基于改進(jìn)自適應(yīng)Kalman濾波的地鐵變形監(jiān)測(cè)研究?

鐘 昆 高 嵩 黃姣茹

（西安工業(yè)大學(xué)自主系統(tǒng)與智能控制國(guó)際聯(lián)合研究中心 西安 710021）

1 引言

鑒于涌入城市的人口數(shù)量逐年攀升，大力興建城市地下鐵路交通運(yùn)行網(wǎng)，成為解決交通擁堵和市民出行難的一劑良方。然而，地鐵普遍位于城市的繁華中心地段，加上地面建筑物和地下管線等地質(zhì)條件會(huì)加重地鐵隧道的自身負(fù)荷，導(dǎo)致隧道結(jié)構(gòu)出現(xiàn)裂縫和沉降等形變，若不及時(shí)監(jiān)測(cè)與修復(fù)，將會(huì)造成地面塌方甚至危及人身安全［1］。因此，對(duì)地鐵隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)時(shí)的、連續(xù)的、長(zhǎng)期的變形監(jiān)測(cè)便成為當(dāng)前刻不容緩的任務(wù)［2］。

目前，地鐵變形監(jiān)測(cè)技術(shù)已經(jīng)由傳統(tǒng)的依靠人力與儀器監(jiān)測(cè)轉(zhuǎn)變?yōu)槿缃裣冗M(jìn)的智能全站儀（測(cè)量機(jī)器人）的自動(dòng)化監(jiān)測(cè)技術(shù)［3］，可以實(shí)現(xiàn)全自動(dòng)觀測(cè)并采集數(shù)據(jù)。由于可變因素影響，變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)通常會(huì)包含各種誤差與形變信息，僅從數(shù)據(jù)的表面，無(wú)法反映真實(shí)的信息。因此，如何及時(shí)有效地從繁多的變形監(jiān)測(cè)信息中進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘，提取關(guān)鍵性數(shù)據(jù)，并對(duì)此時(shí)變形情況進(jìn)行合理分析的問(wèn)題成為了關(guān)鍵［4］。

近年來(lái)，許多學(xué)者通過(guò)研究變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列的結(jié)構(gòu)與規(guī)律，建立動(dòng)態(tài)模型來(lái)反映變形特征并推斷變化趨勢(shì)。文獻(xiàn)［5］通過(guò)建立時(shí)間序列模型來(lái)近似模擬動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)以達(dá)到預(yù)測(cè)的目的。但是該方法需要不斷地根據(jù)新的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立新模型來(lái)求得結(jié)果，并且沒(méi)有考慮觀測(cè)數(shù)據(jù)含隨機(jī)擾動(dòng)的情況。文獻(xiàn)［6］采用了灰色系統(tǒng)理論對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，利用預(yù)測(cè)模型GM（1，1）［7］在一定程度上修正了傳統(tǒng)模型的偏差。但仿真發(fā)現(xiàn)當(dāng)觀測(cè)結(jié)果含有隨機(jī)擾動(dòng)誤差時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果質(zhì)量會(huì)降低。文獻(xiàn)［5，6］雖能精準(zhǔn)建立數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)模型，但均未解決監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)存在隨機(jī)噪聲擾動(dòng)的問(wèn)題。文獻(xiàn)［8］選用卡爾曼濾波算法［9］對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，有效剔除了隨機(jī)擾動(dòng)誤差的影響。但是在采用卡爾曼濾波算法前，須了解系統(tǒng)噪聲的先驗(yàn)知識(shí)以及對(duì)初始狀態(tài)和方差的準(zhǔn)確給定，否則會(huì)出現(xiàn)濾波發(fā)散［10］，導(dǎo)致決策者對(duì)變形監(jiān)測(cè)趨勢(shì)作出誤判。文獻(xiàn)［11］提出用自適應(yīng)卡爾曼濾波［12］來(lái)解決，利用方差補(bǔ)償?shù)脑砜朔擞捎谠肼暯y(tǒng)計(jì)模型不準(zhǔn)確而產(chǎn)生的濾波發(fā)散現(xiàn)象。但是會(huì)出現(xiàn)估計(jì)值發(fā)生振蕩且收斂速度緩慢的現(xiàn)象，并不能達(dá)到理想效果。文獻(xiàn)［8，11］雖能降低隨機(jī)噪聲的影響，但存在收斂速度慢甚至發(fā)散的現(xiàn)象，不能更好地應(yīng)用在工程當(dāng)中。

