基于BQGA的重型液氧/煤油發(fā)動(dòng)機(jī)柔性波紋管波形優(yōu)化研究

趙 劍，譚永華，陳建華

(1.西安航天動(dòng)力研究所，陜西 西安 710100； 2.航天推進(jìn)技術(shù)研究院，陜西 西安 710100)

0 引 言

我國(guó)500噸級(jí)重型液氧/煤油發(fā)動(dòng)機(jī)(簡(jiǎn)稱發(fā)動(dòng)機(jī))將采用“泵后搖擺”的總體布局，即在渦輪出口與推力室入口之間設(shè)置柔性搖擺環(huán)節(jié)，僅通過擺動(dòng)推力室控制推力矢量和調(diào)節(jié)火箭飛行姿態(tài)。采用“泵后搖擺”總體布局能有效減輕發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量、減小搖擺空間、降低搖擺力矩以及避免質(zhì)心偏斜等，且發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)更緊湊、火箭構(gòu)型更優(yōu)化，但是難點(diǎn)在于研制適用于高溫、高壓、富氧燃?xì)夤r的柔性搖擺組件。

柔性S形波紋管是搖擺組件的補(bǔ)償關(guān)節(jié)，為多層薄壁柔性殼體。對(duì)于該類結(jié)構(gòu)，早期的研究多基于簡(jiǎn)單梁、近似圓柱體以及近似殼體假定而得到彈性理論解，后來錢偉長(zhǎng)先生利用軸對(duì)稱理論提出了細(xì)環(huán)殼的一般解[1]，開創(chuàng)了軸對(duì)稱圓環(huán)殼的攝動(dòng)求解方法。黃黔[2]建立了具有曲率突變和切向突變的軸對(duì)稱波紋殼微分方程組，后來黃黔指導(dǎo)朱衛(wèi)平[3-5]從E.L.Axelrad的柔性殼理論出發(fā)，分別給出了常用U形、C形、Ω形波紋管整體彎曲問題的一般解，分析了波紋管整體彎曲的非線性特性。時(shí)至今日，波紋管組件在一般工業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用已十分普遍，但研究對(duì)象多限于U形、C形以及Ω形波紋管[6-12]，對(duì)于S形波紋管的研究較為少見。

多層S形波紋管波形優(yōu)化是一個(gè)本質(zhì)多變量、多目標(biāo)的最優(yōu)化問題，影響波形結(jié)構(gòu)的特征變量共6類。對(duì)于多變量、多目標(biāo)的優(yōu)化問題，傳統(tǒng)優(yōu)化算法如單純形法、復(fù)合形法等，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的形式要求嚴(yán)格，不利于尋優(yōu)過程的組織和實(shí)施。因此，本文采用量子遺傳算法進(jìn)行波形優(yōu)化，首先建立多層S形波紋管非線性有限元參數(shù)化仿真程序，并分析基于Bloch球面的量子遺傳算法對(duì)波形優(yōu)化問題的適用性；在此基礎(chǔ)上，搭建基于該算法和響應(yīng)面模型的波形優(yōu)化平臺(tái)，最終獲得優(yōu)化波形方案。

1 S形波紋管組件結(jié)構(gòu)特性

搖擺組件的變形補(bǔ)償核心由多層波紋管、鎧裝環(huán)和鎧裝網(wǎng)罩組成(圖1)，其中多層波紋管為柔性連接關(guān)節(jié)，主要補(bǔ)償搖擺變形；鎧裝環(huán)貼合在波紋管身部，承擔(dān)大部分的內(nèi)壓載荷，能顯著提高波紋管的承壓能力；鎧裝網(wǎng)罩包覆在鎧裝環(huán)外圍，除了隔離外部雜質(zhì)，還能進(jìn)一步增強(qiáng)波紋管的承載能力和穩(wěn)定性。

圖1 S形波紋管組件結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of S shaped bellows

圖2 三段圓弧相切式波形Fig.2 Waveform structure of three tangency segment arcs

S形波形特征截面由三段圓弧相切而成(圖2)，使得S形波形平滑過渡，以最大限度減小由于形面不規(guī)整而引起的應(yīng)力集中。波形幾何分析發(fā)現(xiàn)，由于過渡圓弧較短且接近直線，使得整體波形呈現(xiàn)直線相切式特征，若要維持相切直線段存在和保證波形為S形結(jié)構(gòu)，波形參數(shù)必須滿足：

