DDA法拋物線插補(bǔ)運(yùn)算研究

李雙成,陳興媚

(廣東理工學(xué)院 工業(yè)自動化系，廣東 肇慶 526100)

DDA法又稱數(shù)字積分法，該方法具有運(yùn)算速度快，能夠?qū)崿F(xiàn)多次方曲線插補(bǔ)、多坐標(biāo)軸聯(lián)動控制、脈沖分布均勻及較高的插補(bǔ)精度等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于各種數(shù)控輪廓控制系統(tǒng)中。

1 DDA法插補(bǔ)基本原理

當(dāng)Δt取1個脈沖當(dāng)量“1”時(shí)，有：

圖1 DDA法幾何描述

2 DDA法在拋物線加工中的運(yùn)算分析

2.1 DDA法拋物線插補(bǔ)積分表達(dá)式推導(dǎo)

在拋物線加工過程中，可以效仿DDA法圓弧插補(bǔ)的方法，找到DDA法拋物線插補(bǔ)積分表達(dá)式及拋物線插補(bǔ)器結(jié)構(gòu)框圖。假設(shè)編程輪廓為逆時(shí)針開口向上拋物線(見圖2)，該拋物線起點(diǎn)坐標(biāo)為A(x0，y0)，刀具動點(diǎn)坐標(biāo)為B(xi，yi)，終點(diǎn)坐標(biāo)為E(xe，ye)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2py。兩邊微分，整理得：

由：

得：

令：

則：

vx=pk

vy=xk

圖2 開口向上逆時(shí)針拋物線

假設(shè)經(jīng)過n次累加后，x軸和y軸分別(或同時(shí))到達(dá)終點(diǎn)E(xe，ye)，則可得DDA法拋物線插補(bǔ)積分表達(dá)式為：

令Δt=1，k=1/2N則：

(1)

(2)

式中，k為比例常數(shù)；2N為積分累加器容量；N為累加器、寄存器的位數(shù)。由式1、式2可知，DDA法拋物線插補(bǔ)是對動點(diǎn)B(xi，yi)從起點(diǎn)走向終點(diǎn)過程中，各坐標(biāo)軸每經(jīng)過1個單位時(shí)間間隔Δt=1，分別以增量p和xi同時(shí)累加的過程，若累加器產(chǎn)生溢出，則在相應(yīng)坐標(biāo)方向進(jìn)給一步。

2.2 DDA法拋物線插補(bǔ)器結(jié)構(gòu)框圖構(gòu)建

與DDA法圓弧插補(bǔ)類似，也可用2套數(shù)字積分器，根據(jù)式1和式2構(gòu)成拋物線插補(bǔ)結(jié)構(gòu)框圖。開口向上逆時(shí)針拋物線插補(bǔ)器結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示，圖3中，JVx、JVy為x、y被積函數(shù)寄存器，拋物線插補(bǔ)時(shí)，JVx中存放拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p為不變量；JVy中存放拋物線x軸動點(diǎn)坐標(biāo)為一變量，隨著插補(bǔ)過程的進(jìn)行要及時(shí)修正JVy中的數(shù)據(jù)。對于圖3來說，插補(bǔ)開始JVy中存放起點(diǎn)坐標(biāo)值x0，當(dāng)Δx(x坐標(biāo)軸溢出脈沖)溢出1個脈沖時(shí)，要在JVy中“+1”；反之，JVy中數(shù)據(jù)不變。JRx、JRy為積分累加器，當(dāng)脈沖源發(fā)出1個控制脈沖信號Δt，則x、y積分累加器各累加1次，當(dāng)累加結(jié)果超出JRx和JRy容量(2N)時(shí)，就溢出1個脈沖Δx(或Δy)，這樣經(jīng)過(2N)次累加后，每個坐標(biāo)軸的輸出脈沖總數(shù)就等于該坐標(biāo)的終點(diǎn)函數(shù)值xe和ye，從而控制刀具到達(dá)終點(diǎn)E(xe，ye)[1-2]。