因此，本文提出一種改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法，通過(guò)在一步預(yù)測(cè)方差陣的計(jì)算式中引入指數(shù)型衰減因子［13］，利用殘差序列保持正交的特性推導(dǎo)出冪值表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，不僅削弱了隨機(jī)擾動(dòng)噪聲對(duì)估計(jì)的影響，而且克服了傳統(tǒng)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法收斂速度緩慢甚至發(fā)散的現(xiàn)象。同時(shí)，極大程度上提高了利用該改進(jìn)算法后得到的最優(yōu)估計(jì)值的精確性與穩(wěn)定性。

2 監(jiān)測(cè)系統(tǒng)模型

由智能全站儀組成的地鐵變形監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在獲取監(jiān)測(cè)點(diǎn)的初始位置信息后，能夠自動(dòng)完成數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)傳輸、數(shù)據(jù)處理、自動(dòng)預(yù)警和成果輸出等工作。全站儀具有自動(dòng)測(cè)邊和測(cè)角的能力，一臺(tái)全站儀，采用極坐標(biāo)測(cè)量法［14］就可獲得被測(cè)點(diǎn)的二維坐標(biāo)或者三維坐標(biāo)，極坐標(biāo)測(cè)量法示意圖如圖1。

如圖1所示，以全站儀的設(shè)站點(diǎn)o點(diǎn)為原點(diǎn)，測(cè)站的鉛垂線為z軸，以定向方向?yàn)閤軸，建立左手直角坐標(biāo)系o-xyz。設(shè)全站儀測(cè)量點(diǎn)的觀測(cè)值分別為：水平角α，垂直角β，斜距S，則P點(diǎn)所示的測(cè)站坐標(biāo)為

由此，可以通過(guò)獨(dú)立坐標(biāo)系下的坐標(biāo)公式（1）計(jì)算出監(jiān)測(cè)點(diǎn)的x方向的位置x(k)和y方向的位置y(k)。

圖1 極坐標(biāo)測(cè)量法示意圖

現(xiàn)在，面臨的問(wèn)題是如何根據(jù)采集到的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，進(jìn)而對(duì)變形體進(jìn)行預(yù)報(bào)分析。常用的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)模型建立方法主要有常加速度模型、常速度模型以及隨機(jī)游走模型［15］。本文選擇常速度模型作為狀態(tài)方程，隨機(jī)游走模型作為觀測(cè)方程。方法如下。

常速度模型是監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移關(guān)于時(shí)間的一階泰勒系數(shù)展開式，假設(shè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形量近似看成典型的運(yùn)動(dòng)模型，只把變形的位移和速率作為狀態(tài)參數(shù)，將監(jiān)測(cè)點(diǎn)位移變化的加速率作為隨機(jī)干擾項(xiàng)。由以下運(yùn)動(dòng)公式得到：

式中：由極坐標(biāo)測(cè)量法得到變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)包括X方向的位置x(k)、Y方向的位置y(k)、X方向的速度vx(k)和Y方向的速度vy(k)，T為采樣時(shí)間，監(jiān)測(cè)點(diǎn)位移變化的加速率w(k)作為隨機(jī)擾動(dòng)量。得到變形監(jiān)測(cè)模型的狀態(tài)方程為

隨機(jī)游走模型是僅考慮監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置量，得到變形監(jiān)測(cè)模型的觀測(cè)方程為

式中：L(k)表示第k期的觀測(cè)值；v(k)表示觀測(cè)系統(tǒng)噪聲，包含了監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移變化速率和加速率。

通過(guò)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)模型分析，得到狀態(tài)方程式（3）與觀測(cè)方程式（4），建立如下的系統(tǒng)模型［16～18］：

式中：k=1，2，3，…，N+；Xk-1、Xk分別為第k-1期、第k期的狀態(tài)向量，Φk，k-1為第k-1期到第k期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即

Ωk-1為第k-1期的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲向量，即Ωk-1=w(k)，Γk-1為第k-1期動(dòng)態(tài)噪聲系數(shù)矩陣，即

Lk為第k期的觀測(cè)向量，Bk為第k期的觀測(cè)向量系數(shù)矩陣，即，Δk為第k期的觀測(cè)噪聲向量，即Δk=v(k)。

對(duì)系統(tǒng)（5），當(dāng)動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲服從高斯分布且統(tǒng)計(jì)特性已知時(shí)，采用經(jīng)典卡爾曼濾波算法進(jìn)行最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)處理，得到的結(jié)果雖不能確切求出系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)，但是能夠比用傳統(tǒng)測(cè)量?jī)x器測(cè)得的數(shù)據(jù)更加逼近于真實(shí)值；當(dāng)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性不能準(zhǔn)確給出且與實(shí)際有偏差時(shí)，則采用自適應(yīng)卡爾曼濾波算法，可以對(duì)動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣實(shí)時(shí)修正，降低偏差。但該方法在實(shí)際濾波中會(huì)出現(xiàn)收斂速度慢甚至發(fā)散的現(xiàn)象，本文提出的改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法可以比傳統(tǒng)算法更精準(zhǔn)、更穩(wěn)定地得出真實(shí)狀態(tài)。

