指數(shù)和高斯隨機(jī)粗糙表面光散射特性數(shù)值研究?

閆克丁 付永升 于小寧 楊建華

（西安工業(yè)大學(xué) 西安 710021）

1 引言

粗糙表面光散射是一個(gè)長(zhǎng)期保持吸引力的研究領(lǐng)域，現(xiàn)代科技中許多技術(shù)以此為基礎(chǔ)，比如雷達(dá)，隨著納米技術(shù)的進(jìn)步，根據(jù)光散射理論來(lái)設(shè)計(jì)具有特定表面光學(xué)散射特性的新材料，比如超材料、光子晶體、光時(shí)鐘、可設(shè)計(jì)表面等。第一位理論研究表面散射的學(xué)者是Lord Rayleigh，他在19世紀(jì)末開(kāi)始系統(tǒng)研究粗糙表面的波散射而難題，研究了光垂直入射到正弦表面的散射現(xiàn)象［1］，1913年Mandel'shtam［2］第一個(gè)考慮到隨機(jī)粗糙表面散射，開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)新的研究領(lǐng)域：隨機(jī)粗糙表面的波散射，他主要研究了液體表面的光散射。近年來(lái)一些隨機(jī)表面光散射的新現(xiàn)象被理論預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如多次散射，增強(qiáng)后向散射，衛(wèi)星峰現(xiàn)象等［3～5］。目前廣泛使用的隨機(jī)粗糙表面光散數(shù)值計(jì)算仿真方法有電磁場(chǎng)數(shù)值方法包括有限元法（FEM）、時(shí)域有限差分法（FDTD）和矩量法（MOM）等方法［6～8］。FEM和FDTD數(shù)值計(jì)算需要對(duì)整個(gè)仿真域進(jìn)行離散，MOM則只需對(duì)粗糙表面進(jìn)行離散，是一種有效研究這類粗糙面散射問(wèn)題的方法及工具。

在目前隨機(jī)粗糙表面的光散射研究中時(shí)，大部分的文獻(xiàn)采用的是高斯分布隨機(jī)粗糙表面，而對(duì)指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面的散射特性研究較少，指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面適用于描述具有尖峰的不規(guī)則表面，通過(guò)對(duì)指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面的光散射性質(zhì)的研究，可以幫助我們了解這類表面的光學(xué)性質(zhì)。因此本文生成采用線性濾波法分別生成高斯分布和指數(shù)分布的隨機(jī)粗糙表面，采用矩量法數(shù)值計(jì)算兩類隨機(jī)表面的平均差分散射系數(shù)，對(duì)比兩類表面的光散射特性。

2 隨機(jī)粗糙表面

一般可認(rèn)為隨機(jī)粗糙表面高度可由許多不同頻率的諧波疊加而成，因此可采用線性濾波法來(lái)生成隨機(jī)粗糙面：先進(jìn)行頻域?yàn)V波，然后進(jìn)行逆傅里葉變換得到粗糙面高度，來(lái)生成模擬隨機(jī)粗糙面模型［9～10］。根據(jù)以上分析，長(zhǎng)度為 L 的一維粗糙面模型可表示為

3 錐形入射波

隨機(jī)表面光散射計(jì)算時(shí)，需要計(jì)算無(wú)限大表面，但數(shù)值計(jì)算只能針對(duì)有限尺寸的表面，因此必須對(duì)表面截?cái)?。?dāng) ||x，y＞L時(shí)，表面電流密度為0，在表面的邊界會(huì)產(chǎn)生電流密度的突變。通常有兩種方法處理電流密度突變：設(shè)置周期邊界和錐形入射波。設(shè)置周期邊界方法會(huì)產(chǎn)生近似，引入誤差，一般較少使用；錐形入射波具有Gauss特性，入射波在邊界時(shí)衰減到0，這樣可避免表面電流密度的突變。

一維錐形入射波公式：

入射波波矢為

其中，g為錐形寬度，一般選擇在L 4和L 10之間，決定入射波寬度和隨機(jī)粗糙表面尺寸，g越大，入射波寬度越大，粗糙表面尺寸越大，計(jì)算結(jié)果更精確，但計(jì)算強(qiáng)度增加，計(jì)算時(shí)間加大，因此必須選擇合適的g值，錐形寬度由入射角決定，隨機(jī)粗糙表面的長(zhǎng)度L由g決定。

