基于格林函數(shù)的永磁同步電機(jī)瞬態(tài)溫度計(jì)算方法

彭潤澤，張 琪，黃蘇融，劉朋鵬，郭建文

(1.上海大學(xué)，上海 200072;2．上海大郡動力控制技術(shù)有限公司，上海 201114)

0 引 言

伴隨著效率、成本以及材料利用率要求的不斷提高，高密度永磁同步電機(jī)的電磁負(fù)荷和熱負(fù)荷選取趨于極限，導(dǎo)致單位體積發(fā)熱量明顯增大，帶來了嚴(yán)重的發(fā)熱問題。過大的發(fā)熱量導(dǎo)致溫升超過材料允許的承受范圍，進(jìn)而破壞其物理屬性，甚至導(dǎo)致永磁體的不可逆退磁以及繞組絕緣材料被擊穿[1-2]。因此，準(zhǔn)確計(jì)算永磁同步電機(jī)內(nèi)部溫度，特別是一些局部過熱點(diǎn)溫度，具有十分重要的意義。

常用的永磁同步電機(jī)溫度計(jì)算方法主要有簡化公式法、等效熱網(wǎng)絡(luò)法和基于計(jì)算機(jī)商用軟件的仿真方法等。簡化公式法算法相對簡單，但誤差較大。等效熱網(wǎng)絡(luò)法只能得到電機(jī)各部件的平均溫升，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算快速、傳熱路徑清晰，便于方案評估,但是，目前的熱網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算精度難以保證。基于計(jì)算機(jī)商用軟件的仿真方法可以分為有限元分析和計(jì)算流體力學(xué)，這2種分析方法都能準(zhǔn)確計(jì)算電機(jī)的瞬態(tài)溫升與溫度分布，但都極其依賴于幾何模型以及計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力，且耗時(shí)較多[3-5]。

電機(jī)中各部件的溫度值是邊界條件、各發(fā)熱源以及前一狀態(tài)溫度值構(gòu)成的復(fù)雜函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，電機(jī)經(jīng)常工作在額定運(yùn)行、峰值運(yùn)行和停止等多種不同工況，難以精確計(jì)算電機(jī)溫升。文獻(xiàn)[6]提出了一種計(jì)算全封閉式風(fēng)冷異步電機(jī)瞬態(tài)溫升的響應(yīng)函數(shù)法。這種方法引入格林方程,并將其視為一種可以用有限元法得到的函數(shù)。本文將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步展開研究，提出了一種基于格林函數(shù)的水冷式永磁同步電機(jī)溫升計(jì)算方法，并考慮了不同工況對響應(yīng)函數(shù)的影響。該方法通過求解電機(jī)內(nèi)的導(dǎo)熱方程，可以計(jì)算任意工況下永磁同步電機(jī)中任意點(diǎn)的瞬態(tài)溫度和任意部件的平均瞬態(tài)溫度。本文還以一臺48槽8極水冷式永磁同步電機(jī)為例，將該計(jì)算方法結(jié)果與有限元仿真、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，吻合度較好，驗(yàn)證了其有效性。

1 電機(jī)內(nèi)導(dǎo)熱方程的求解

1.1 格林函數(shù)法求解單一物體的導(dǎo)熱方程

假設(shè)熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度、比熱容和散熱系數(shù)不隨溫度的變化而變化，則可以認(rèn)為各發(fā)熱體構(gòu)成的系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)，滿足疊加定理。

針對單一熱源的熱傳導(dǎo)方程在直角坐標(biāo)系下可表示：

(1)

三類邊界條件可統(tǒng)一表示：

(2)

式中：n表示邊界S面上沿界面外法線方向的導(dǎo)數(shù)；h表示邊界S上的散熱系數(shù)；f表示邊界函數(shù)。

假設(shè)式(1)的初始條件：

T(p,t)t=0=0

(3)

應(yīng)用格林函數(shù)法求解瞬態(tài)導(dǎo)熱方程式(1)，得到解：

(4)

式中：G11為在邊界條件脈沖函數(shù)下的溫度響應(yīng)格林函數(shù)；G12為在熱源脈沖函數(shù)下的溫度響應(yīng)格林函數(shù)。對于幾何形狀復(fù)雜的物體，G11和G12通常是不具有解析解的[7]，因此需要借助有限元法輔助得到G11和G12。式(4)的離散化形式可表述：

(5)

也可以表達(dá)為卷積運(yùn)算形式：

T(p,t)=G11(p,t)*f(t)+G12(p,t)*qv(t)

(6)

式中：*表示卷積運(yùn)算。

1.2 格林函數(shù)法求解多物體的導(dǎo)熱方程

多個(gè)物體的傳導(dǎo)方程中的各個(gè)系數(shù)將會因?yàn)槲矬w物理性質(zhì)而不同。以2個(gè)物體組成的系統(tǒng)為例。假設(shè)2個(gè)物體接觸面之間的熱流不會損失，如圖1所示。

圖1 2個(gè)接觸物體的熱傳導(dǎo)情況

因此，接觸面邊界方程：

(7)