(1)

不滿足要求的波形結(jié)構(gòu)，分為波形不滿足直線相切要求(圖3)和波形不符合S形特征(圖4)兩種。在本文所研究的波形參數(shù)設(shè)計(jì)與優(yōu)化的內(nèi)容中，上述兩種情況的波形組合都被排除在外。

圖3 波形不滿足直線相切要求Fig.3 Example of non-straight line tangency waveform

圖4 波形不符合S形特征Fig.4 Example of non-S shaped waveform

綜合波形幾何特征分析，基于ANSYS平臺(tái)APDL語言和Matlab平臺(tái)，開發(fā)了包含多層S形波紋管、鎧裝環(huán)以及鎧裝網(wǎng)套的參數(shù)化有限元仿真程序?？紤]到搖擺組件及其在內(nèi)壓和軸向載荷作用下結(jié)構(gòu)變形的軸對(duì)稱特性，采用了二維軸對(duì)稱單元SHELL209進(jìn)行分析，波紋管和鎧裝環(huán)材料都為1Cr18Ni9Ti。由于搖擺組件額定工況下的響應(yīng)呈現(xiàn)出高應(yīng)力、大變形以及接觸作用等非線性特征，在有限元模型中也充分考慮了上述非線性效應(yīng)。

2 基于BQGA的S形波形優(yōu)化

2.1 BQGA算法的基本原理

基于Bloch球面坐標(biāo)的量子遺傳算法(Bloch Quantum Genetic Algorithm, BQGA)[13-14]是我國(guó)學(xué)者在基本量子遺傳算法基礎(chǔ)上發(fā)展的進(jìn)化算法，BQGA方法采用三鏈編碼形式，將量子位的平面單元描述拓展到Bloch球面描述，使量子動(dòng)態(tài)行為得以充分體現(xiàn)，并采用基于Bloch球面的旋轉(zhuǎn)進(jìn)化策略，實(shí)現(xiàn)了進(jìn)化參數(shù)的自動(dòng)最佳匹配，避免了不協(xié)同進(jìn)化現(xiàn)象，因而可以更好地模擬量子行為。

2.1.1 量子編碼

采用基于Bloch球面描述的量子比特編碼，種群中第i個(gè)染色體qi編碼形式：

qi=[|φi1〉,|φi2〉,…,|φin〉](i=1,2,…,m)

(2)

式中:m為種群規(guī)模;n為優(yōu)化空間維度;|φij〉表征第i個(gè)染色體的第j維變量：

|φij〉=cos(θij/2)|0〉+sin(θij/2)eiφij|1〉

(3)

式中:θij∈[0,π]；φij∈[0,2π]；eiφ稱為相對(duì)相位因子，采用Bloch球面描述后[21]，量子比特屬于由連續(xù)變量θ和φ所刻畫的矢量空間。在量子計(jì)算理論中，染色體觀測(cè)的實(shí)質(zhì)是|φij〉在基矢量泡利矩陣σx，σy和σz下的投影變換，即：

(4)

2.1.2 解空間變換

根據(jù)量子計(jì)算原理，一個(gè)染色體量子比特|φij〉包含三部分Bloch坐標(biāo)，即對(duì)應(yīng)著三個(gè)潛在最優(yōu)解。由于Bloch坐標(biāo)位于區(qū)間[-1,1]，需要進(jìn)行解空間變換。即假定待優(yōu)化問題中第i個(gè)染色體第j位量子比特|φij〉變量取值區(qū)間為[Aj，Bj]，則解空間變換關(guān)系：

(5)

2.1.3 量子染色體進(jìn)化策略

為了有效利用量子編碼的疊加特性，在Bloch球面進(jìn)行尋優(yōu)搜索，假定當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)內(nèi)最優(yōu)個(gè)體的第j個(gè)量子比特為|φbest,j〉，當(dāng)前種群中第i個(gè)個(gè)體qi的第j維量子比特為|φij〉。

圖5 Bloch量子位旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.5 Diagrammatic sketch of Bloch quantum rotation

最優(yōu)進(jìn)化策略是在Bloch球面上將|φij〉向著|φbest,j〉旋轉(zhuǎn)，如圖5所示，定義旋轉(zhuǎn)軸矢量：

n=qij×qbest,j

(6)

