-1.

在產(chǎn)品變質(zhì)速率恒定的假設(shè)下,則在第1期初訂購(gòu)的產(chǎn)品在第t期的變質(zhì)率可以表示為α=1-e-θt.在現(xiàn)實(shí)情況下,變質(zhì)速率很少保持恒定,也并非簡(jiǎn)單地與時(shí)間相關(guān)[19].變質(zhì)速率大多情形下與補(bǔ)貨時(shí)期有關(guān),也就是與庫(kù)存存放時(shí)間有關(guān).例如對(duì)于牛奶,蔬果等易變質(zhì)產(chǎn)品而言,企業(yè)采購(gòu)到的通常是新鮮產(chǎn)品.在庫(kù)存中存儲(chǔ)越久,變質(zhì)的可能性也就越大.將補(bǔ)貨時(shí)期納入考慮,則第i期訂貨的農(nóng)產(chǎn)品在庫(kù)存第t期初到構(gòu)成.

現(xiàn)有文獻(xiàn)通常假定t時(shí)刻庫(kù)存變化量取決于庫(kù)存數(shù)量和需求速率[4]第t期末的變質(zhì)率可以表示為

當(dāng)t=i時(shí),ait=aii=1-e-θ為補(bǔ)貨后存放第1期的變質(zhì)率.

對(duì)于1≤i≤t≤T,若企業(yè)在第t期的補(bǔ)貨數(shù)量zt＞0,則說(shuō)明企業(yè)在第t期有補(bǔ)貨行為,記vt=1;否則記vt=0.第t的需求被第i期補(bǔ)貨所滿(mǎn)足的部分為rit,而第i期訂購(gòu)的易變質(zhì)產(chǎn)品在第t期的庫(kù)存持有量為yit.所以第t期的庫(kù)存水平為第1期初的補(bǔ)貨數(shù)量為z1,其中被用于滿(mǎn)足當(dāng)期需求的部分為r11,而剩余的部分y11=z1-r11全部作為庫(kù)存.因此,第1期初的庫(kù)存量為y11.這些庫(kù)存在第1期末(或第2期初)時(shí),由于產(chǎn)品變質(zhì)的原因,僅剩下(1-a11)y11.第2期初的補(bǔ)貨數(shù)量為z2,其中被用于滿(mǎn)足當(dāng)期需求的部分為r22,因此剩余的部分y22=z2-r22則全部作為庫(kù)存.在第1期補(bǔ)貨,且持有至第2期初的庫(kù)存量為(1-a11)y11.其中用于滿(mǎn)足第2期初的需求的部分為r12,因此剩余部分y12=(1-a11)y11-r12繼續(xù)作為庫(kù)存持有.因此,第2期初的庫(kù)存量為y12+y22.第3期的情形依次類(lèi)推.因此,易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨的聯(lián)合決策模型為

約束條件(11)表示,第t期采購(gòu)zt個(gè)單位易變質(zhì)產(chǎn)品,其中被用于滿(mǎn)足當(dāng)期需求的為rtt,因此剩余的部分則全部作為庫(kù)存持有.約束條件(12)表示,第i期采購(gòu)的易變質(zhì)產(chǎn)品且一直持有到第t-1期初的部分,在第t期初的時(shí)候由于產(chǎn)品變質(zhì)的原因,僅僅剩下(1-ai,t-1)yi,t-1.其中第i期采購(gòu)的易變質(zhì)產(chǎn)品在第t-1期的變質(zhì)率為ai,t-1.這部分庫(kù)存,除了用于滿(mǎn)足第t期需求的部分rit以外,剩下的被繼續(xù)作為庫(kù)存持有.約束條件(13)表示,第t期需求dt(P)必須被在此之前訂購(gòu)的易變質(zhì)產(chǎn)品所滿(mǎn)足,即不允許缺貨.約束條件(14)表示,第t期需求由新采納者的嘗試性購(gòu)買(mǎi)和累積采納者的重復(fù)購(gòu)買(mǎi)組成.約束條件(15)表示,第t期新采納者數(shù)量由創(chuàng)新系數(shù)p,模仿系數(shù)q,市場(chǎng)容量m,重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率λ,以及產(chǎn)品價(jià)格P確定.約束條件(17)和條件(18)給出了第1期的新采納者數(shù)量以及需求量.