式中：qin是2個(gè)物體之間交換的熱量；k1和k2分別表示材料I和材料II的熱傳導(dǎo)系數(shù)；Sin表示接觸面。

同樣假設(shè)初始條件均為0，同理可以得到2個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)的瞬態(tài)溫度解：

(8)

式中：G21為物體二的邊界條件脈沖函數(shù)下的溫度響應(yīng)格林函數(shù);G22為物體二的熱源脈沖函數(shù)下的溫度響應(yīng)格林函數(shù)。

同理，多個(gè)物體的離散化求解表達(dá)式可以由2個(gè)物體的情況推廣而得，可表示：

(9)

式中：m取決于邊界數(shù)；n取決于熱源數(shù)量。

1.3 格林函數(shù)法的等效變換

式(9)提供了求解電機(jī)內(nèi)任意點(diǎn)瞬態(tài)溫升的離散解析表達(dá)式。但是，脈沖函數(shù)在t=0時(shí)刻存在奇異性，不易在仿真軟件中實(shí)現(xiàn)，因此還需要利用卷積的杜哈美爾積分性質(zhì)對其進(jìn)行等效變換，如圖2所示。

圖2 格林函數(shù)等效變換示意圖

若設(shè)F為單位階躍響應(yīng)函數(shù)，則有：

(10)

對于同一線性系統(tǒng)，根據(jù)圖2的等效原理，對式(9)進(jìn)行變換，可得：

(11)

式中：Δfi和Δqvj分別為物體i的邊界條件對離散時(shí)間的增量和物體j的單位熱源對離散時(shí)間的增量。

同樣地，物體的平均溫升可表示：

(12)

式中：Fi1-av為物體i的邊界條件單位階躍函數(shù)下的平均溫度響應(yīng)格林函數(shù)；Fj1-av為物體j的單位熱源階躍函數(shù)下的平均溫度響應(yīng)格林函數(shù)。式(11)和式(12)分別是計(jì)算某一點(diǎn)和部件平均溫升的格林函數(shù)法離散解析表達(dá)式。

2 水冷式永磁電機(jī)仿真計(jì)算實(shí)例

2.1 求解模型的建立和熱參數(shù)的等效

本文以一臺48槽8極電機(jī)為例，其基本參數(shù)如表1所示。

表1 水冷式永磁同步電機(jī)參數(shù)

為縮短仿真時(shí)間，根據(jù)對稱性原理，取單元電機(jī)為計(jì)算域，其三維溫度場仿真模型如圖3所示。

圖3 電機(jī)仿真計(jì)算模型

圖3中，點(diǎn)A位于定子齒頂處；點(diǎn)B位于繞組端部；點(diǎn)C位于永磁體內(nèi)部。電機(jī)在仿真模型中的散熱面包括定、轉(zhuǎn)子端面，繞組端部，機(jī)殼外表面。其中，轉(zhuǎn)子端面散熱系數(shù)受轉(zhuǎn)速影響較大，兩者關(guān)系可表示：

(13)

式中:v為轉(zhuǎn)子線速度。

由式(13)可以看出，不同工況下的轉(zhuǎn)子端面散熱系數(shù)是不同的，因此在計(jì)算時(shí)需要進(jìn)行修正。定子端面和繞組端部的散熱系數(shù)可參考文獻(xiàn)[11]。

本文研究的永磁同步電機(jī)是通過定子外部機(jī)殼的水道冷卻，由于冷卻水道出水口和入水口的溫度差很小[2]，因此可以認(rèn)為冷卻介質(zhì)的溫度為常值，即將機(jī)殼外冷卻水道看作第三類邊界條件進(jìn)行等效。

氣隙也是電機(jī)內(nèi)部互相傳遞熱量的一條路徑，其熱傳導(dǎo)系數(shù)與多種因素有關(guān)。本文采用文獻(xiàn)[8]提出的一種氣隙熱傳導(dǎo)等效方法，其等效熱傳導(dǎo)系數(shù)λδ：

(14)

式中:Reδ為等效雷諾數(shù);Dsi,Dro和δ分別表示定子內(nèi)徑、轉(zhuǎn)子外徑和氣隙長度；n表示轉(zhuǎn)速；γ表示空氣的運(yùn)動粘度。

2.2 基于格林函數(shù)法的水冷式永磁同步電機(jī)溫度計(jì)算

水冷式永磁同步電機(jī)的瞬態(tài)溫升可以通過式(10)計(jì)算，圖4展示了具體流程。

圖4 格林函數(shù)法計(jì)算流程圖

其步驟如下：1) 使用有限元軟件求取不同工況下的響應(yīng)函數(shù)F；2) 確定電機(jī)運(yùn)行工況，假定各部件工作溫度，并判斷所求工況下的響應(yīng)函數(shù)F是否在步驟1中得到。若有，則進(jìn)一步計(jì)算電磁性能，得到各損耗值；若無,則對其進(jìn)行修正后進(jìn)行下一步；3) 利用格林公式計(jì)算溫升，并判斷各部件的假定工作溫度與計(jì)算結(jié)果之差是否滿足精度要求。若滿足，則得出結(jié)果；不滿足,則重新修正各部件工作點(diǎn)溫度，重新進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，直至滿足要求。