圖3 開口向上逆時(shí)針拋物線插補(bǔ)器結(jié)構(gòu)框圖

2.3 終點(diǎn)判別

DDA法拋物線插補(bǔ)時(shí)，由于各坐標(biāo)軸的方向不同，且到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間也不一定相同，因此應(yīng)分別判斷x、y坐標(biāo)軸進(jìn)給步數(shù)?？梢岳?個終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器J∑x=|xe-x0|和J∑y=|ye-y0|來實(shí)現(xiàn)，把x、y坐標(biāo)所需輸出脈沖數(shù)|xe-x0|、|ye-y0|分別存入2個減法計(jì)數(shù)器中，當(dāng)某一坐標(biāo)軸每輸出1個脈沖時(shí)相應(yīng)計(jì)數(shù)器減1，當(dāng)其減到0時(shí)說明該坐標(biāo)軸已插補(bǔ)到終點(diǎn)，該坐標(biāo)軸即停止累加運(yùn)算；只有當(dāng)兩計(jì)數(shù)器均為0時(shí)才停止拋物線插補(bǔ)計(jì)算。

以上是關(guān)于y軸正半軸對稱開口向上逆時(shí)針DDA法拋物線插補(bǔ)計(jì)算公式推導(dǎo)及結(jié)構(gòu)框圖的構(gòu)建。式1、式2也適用于順時(shí)針拋物線插補(bǔ)(見圖4)，同時(shí)需要重新構(gòu)建插補(bǔ)結(jié)構(gòu)框圖(見圖5)。

圖4 開口向上順時(shí)針拋物線圖

圖5 開口向上順時(shí)針拋物線插補(bǔ)器結(jié)構(gòu)框圖

3 不同開口及不同象限拋物線插補(bǔ)脈沖分配

根據(jù)以上推導(dǎo)思想，可以將其推廣至拋物線的不同開口、不同象限及不同加工方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)的DDA法插補(bǔ)運(yùn)算中去。它們都有一個共同點(diǎn)，就是都在做JV+JR→JR求和運(yùn)算，即累加的方式均一樣，只是某個坐標(biāo)軸的被積函數(shù)JVx或JVy進(jìn)行“+1”修正或“-1”修正，以及溢出脈沖Δx、Δy進(jìn)給方向的正負(fù)不同而已[3-8]。各種情況下脈沖分配及各坐標(biāo)軸的進(jìn)給方向見表1～表4。其中，SR表示順時(shí)針插補(bǔ)拋物線，NR表示逆時(shí)針插補(bǔ)拋物線，下標(biāo)1、2、3、4分別表示所在的象限。

表1 關(guān)于y正半軸對稱順、逆拋物線(開口向上) DDA法插補(bǔ)進(jìn)給方向及相應(yīng)坐標(biāo)修正符號表

表2 關(guān)于x負(fù)半軸對稱順、逆拋物線(開口向左) DDA法插補(bǔ)進(jìn)給方向及相應(yīng)坐標(biāo)修正符號表

表3 關(guān)于y負(fù)半軸對稱順、逆拋物線(開口向下) DDA法插補(bǔ)進(jìn)給方向及相應(yīng)坐標(biāo)修正符號表

表4 關(guān)于x正半軸對稱順、逆拋物線(開口向右) DDA法插補(bǔ)進(jìn)給方向及相應(yīng)坐標(biāo)修正符號表

4 DDA法拋物線插補(bǔ)舉例

采用DDA法插補(bǔ)拋物線軌跡圖如圖6所示。設(shè)第1象限逆時(shí)針拋物線x2=2py，拋物線起點(diǎn)為O(0，0)，終點(diǎn)為E(4，6),拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=1，設(shè)寄存器位數(shù)N=3，應(yīng)用DDA法進(jìn)行拋物線插補(bǔ)。

圖6 DDA拋物線插補(bǔ)軌跡

從前面插補(bǔ)公式推導(dǎo)可知，開始時(shí)，被積函數(shù)JVx=p=1，JVy=0；寄存器容量為2N=23=8,即寄存器滿8，則Δx或Δy溢出1；每個坐標(biāo)溢出1的總個數(shù)就是刀具在該坐標(biāo)軸插補(bǔ)所走的刀數(shù)；終點(diǎn)計(jì)數(shù)器J∑x=|xe-x0|=|4-0|=4，J∑y=|ye-y0|=|6-0|=6。插補(bǔ)過程見表5。

表5 第1象限開口向上逆時(shí)針DDA法拋物線插補(bǔ)運(yùn)算過程

5 結(jié)語

本文系統(tǒng)性地推導(dǎo)和總結(jié)了DDA法插補(bǔ)拋物線的積分函數(shù)運(yùn)算及插補(bǔ)結(jié)構(gòu)框圖的構(gòu)建，并將其拓展到4種不同開口方向及順、逆拋物線的插補(bǔ)中；同時(shí)還給出了不同情況下各坐標(biāo)軸的進(jìn)給方向，為數(shù)控機(jī)床插補(bǔ)復(fù)雜曲線運(yùn)算研究及應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

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