模型的決策變量為價(jià)格P,以及每期的補(bǔ)貨數(shù)量zt.在聯(lián)合決策模式下,企業(yè)同時(shí)制定價(jià)格和補(bǔ)貨決策以最大化利潤(rùn).定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策的關(guān)鍵在于理解需求函數(shù).從定價(jià)決策視角來(lái)看,第t期的產(chǎn)品需求源于兩個(gè)部分：新采納者的嘗試性購(gòu)買(mǎi),以及累積采納者的重復(fù)購(gòu)買(mǎi).后者受重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率λ影響,且兩者均取決于產(chǎn)品擴(kuò)散參數(shù)(創(chuàng)新系數(shù)p,模仿系數(shù)q,市場(chǎng)容量m)和價(jià)格P.從補(bǔ)貨決策視角來(lái)看,第t期的產(chǎn)品需求dt必須被當(dāng)期補(bǔ)貨和在此之前訂購(gòu)并作為庫(kù)存持有的產(chǎn)品所滿(mǎn)足.在庫(kù)存持有過(guò)程中,同時(shí)也存在著產(chǎn)品變質(zhì).因此,產(chǎn)品需求連接了企業(yè)的定價(jià)與補(bǔ)貨決策.

3 算法設(shè)計(jì)

當(dāng)單位訂購(gòu)成本ct=c保持不變時(shí),性質(zhì)1給出了易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型中最優(yōu)價(jià)格的上界和下界.

性質(zhì)1在易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型中,最優(yōu)價(jià)格P?滿(mǎn)足c＜P?＜P0[1+ln(mT)/μ].

證明企業(yè)需要獲取凈利潤(rùn).因此價(jià)格至少要大于單位訂購(gòu)成本,即P?＞c.另一方面,企業(yè)定價(jià)不能太高,否則將無(wú)法獲得需求.因此在整個(gè)計(jì)劃周期內(nèi)累積采納者的數(shù)量至少大于零,即由于

所以mTe-μ(P/P0-1)＞NT≥1,由此得到P?＜P0[1+ln(mT)/μ].因此,對(duì)于易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型,最優(yōu)價(jià)格P?滿(mǎn)足c＜P?＜P0[1+ln(mT)/μ].

現(xiàn)有文獻(xiàn)針對(duì)定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型進(jìn)行了一些研究,Van den Heuvel和Wagelmans[23]提供了多項(xiàng)式復(fù)雜程度的算法.然而,相關(guān)文獻(xiàn)均假設(shè)需求是價(jià)格的線性函數(shù)(d=a-bP),甚至進(jìn)一步限定二者為正比關(guān)系(d=-bP).然而在本文模型中,需求與價(jià)格呈現(xiàn)非常復(fù)雜的關(guān)系.由于需求函數(shù)本身服從產(chǎn)品擴(kuò)散模型的演化規(guī)律且受價(jià)格影響,需求函數(shù)甚至無(wú)法用確切的函數(shù)表達(dá)出來(lái).因此,模型復(fù)雜程度遠(yuǎn)高于以上文獻(xiàn)的設(shè)定.故本文設(shè)計(jì)了啟發(fā)式算法.