3 改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法

自適應(yīng)卡爾曼濾波算法主要特點(diǎn)在于能夠在濾波過(guò)程中及時(shí)修正由于噪聲或者模型參數(shù)不確定時(shí)的影響，其基本方程如下。

一步預(yù)測(cè)誤差方差陣：

濾波增益矩陣：

狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)：

狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的誤差方差陣：

動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣估計(jì)：

式（11）中：

其中，Lk表示為第k期的觀測(cè)向量，為第k期的最佳預(yù)測(cè)值。推導(dǎo)過(guò)程在文獻(xiàn)［11］中已詳細(xì)列出。

然而，自適應(yīng)卡爾曼濾波算法在實(shí)際工程應(yīng)用中會(huì)出現(xiàn)收斂速度慢甚至發(fā)散的現(xiàn)象，本文在傳統(tǒng)算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)一步預(yù)測(cè)方差陣計(jì)算式（7）中增加一個(gè)指數(shù)型衰減因子，即

定理1 對(duì)于系統(tǒng)模型式（5），若采用如式（14）的含衰減因子的一步預(yù)測(cè)誤差方差陣，則該系統(tǒng)具有抑制濾波發(fā)散特性的冪值滿足下式：

證明 首先，引入zk為殘差序列（新息序列），且為高斯白序列，表達(dá)式為

得到協(xié)方差陣為

殘差的自動(dòng)協(xié)方差陣為

將式（8）和式（17）一并代入到式（18）中，得到

由此說(shuō)明，當(dāng)增益矩陣Jk為最優(yōu)增益陣時(shí)，殘差序列不相關(guān)，即殘差序列處處保持正交。但是，由于模型存在誤差，實(shí)際的殘差協(xié)方差陣C0(k)與理論值存在差異。因此，Cj(k)不一定等于零。由式（18）可見，最后一項(xiàng)是共同項(xiàng)，若

則Jk是最優(yōu)的，即：如果在線調(diào)整增益陣，迫使殘差序列保持相互正交，那么式（20）成立。因此，定義：

則S(k)的最優(yōu)值由下式?jīng)Q定：

式中：Sij(k)為S(k)的第i行第j列元素，f的值越小，濾波越接近最優(yōu)。

根據(jù)發(fā)散判據(jù)：

式中：γ為儲(chǔ)備系數(shù)（γ＞1），當(dāng)γ=1時(shí)是最嚴(yán)格的收斂判據(jù)條件。

采取嚴(yán)格的收斂判據(jù)條件，即

把式（14）和式（17）代入，并考慮λk是變量，得到：

則抑制濾波發(fā)散的衰減因子為

證畢。

當(dāng)加入了由定理1的冪值表達(dá)式得到的衰減因子后，通過(guò)在線調(diào)整濾波增益陣使其達(dá)到最優(yōu)，再結(jié)合自適應(yīng)卡爾曼濾波算法自身對(duì)動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣實(shí)時(shí)修正的優(yōu)勢(shì)，使得不僅加快收斂速度和解決隨機(jī)噪聲對(duì)估計(jì)的影響，而且還提高了精確性和穩(wěn)定性，這在接下來(lái)的應(yīng)用仿真中得到證明。

4 應(yīng)用仿真

針對(duì)某市在營(yíng)運(yùn)期間的某條地下鐵路交通運(yùn)輸隧道中，利用監(jiān)測(cè)設(shè)備對(duì)變形體進(jìn)行監(jiān)測(cè)工作，其中每隔兩周對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行一次數(shù)據(jù)記錄，得到如下表1和表2中共10期的觀測(cè)數(shù)據(jù)?，F(xiàn)利用前文所述的監(jiān)測(cè)系統(tǒng)模型式（5）建立離散型卡爾曼濾波模型，進(jìn)行如下的仿真分析：

設(shè)變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)在X方向上和Y方向上的初始位置為 [x(0)，y(0)]T=[54.45，3.154]T，初始狀態(tài)的誤差方差陣，觀測(cè)噪聲初始方差，系統(tǒng)噪聲初始方差（對(duì)于變形監(jiān)測(cè)周期短的系統(tǒng)通常取噪聲初始方差為單位陣），采樣時(shí)間T為2。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為，系統(tǒng)噪聲的系數(shù)矩陣，觀測(cè)向量的系數(shù)矩陣，其中I2表示為2階的單位陣，02表示為2階的零矩陣。根據(jù)以上值，對(duì)10期監(jiān)測(cè)所得到數(shù)據(jù)分別進(jìn)行經(jīng)典卡爾曼濾波、自適應(yīng)卡爾曼濾波和改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行仿真計(jì)算［19-20］，結(jié)果見表1和表2。