2.2.1 各個(gè)熱源下響應(yīng)函數(shù)的求取

將樣機(jī)中損耗分為繞組銅耗、定子鐵耗、永磁體渦流損耗和轉(zhuǎn)子鐵耗4部分，并利用Fluent仿真，以轉(zhuǎn)子端面散熱系數(shù)h=50為例，分別在4部分中添加單位熱源，得到了A,B和C三點(diǎn)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)，其結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看到,各個(gè)熱源對A,B和C三點(diǎn)的影響。A點(diǎn)和B點(diǎn)分別位于定子齒部和繞組端部，相對于永磁體內(nèi)部的C點(diǎn)散熱條件更好，所以達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間更短。

(a) 繞組單位熱源下

(b) 定子單位熱源下

(c) 永磁體單位熱源下

(d) 轉(zhuǎn)子單位熱源下

圖54個(gè)部件添加熱源時(shí)的響應(yīng)函數(shù)

同理可以得到邊界條件的單位階躍函數(shù)響應(yīng)。

2.2.2 不同工況下F函數(shù)的修正

由于轉(zhuǎn)速直接影響轉(zhuǎn)子鐵心端面的散熱系數(shù)，其對轉(zhuǎn)子和永磁體的單位熱源階躍響應(yīng)函數(shù)的影響較為明顯。本文以C點(diǎn)為例，利用Fluent仿真得到不同散熱系數(shù)下其單位熱源響應(yīng)函數(shù)的曲線，如圖6所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)子端面散熱系數(shù)下的C點(diǎn)響應(yīng)函數(shù)曲線

從圖6可以看出，不同轉(zhuǎn)子鐵心端面散熱系數(shù)會對C點(diǎn)溫升計(jì)算造成誤差，所以必須加以修正。

本文提出了一種拉格朗日插值的修正方法。采用h=50，180和380的單位熱源階躍響應(yīng)函數(shù)的數(shù)據(jù)，插值計(jì)算h=280的結(jié)果，并與h=280時(shí)的Fluent仿真結(jié)果作對比，如圖7所示。

圖7 h=280時(shí)C點(diǎn)溫升拉格朗日插值與仿真對比

仿真結(jié)果表明，利用拉格朗日插值法修正不同工況下的散熱系數(shù)是有效的。

2.2.3 基于格林函數(shù)法的瞬態(tài)溫升計(jì)算

本文以變轉(zhuǎn)速變負(fù)載情況為例，計(jì)算樣機(jī)的A,B和C三點(diǎn)瞬態(tài)溫升，其運(yùn)行工況如圖8所示。

圖8 電機(jī)運(yùn)行狀態(tài)

為了驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性，將A,B和C三點(diǎn)的格林函數(shù)法計(jì)算結(jié)果和Fluent仿真結(jié)果進(jìn)行對比，如圖9所示。

(a) A點(diǎn)(定子齒處)

(b) B點(diǎn)(繞組端部)

(c) C點(diǎn)(永磁體內(nèi)部)

從圖9可以看出，電機(jī)在變工況運(yùn)行條件下，格林函數(shù)法計(jì)算結(jié)果與Fluent仿真結(jié)果吻合度較高。A點(diǎn)位于定子齒部，主要受定子鐵耗影響；B點(diǎn)位于繞組端部，其溫升主要是由于繞組電流產(chǎn)生的銅耗導(dǎo)致的，所以帶載時(shí)溫度上升較快，停轉(zhuǎn)無負(fù)載時(shí)溫度降低也較快；C點(diǎn)位于永磁體內(nèi)，主要受轉(zhuǎn)子鐵耗與永磁體渦流損耗影響，其散熱條件較差，所以受電流變化影響較小。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文以繞組端部B點(diǎn)為例，將格林函數(shù)計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)對比

表3結(jié)果顯示，格林函數(shù)法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測得結(jié)果基本吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的正確性。

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于格林函數(shù)的水冷式永磁同步電機(jī)瞬態(tài)溫度計(jì)算的方法，該方法兼?zhèn)淞擞邢拊ǖ臏?zhǔn)確性和解析法的快速性。為快速評估電機(jī)瞬態(tài)溫升提供了一種新的方法，也為電機(jī)溫度的在線監(jiān)視提供了一種新的思路。

本文利用杜哈美爾積分性質(zhì)，對格林函數(shù)進(jìn)行等效變換，解決了有限元仿真中脈沖函數(shù)的奇異性問題，為利用格林函數(shù)法計(jì)算電機(jī)溫升提供了途徑。在此基礎(chǔ)上，還考慮了電機(jī)運(yùn)行時(shí)不同工況對響應(yīng)函數(shù)的影響，并利用拉格朗日插值法進(jìn)行修正，提高了計(jì)算精度。

文末詳細(xì)討論了基于格林函數(shù)的永磁同步電機(jī)瞬態(tài)溫升計(jì)算步驟，并以一臺48槽8極樣機(jī)為例，將該方法計(jì)算結(jié)果分別與Fluent仿真結(jié)果、試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，吻合程度較好，驗(yàn)證了該方法的有效性。

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