在易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型中,一旦價(jià)格P給定,則需求函數(shù)隨之確定.此時(shí)原問(wèn)題退化為易變質(zhì)產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨模型,并可以直接由Hsu[19]提供的算法求得最優(yōu)解.當(dāng)?shù)趖期的補(bǔ)貨數(shù)量zt＞0時(shí),則稱(chēng)第t期為補(bǔ)貨期.企業(yè)在整個(gè)計(jì)劃周期內(nèi)每期是否進(jìn)行補(bǔ)貨的決策變量可簡(jiǎn)化為向量v=(v(1),v(2),...,v(T)),而補(bǔ)貨數(shù)量記為z=(z(1),z(2),...,z(T)).一旦補(bǔ)貨期向量v給定,便可以確定具體的補(bǔ)貨數(shù)量z;反之亦然.因此,僅需考慮補(bǔ)貨期向量v.并且,一旦給定價(jià)格P,即可通過(guò)Hsu[19]給出的算法求得最優(yōu)補(bǔ)貨期向量v.另一方面,一旦給定補(bǔ)貨期向量v,則可以求得每期的補(bǔ)貨數(shù)量z.顯然,z是關(guān)于價(jià)格P的函數(shù).因此,給定補(bǔ)貨期向量v時(shí),利潤(rùn)π=π(P)是價(jià)格的函數(shù).因此,可以求解最優(yōu)價(jià)格P以最大化利潤(rùn)函數(shù).

總而言之,一旦給定價(jià)格P,則易變質(zhì)新產(chǎn)品的定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型退化成易變質(zhì)產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨模型,并可以直接由Hsu[19]提供的算法求得最優(yōu)解.而一旦給定補(bǔ)貨期向量v,則易變質(zhì)新產(chǎn)品的定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型退化成求解使得利潤(rùn)函數(shù)π(P)最大化的價(jià)格P.因此,本文設(shè)計(jì)迭代算法來(lái)求解易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型.算法步驟如下

步驟1k=0,選取初始價(jià)格P0.

步驟2在給定需求d(P),通過(guò)Hsu[19]提供的算法求解得到最優(yōu)補(bǔ)貨決策vk.

步驟3若k＞0且vk=vk+1,則算法收斂,停止迭代.

步驟4在給定的補(bǔ)貨決策vk下,求解最優(yōu)價(jià)格Pk+1.

步驟5k←k+1,并返回步驟2.

易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策問(wèn)題算法的收斂性由以下不等式所保證,即

可以看到每次迭代都可以改善目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果,而當(dāng)補(bǔ)貨決策收斂時(shí)則算法停止.在步驟2中,給定需求時(shí)求解最優(yōu)補(bǔ)貨決策的Hsu[19]算法復(fù)雜度為O(T2);在步驟4中,給定補(bǔ)貨決策時(shí)則采用經(jīng)典啟發(fā)式算法來(lái)求解最優(yōu)價(jià)格.此外,步驟3中的收斂法則使得算法可以較快收斂.

由于不允許缺貨,故第r期的需求必定由之前的某期補(bǔ)貨所滿(mǎn)足.Air表示為了滿(mǎn)足第r期一個(gè)單位的需求,第i需要訂購(gòu)的產(chǎn)品數(shù)量.當(dāng)i=r時(shí),定義A(j,r)=1.當(dāng)1≤i≤r≤T時(shí),若第r期的需求由第i期的訂購(gòu)所滿(mǎn)足,則產(chǎn)生的可變補(bǔ)貨成本及庫(kù)存成本之和記為T(mén)(i,r).滿(mǎn)足從第1期到第r期的需求且最后一次補(bǔ)貨在第i期時(shí)的最小總成本記為V(i,r),則可得到如下遞歸式

其中式(21)表示,滿(mǎn)足從第1期到第r期的需求且最后一次補(bǔ)貨在第r期的總成本優(yōu)化問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為滿(mǎn)足從第1期到第r-1期的需求的最優(yōu)成本加上第r期補(bǔ)貨所產(chǎn)生的成本k+T(r,r).式(22)表示,滿(mǎn)足從第1期到第r期的需求且最后一次補(bǔ)貨在第i期的總成本優(yōu)化問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為滿(mǎn)足從第1期到第r-1期的需求且最后一次補(bǔ)貨在第i期的最優(yōu)成本V(i,r-1),加上用第i期訂購(gòu)滿(mǎn)足第r期需求所需要的成本T(i,r).

因此,易變質(zhì)產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨問(wèn)題算法(亦即Hsu[19]算法)如下：

步驟1r=1,求得V(r,r)=V(1,1)=k+cd1.

步驟2對(duì)1＜r≤T,依據(jù)式(22)求得V(i,r),依據(jù)依據(jù)式(21)求得V(r,r).