根據(jù)上式可得一維錐形入射波的振幅分布如圖1所示。

圖1 一維錐形入射波的振幅分布

4 基于MOM粗糙表面散射計(jì)算方法

一維隨機(jī)粗糙表面散射示意圖如圖2所示，θi為入射角，θs為散射角，ki為入射光波矢，ks為散射光波矢。

圖2 一維隨機(jī)粗糙表面散射結(jié)構(gòu)示意圖

對(duì)于良導(dǎo)體隨機(jī)粗糙表面光散射，總場(chǎng)等于入射場(chǎng)與散射場(chǎng)之和：

利用格林函數(shù)可得

應(yīng)用格林第二恒等式，化簡(jiǎn)可得到

r在粗糙表面，r′在粗糙面上V0或下V1。

由于光波照射在電介質(zhì)表面上會(huì)產(chǎn)生電流和磁流，因此必須建立電磁場(chǎng)雙積分方程：

根據(jù)邊界條件：

其中當(dāng)入射光為S偏振光時(shí)，ρ為μ1μ，入射光為P偏振光時(shí)ρ為ε1ε，將邊界條件帶入節(jié)分方程得

對(duì)于金屬表面和電介質(zhì)表面散射得到的積分方程（15）和（18）采用點(diǎn)配法得到矩陣方程，采用Bi-CGSTAB算法求解矩陣方程，最后得到散射場(chǎng)ψ(r′)S

當(dāng) r′在遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)，散射場(chǎng)波矢=sinθS+cosθS，g(r ， r′)為格林函數(shù)為

5 結(jié)果與討論

光散射特性進(jìn)行數(shù)值研究選擇入射光波長(zhǎng)λ=1.064μm，每個(gè)參數(shù)的計(jì)算分別產(chǎn)生10000個(gè)樣本表面，每個(gè)樣本長(zhǎng)度為100λ，數(shù)值計(jì)算采樣點(diǎn)數(shù)為N=2048。選擇一組表面，表面粗糙度參數(shù)如表1所示，這些表面屬于常見(jiàn)的微粗糙和弱粗糙表面。

表1 粗糙表面樣本粗糙度參數(shù)

高斯分布隨機(jī)粗糙良導(dǎo)體表面在30°入射角情況下散射結(jié)果結(jié)果圖3所示。

對(duì)良導(dǎo)體隨機(jī)粗糙表面光散射MDRC分布特性用分布寬度、散射峰值、峰位置三個(gè)參量表示。

從圖3中可以看到高斯分布隨機(jī)粗糙表面散射特性，T=2λ固定不變，當(dāng) δ=0.1λ時(shí)，如圖3（a）中出現(xiàn)鏡像散射峰，S入射光與P入射光散射分布相似，鏡像峰值隨著入射角的增大而增大；隨著δ的增大，散射強(qiáng)度分布變寬，出現(xiàn)類似朗伯體漫反射現(xiàn)象，散射強(qiáng)度分布變寬，因此在T固定時(shí)，δ會(huì)有一個(gè)朗伯散射區(qū)間出現(xiàn)，朗伯散射強(qiáng)度隨著入射角度的增大而增大，但增幅不大，并且散射峰值向大散射角方向移動(dòng)，此時(shí)S入射光比P入射光散射峰值要大一些；隨著δ的進(jìn)一步增大，δ=0.8λ時(shí)S入射光散射出現(xiàn)后向增強(qiáng)峰值，P光則沒(méi)有，后向增強(qiáng)峰值在θi＜20°時(shí)比較明顯，并且隨入射角增大，后向增強(qiáng)峰值變小，對(duì)比圖3（K）（L）（M）可發(fā)現(xiàn)隨粗糙度增大，后向散射峰值變大。