其步驟可總結(jié)如下：

1）確定初始狀態(tài)向量初值X(0)與Y(0)；

2）確定監(jiān)測(cè)系統(tǒng)模型式（5）中的參數(shù)值及各系數(shù)矩陣常量；

3）利用改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法計(jì)算公式［式（6）、式（8）～式（13）、式（14）、式（15）］進(jìn)行最優(yōu)濾波估計(jì)計(jì)算；

4）若估計(jì)值滿足給定精度要求，退出濾波迭代過(guò)程，否則返回執(zhí)行第3）步。

根據(jù)表1和表2的數(shù)據(jù)可以明顯看出應(yīng)用了改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法得到的濾波值能夠明顯比其他兩種算法更加接近于真實(shí)值。接下來(lái)，將表1和表2中的濾波值繪制成曲線圖，分別如圖2和圖3所示，定量地比較三種濾波方法的效果。

從圖2和圖3看出，經(jīng)典卡爾曼濾波結(jié)果在遞推過(guò)程中與實(shí)測(cè)值的偏差越來(lái)越大，自適應(yīng)卡爾曼濾波結(jié)果會(huì)在實(shí)測(cè)值附近不斷產(chǎn)生振蕩且速度緩慢。而含衰減因子的自適應(yīng)卡爾曼濾波已顯著的逼近實(shí)測(cè)值，并且隨著時(shí)間的積累，沒(méi)有出現(xiàn)明顯的發(fā)散現(xiàn)象和振蕩現(xiàn)象。

為了更加直觀地比較三種濾波方法的精度和處理效果，繪制如圖4和圖5所示的誤差分析圖，定性地比較三種濾波方法的效果。

表1 監(jiān)測(cè)點(diǎn)在X方向上的濾波值與實(shí)測(cè)值比較

表2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)在Y方向上的濾波值與實(shí)測(cè)值比較

圖2 x方向上三種濾波方法的濾波值

圖3 y方向上三種濾波方法的濾波值

由圖4和圖5明顯看出，經(jīng)典卡爾曼濾波在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中所帶來(lái)的偏差較大且不穩(wěn)定，而改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波方法收斂速度最快，并且能夠精確地接近真實(shí)狀態(tài)。圖4中，經(jīng)典卡爾曼濾波算法雖然在前8期數(shù)據(jù)之前誤差都可以穩(wěn)定在1個(gè)單位的誤差范圍，但在第9和第10期數(shù)據(jù)中，開始出現(xiàn)明顯的發(fā)散現(xiàn)象，并且誤差呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，這在圖5中也出現(xiàn)了相似的情況。在采用自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行處理時(shí)，通過(guò)圖4和圖5看出，濾波效果有了很明顯的改善，并且濾波值與實(shí)測(cè)值的誤差逐漸縮小，能夠穩(wěn)定在0.5個(gè)單位的誤差范圍內(nèi)，很好地解決了經(jīng)典卡爾曼濾波法由于對(duì)系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確帶來(lái)的濾波發(fā)散的問(wèn)題，但濾波偏差值卻出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象，趨近于實(shí)測(cè)值的速度變慢了。

反觀使用改進(jìn)自適應(yīng)卡爾曼濾波算法計(jì)算的誤差，在前5期數(shù)據(jù)誤差就已經(jīng)降到0.3個(gè)單位的誤差范圍，之后偏差很快逼近于實(shí)測(cè)值，且整體變化平穩(wěn)，收斂速度非?？?。由此，驗(yàn)證了本文所述方法的有效性，在變形監(jiān)測(cè)中達(dá)到了非常好的效果，其收斂速度和濾波精度都優(yōu)于經(jīng)典卡爾曼濾波算法和自適應(yīng)卡爾曼濾波算法。

圖4 x方向上三種濾波方法的誤差對(duì)比

圖5 y方向上三種濾波方法的誤差對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)地鐵變形監(jiān)測(cè)問(wèn)題，考慮到自適應(yīng)卡爾曼濾波算法出現(xiàn)收斂速度緩慢甚至發(fā)散的現(xiàn)象，本文在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，引入指數(shù)型衰減因子，從而降低陳舊測(cè)量值對(duì)估計(jì)的影響，將推導(dǎo)出的衰減因子冪值表達(dá)式應(yīng)用到改進(jìn)算法中進(jìn)行Matlab仿真。結(jié)果表明，相比較于未改進(jìn)的算法，該方法能夠較好地用來(lái)處理動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，具有收斂速度快、精度高、可靠性好等優(yōu)勢(shì)。

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