步驟3返回最優(yōu)成本并由滿(mǎn)足從第1到第r期需求的最優(yōu)成本逐步求解補(bǔ)貨數(shù)量zt(1≤t≤T).

4 算例分析

4.1 定價(jià)與補(bǔ)貨決策

設(shè)參照價(jià)格P0=30,單位補(bǔ)貨成本c=15,固定補(bǔ)貨成本k=7 200,單位持有成本h=5,變質(zhì)參數(shù)θ=0.2.重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率λ=0.4,市場(chǎng)容量m=5 000,價(jià)格效應(yīng)參數(shù)μ=-1,創(chuàng)新系數(shù)p=0.02,模仿系數(shù)q=0.4.表1給出了價(jià)格P=P0以及根據(jù)聯(lián)合決策模型求解出來(lái)的最優(yōu)價(jià)格P?下的不同需求演化過(guò)程以及補(bǔ)貨決策.

在價(jià)格P=P0=30下,企業(yè)利潤(rùn)為96 840;而通過(guò)求解聯(lián)合定價(jià)與補(bǔ)貨決策模型得到最優(yōu)價(jià)格P=P?=31.9,此時(shí)企業(yè)利潤(rùn)為102 450,相對(duì)于前者利潤(rùn)提高5.79%.從表1來(lái)看,定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策情境下產(chǎn)品擴(kuò)散更慢、需求更小,但單位產(chǎn)品利潤(rùn)更高.因此,定價(jià)與動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策能夠更好綜合考慮收益和成本,從而提高利潤(rùn).

由于價(jià)格效應(yīng)參數(shù)μ則衡量了產(chǎn)品擴(kuò)散速度在價(jià)格P0附近的彈性,故當(dāng)μ越接近于1時(shí),則價(jià)格P0越接近于最優(yōu)價(jià)格.通過(guò)對(duì)價(jià)格效應(yīng)參數(shù)μ進(jìn)行分析(見(jiàn)圖1),也驗(yàn)證了這點(diǎn)：當(dāng)價(jià)格效應(yīng)參數(shù)μ逐漸增大時(shí),P?/P0的比值逐漸降低;當(dāng)μ的值越接近1時(shí),最優(yōu)價(jià)格與參照價(jià)格的比值P?/P0也越接近1.因此企業(yè)可以通過(guò)簡(jiǎn)單地變動(dòng)價(jià)格并測(cè)試產(chǎn)品擴(kuò)散速率對(duì)價(jià)格的彈性來(lái)確定合適的價(jià)格.然而,當(dāng)產(chǎn)品擴(kuò)散速率對(duì)價(jià)格的彈性等于1時(shí),并不意味著企業(yè)達(dá)到了最優(yōu)價(jià)格,而僅僅是接近最優(yōu)價(jià)格.因此,企業(yè)還需要考慮補(bǔ)貨和庫(kù)存等方面的成本,而不僅僅是考慮收益的最大化.從這個(gè)層面上講,企業(yè)的定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策是十分必要的.

當(dāng)企業(yè)進(jìn)行產(chǎn)品定價(jià)時(shí),還需要考慮諸多因素的影響,例如產(chǎn)品擴(kuò)散參數(shù)、重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率、產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)等.在Bass[15]模型中,創(chuàng)新系數(shù)p和模仿系數(shù)q共同決定了產(chǎn)品的擴(kuò)散過(guò)程.然而,在產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程中,更適合用p+q和p/q來(lái)描述擴(kuò)散過(guò)程的關(guān)鍵要素[24].其中p+q刻畫(huà)了產(chǎn)品擴(kuò)散速度,而p/q表征市場(chǎng)上消費(fèi)者的主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿.因此,本文討論產(chǎn)品擴(kuò)散速度p+q、消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿p/q、重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率λ和產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ對(duì)價(jià)格決策的影響.在分析其中任何一個(gè)參數(shù)的影響時(shí),均固定其它參數(shù)的取值不變.圖2顯示了最優(yōu)價(jià)格P?如何隨著產(chǎn)品擴(kuò)散參數(shù)(即產(chǎn)品擴(kuò)散速度p+q及消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿p/q)、重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率λ以及產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ而變化.