圖3 高斯分布隨機(jī)粗糙表面光散射MDRC分布

圖4 指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面光散射MDRC分布

從圖4中可得到指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面散射特征：δ=0.1λ時(shí)，指數(shù)分布粗糙表面具有與高斯分布粗糙表面相似的散射特征，散射光強(qiáng)相近。δ=0.2λ時(shí)，指數(shù)分布粗糙表面與高斯分布粗糙表面散射光有相同的峰值，但是散射光強(qiáng)分布曲線有差異，指數(shù)分布粗糙表面散射分布曲線具有指數(shù)增長(zhǎng)和下降趨勢(shì)，而高斯粗糙表面的散射分布對(duì)稱。δ=0.3λ時(shí)，指數(shù)分布粗糙表面散射峰值與δ=0.4λ的高斯分布粗糙表面散射峰值相同，但散射分布有差異，高斯分布粗糙表面散射分布比較光滑，而指數(shù)分布粗糙表面散射分布比較尖銳。當(dāng)δ=0.4λ時(shí)，指數(shù)分布粗糙表面的散射峰值與δ=1λ的高斯分布粗糙表面散射峰值相同，指數(shù)分布粗糙表面散射為朗伯散射，散射寬度比指數(shù)分布粗糙表面散射寬度更寬。隨著方均根高度進(jìn)一步增大，當(dāng)δ=0.5λ和δ=0.6λ時(shí)，指數(shù)分布粗糙表面散射分布出現(xiàn)后向峰值，并且分布曲線以接近直線的形式向峰值兩端下降。經(jīng)指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面與高斯分布粗糙表面散射光特性對(duì)比可知，具有相同粗糙參數(shù)情況下，指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面比高斯分布粗糙表面顯得更為粗糙。

為了更好地對(duì)比指數(shù)分布粗糙表面和高斯分布粗糙表面的散射特征，設(shè)定一組粗糙表面參數(shù)：粗糙面方均根高度為δ=0.5λ，相關(guān)長(zhǎng)度為T=4λ，采樣點(diǎn)數(shù)N=2048，粗糙面長(zhǎng)度L=100λ。使用該組粗糙參數(shù)分別生成指數(shù)分布表面和高斯分布表面兩種表面，如圖5所示。

圖5 高斯分布與指數(shù)分布一維隨機(jī)粗糙表面

從圖5中可看出，相同隨機(jī)數(shù)生成的高斯分布和指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面之間有相似的起伏變化趨勢(shì)，但高斯表面比較光滑，指數(shù)表面相比于高斯表面具有更多毛刺，因而比高斯分布粗糙表面更加粗糙，從而造成了上述指數(shù)分布表面和高斯分布散射結(jié)果的差異。

6 結(jié)語(yǔ)

本文研究了高斯分布和指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面的光散射分布特性，采用線性濾波法生成一組高斯分布和一組指數(shù)分布隨機(jī)粗糙表面，采用基于矩量法的蒙特卡羅算法分別計(jì)算了指數(shù)分布和高斯分布表面的散射光強(qiáng)度平均差分散射系數(shù)MDRC，分析了MDRC分布、散射峰值、散射峰位置等特征。數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示高斯分布和指數(shù)分布隨機(jī)粗糙面的散射特征具有顯著差異，研究結(jié)果對(duì)復(fù)雜背景下提高激光雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別能力具有重要意義。

［1］Rayleigh L.On the dynamical theory of gratings［J］.Pro?ceedings of the Royal Society of London.Series A，Con?taining Papers of a Mathematical and Physical Character，1907，79（532）：399-416.

［2］Landsherg G S，Mandelstam L I.New phenomenon in scat?tering of light（preliminary report）.Journal of the Russian Physico-Chemical Society，1928，Physics Section 60，335-336.

［3］Letnes P A，Maradudin A A，Nordam T，et al.Calcula?tion of the Mueller matrix for scattering of light from two-dimensional rough surfaces［J］.Physical Review A，2012，86（3）：031803.

［4］Simonsen I，Maradudin A A.Numerical simulation of elec?tromagnetic wave scattering from planar dielectric films de?posited on rough perfectly conducting substrates［J］.Op?tics communications，1999，162（1）：99-111.

［5］O'Donnell K A，Méndez E R.Enhanced specular peaks in diffuse light scattering from weakly rough metal surfaces［J］.JOSA A，2003，20（12）：2338-2346.

［6］Harvey J E，Krywonos A，Vernold C L.Modified Beck?mann-Kirchhoff scattering model for rough surfaces with large incident and scattering angles［J］.Optical Engineer?ing，2007，46（7）：078002.

［7］Simonsen I，Vandembroucq D，Roux S.Electromagnetic wave scattering from conducting self-affine surfaces：an analytic and numerical study［J］.JOSA A，2001，18（5）：1101-1111.

［8］Bruce N C，Dainty J C.Multiple scattering from random rough surfaces using the Kirchhoff approximation［J］.Jour?nal of modern optics，1991，38（3）：579-590.

［9］Hu Y.Z.and Tonder K.Simulation of 3-D random rough surface by 2-D digital filter and fourier analysis.Interna?tional Journal of Machine Tools and Manufacture，1992，32（12）：83-90.

［10］Patir，N.，A numerical procedure for random generation of rough surfaces.Wear，1978.47（2）：263-277.