表1 價(jià)格P0及P?下的需求演化及補(bǔ)貨決策Table 1 Demand evolution and replenishment decisions under price P0and P?

圖1 價(jià)格效應(yīng)參數(shù)μ的敏感性分析Fig.1 Sensitivity analysis of price parameterμ

4.2 結(jié)果分析

從圖2可知,當(dāng)消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿p/q程度不變時(shí),最優(yōu)價(jià)格與產(chǎn)品擴(kuò)散速度p+q呈先減小后增大的U型關(guān)系.當(dāng)產(chǎn)品擴(kuò)散速度特別慢時(shí),企業(yè)應(yīng)制定較高的價(jià)格以保證單位利潤(rùn);隨著產(chǎn)品擴(kuò)散速度增加,企業(yè)可以降低價(jià)格以促進(jìn)產(chǎn)品擴(kuò)散、增加需求.在此情形下,降低價(jià)格帶來(lái)的需求增加效應(yīng)大于單位利潤(rùn)降低帶來(lái)的效應(yīng);而當(dāng)產(chǎn)品擴(kuò)散速度特別快時(shí),企業(yè)則不必?fù)?dān)心需求問(wèn)題,從而適合提高價(jià)格.類(lèi)似地,當(dāng)其它因素不變時(shí),最優(yōu)價(jià)格與重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率λ也呈現(xiàn)先減小后增大的U型關(guān)系.當(dāng)重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率極低時(shí),企業(yè)制定較高的價(jià)格以保證單位利潤(rùn);當(dāng)重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率逐漸增大時(shí),企業(yè)則可以降低價(jià)格以促進(jìn)產(chǎn)品擴(kuò)散,從而增加未來(lái)的重復(fù)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量;而當(dāng)重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率非常高時(shí),企業(yè)則可以提高價(jià)格以增加單位利潤(rùn).因此,當(dāng)產(chǎn)品擴(kuò)散速度與重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率變化時(shí),企業(yè)應(yīng)權(quán)衡單位利潤(rùn)與銷(xiāo)售量并據(jù)此調(diào)整價(jià)格水平.

圖2 相關(guān)參數(shù)對(duì)價(jià)格水平的影響Fig.2 Relevant parameters’inf l uences on price level

與產(chǎn)品擴(kuò)散的速度不同,消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿p/q對(duì)最優(yōu)價(jià)格的影響則較為簡(jiǎn)單：當(dāng)消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿增加時(shí),最優(yōu)價(jià)格隨之增加.當(dāng)消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿增加的時(shí)候,意味著消費(fèi)者剩余增加.所以消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿在某種程度上體現(xiàn)了其保留價(jià)格,即愿意為產(chǎn)品支付的最高價(jià)格.當(dāng)保留價(jià)格增加時(shí),企業(yè)可以相應(yīng)提高價(jià)格水平.因此,最優(yōu)價(jià)格隨著消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿單調(diào)遞增.產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ對(duì)最優(yōu)價(jià)格的影響則相反：當(dāng)產(chǎn)品易變質(zhì)程度增加時(shí),最優(yōu)價(jià)格呈下降趨勢(shì).因?yàn)楫a(chǎn)品易變質(zhì)程度增加時(shí),企業(yè)會(huì)盡可能減少平均庫(kù)存數(shù)量并增加補(bǔ)貨頻率.此時(shí)可以通過(guò)降低價(jià)格來(lái)促進(jìn)需求,從而減小分?jǐn)偟絾挝划a(chǎn)品的固定補(bǔ)貨成本.

類(lèi)似地,通過(guò)分析相關(guān)參數(shù)對(duì)企業(yè)利潤(rùn)的影響發(fā)現(xiàn)：當(dāng)產(chǎn)品擴(kuò)散速度p+q增加、消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿p/q增加以及重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率λ增加時(shí),企業(yè)利潤(rùn)也隨之增加;當(dāng)產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)θ增加時(shí),企業(yè)利潤(rùn)隨之減少.因此,企業(yè)應(yīng)當(dāng)設(shè)法提高產(chǎn)品擴(kuò)散速度、消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿和重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率.這意味著企業(yè)可以考慮是否投入更多的營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)用.此外,企業(yè)還可以考慮是否應(yīng)投入成本改善庫(kù)存條件以降低產(chǎn)品在存儲(chǔ)過(guò)程中的變質(zhì)率.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以易變質(zhì)新產(chǎn)品為研究對(duì)象,考慮了企業(yè)定價(jià)和動(dòng)態(tài)批量補(bǔ)貨聯(lián)合決策問(wèn)題,并分析了產(chǎn)品擴(kuò)散、重復(fù)購(gòu)買(mǎi)和產(chǎn)品變質(zhì)特征對(duì)企業(yè)價(jià)格水平和利潤(rùn)的影響.本文將重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率引入考慮價(jià)格效應(yīng)的Bass模型構(gòu)建了需求函數(shù),繼而結(jié)合產(chǎn)品變質(zhì)特征建立了易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策模型,設(shè)計(jì)了啟發(fā)式算法并給出了算例分析,其結(jié)論對(duì)企業(yè)運(yùn)作管理有重要的啟示.首先,易變質(zhì)新產(chǎn)品定價(jià)與補(bǔ)貨聯(lián)合決策是必要的,企業(yè)需要權(quán)衡收益和成本以提高利潤(rùn).其次,產(chǎn)品最優(yōu)價(jià)格隨著產(chǎn)品擴(kuò)散,重復(fù)購(gòu)買(mǎi)和產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)變化.因此,企業(yè)需要根據(jù)易變質(zhì)新產(chǎn)品的特征及市場(chǎng)條件來(lái)調(diào)整價(jià)格策略.最后,企業(yè)利潤(rùn)隨著產(chǎn)品擴(kuò)散速度,消費(fèi)者主動(dòng)購(gòu)買(mǎi)意愿和重復(fù)購(gòu)買(mǎi)率的增大而增加,并且隨著產(chǎn)品變質(zhì)參數(shù)的增大而減少.因此,企業(yè)可以考慮是否投入更多的營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)用以改善市場(chǎng)條件,或者通過(guò)改善庫(kù)存條件來(lái)降低產(chǎn)品變質(zhì)速率.

本文只考慮了靜態(tài)價(jià)格對(duì)新產(chǎn)品擴(kuò)散過(guò)程中需求的影響,進(jìn)一步可以針對(duì)易變質(zhì)新產(chǎn)品研究滲透定價(jià)、經(jīng)驗(yàn)曲線定價(jià)以及撇脂定價(jià)等動(dòng)態(tài)定價(jià)策略與補(bǔ)貨策略的聯(lián)合決策問(wèn)題.此外,還可以研究易變質(zhì)新產(chǎn)品廣告和促銷(xiāo)等營(yíng)銷(xiāo)策略與補(bǔ)貨策略的協(xié)調(diào)問(wèn)題.

參考文獻(xiàn):

[1]邱祝強(qiáng).基于冷藏鏈的生鮮農(nóng)產(chǎn)品物流網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化及其安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)研究.長(zhǎng)沙：中南大學(xué),2007.Qiu Z Q.Study on Optimizing the Network of Fresh Agricultural Products Logistics Based on Cold Chain and its Safety Risk Evaluation.Changsha：Zhongnan University Press,2007.(in Chinese)

[2]Mebratie M A,Haji J,Woldetsadik K,et al.Determinants of postharvest banana loss in the marketing chain of Central Ethiopia.Food Science and Quality Management,2015,37：52—63.

[3]Ghare P M,Schrader G F.A model for exponentially decaying inventory.Journal of Industrial Engineering,1963,14(5)：238—243.

[4]Goyal S K,Giri B C.Recent trends in modeling of deteriorating inventory.European Journal of Operational Research,2001,134(1)：1—16.

[5]Bakker M,Riezebos J,Teunter R H.Review of inventory systems with deterioration since 2001.European Journal of Operational Research,2012,221(2)：275—284.

[6]王圣東,周永務(wù),甘犬財(cái).易變質(zhì)性產(chǎn)品生產(chǎn)商和銷(xiāo)售商庫(kù)存協(xié)調(diào)模型.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2010,25(2)：251—257.Wang S D,Zhou Y W,Gan Q C.Inventory coordination model with single manufacturer and single-buyer for a deteriorating item.Journal of System Engineering,2010,25(2)：251—257.(in Chinese)

[7]曹宗宏,周永務(wù).缺貨量影響需求的變質(zhì)品的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2011,26(1)：50—59.Cao Z H,Zhou Y W.Supply chain coordination model with demand inf l uenced by shortage for deteriorating items.Journal of System Engineering,2011,26(1)：50—59.(in Chinese)

[8]李 力.多種易逝品的庫(kù)存控制模型及動(dòng)態(tài)定價(jià).系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2015,30(3)：289—296.Li L.Inventory control model and dynamic pricing with multi-perishable products.Journal of System Engineering,2015,30(3)：289—296.(in Chinese)

[9]Maihami R,Nakhai Kamalabadi I.Joint pricing and inventory control for non-instantaneous deteriorating items with partial backlogging and time and price dependent demand.International Journal of Production Economics,2012,136(1)：116—122.

[10]Maihami R,Karimi B.Optimizing the pricing and replenishment policy for non-instantaneous deteriorating items with stochastic demand and promotional efforts.Computers&Operations Research,2014,51(1)：302—312.

[11]Panda S,Saha S,Basu M.Optimal pricing and lot-sizing for perishable inventory with price and time dependent ramp-type demand.International Journal of Systems Science,2013,44(1)：127—138.

[12]Qin Y,Wang J,Wei C.Joint pricing and inventory control for fresh produce and foods with quality and physical quantity deteriorating simultaneously.International Journal of Production Economics,2014,152(SI)：42—48.

[13]Chang C T,Cheng M C,Ouyang L Y.Optimal pricing and ordering policies for non-instantaneously deteriorating items under order-size-dependent delay in payments.Applied Mathematical Modelling,2015,39(2)：747—763.

[14]Shah N H,Soni H N,Patel K A.Optimizing inventory and marketing policy for non-instantaneous deteriorating items with generalized type deterioration and holding cost rates.Omega：International Journal of Management Science,2013,41(2)：421—430.

[15]Bass F M.A new product growth for model consumer durables.Management Science,1969,15：215—227.

[16]Mahajan V,Muller E,Bass F M.New product diffusion models in marketing：A review and directions for research.Journal of Marketing,1990,54(1)：1—26.

[17]Jha P C,Gupta A,Kapur P K.Bass model revisited.Journal of Statistics and Management Systems,2008,11(3)：413—437.

[18]Chien C F,Chen Y J,Peng J T.Manufacturing intelligence for semiconductor demand forecast based on technology diffusion and product life cycle.International Journal of Production Economics,2010,128(2)：496—509.

[19]Hsu V N.Dynamic economic lot size model with perishable inventory.Management Science,2000,46(8)：1159—1169.

[20]Chiu C M,Hsu M H,Lai H,et al.Re-examining the inf l uence of trust on online repeat purchase intention：The moderating role of habit and its antecedents.Decision Support Systems,2012,53(4)：835—845.

[21]Orbach Y,Fruchter G.Predicting product life cycle patterns.Marketing Letters,2014,25(1)：37—52.

[22]Danaher P J,Hardie B G,Putsis Jr W P.Marketing-mix variables and the diffusion of successive generations of a technological innovation.Journal of Marketing Research,2001,38(4)：501—514.

[23]Van den Heuvel W,Wagelmans A P.A polynomial time algorithm for a deterministic joint pricing and inventory model.European Journal of Operational Research,2006,170(2)：463—480.

[24]Krishnan T V,Bass F M,Jain D C.Optimal pricing strategy for new products.Management Science,1999,45(12)：1650—1663.