根據(jù)量子計(jì)算原理，在Bloch球面上，以n為旋轉(zhuǎn)軸，將|φij〉向|φbest,j〉旋轉(zhuǎn)角度δ的選擇操作：

(7)

|φij〉=R(δ)|φij〉

(8)

上述進(jìn)化方式的實(shí)質(zhì)為：當(dāng)量子位在Bloch球面上向著目標(biāo)位移動(dòng)時(shí)，經(jīng)過的路徑為當(dāng)前量子位和目標(biāo)量子位Bloch球面大圓劣弧。同時(shí)，為了防止種群進(jìn)化陷入局部最優(yōu)，引入了基于Hadamard門的量子變異策略和量子災(zāi)變策略[12]。

2.2 波形優(yōu)化流程

波形優(yōu)化基于波紋管設(shè)計(jì)方案，假定總壁厚和波數(shù)不變，波形參數(shù)取值范圍見表1。為了保證最大搖擺角度下相鄰波紋管不接觸，取波節(jié)之間的靜態(tài)間隙大于8 mm。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)分布范圍Tab.1 Distribution range of structural parameters

波紋管組件在承受高溫、高壓燃?xì)庾饔玫耐瑫r(shí)，還要補(bǔ)償搖擺變形，保證發(fā)動(dòng)機(jī)可靠工作。因此承壓性能和變形補(bǔ)償性能是衡量波紋管組件結(jié)構(gòu)特性的兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)，具體而言，周向膜應(yīng)力可衡量耐壓強(qiáng)度指標(biāo)，而軸向剛度可表征其補(bǔ)償性能。波形優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

(9)

式中:fs(x)和fk(x)分別表示周向膜應(yīng)力均值和軸向剛度；下標(biāo)m表示膜應(yīng)力。波形優(yōu)化屬于多目標(biāo)優(yōu)化，采用線性加權(quán)將其組合成單優(yōu)化目標(biāo)，并將軸向膜應(yīng)力和軸向剛度分別進(jìn)行歸一化無量綱處理。同時(shí)，采用了基于響應(yīng)面的近似代理模型技術(shù)替代直接有限元求解，避免在優(yōu)化進(jìn)程中采用直接有限元求解導(dǎo)致計(jì)算成本大、時(shí)間長(zhǎng)等問題，波形優(yōu)化流程見圖6和表2。

2.3 波形優(yōu)化結(jié)果

分別采用遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)、量子遺傳算法(Quantum Genetic Algorithm，QGA)和BQGA進(jìn)行波形優(yōu)化，設(shè)定所有算法統(tǒng)一進(jìn)化500代，每個(gè)算法分別進(jìn)行30次獨(dú)立的優(yōu)化計(jì)算，優(yōu)化結(jié)果的統(tǒng)計(jì)值如表3所示，典型尋優(yōu)過程見圖7。

計(jì)算結(jié)果表明，基于三鏈基本編碼形式的BQGA算法能夠較快搜索到最優(yōu)解，兼具尋優(yōu)效率和尋優(yōu)能力強(qiáng)的綜合優(yōu)勢(shì)。優(yōu)化進(jìn)程中采用近似模型替代仿真程序，顯著減少了仿真計(jì)算規(guī)模，降低了設(shè)計(jì)空間搜索的資源耗費(fèi)，極大地提高了尋優(yōu)效率。綜合三種種尋優(yōu)算法得到的理論最優(yōu)波形參數(shù)見表4和圖8。

相對(duì)于基準(zhǔn)方案，理論優(yōu)化方案的膜應(yīng)力均值減少了8.6%，軸向剛度減少了41.32%，即在提高了多層波紋管承壓能力的同時(shí)，還有效減少了變形補(bǔ)償剛度。對(duì)比圖8波形幾何結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，基準(zhǔn)方案波紋管與鎧裝環(huán)擠壓接觸間隙較小，且波形層數(shù)大于理論優(yōu)化方案，從而導(dǎo)致軸向變形剛度增大。同時(shí)，理論優(yōu)化方案的波高和波距都相對(duì)減小，從而縮短了波紋管組件的軸向和徑向尺寸，可以從整體上減少燃?xì)鈸u擺組件的外廓尺寸和總質(zhì)量。

圖6 基于BQGA的波形優(yōu)化流程Fig.6 Optimization processes of bellows based on BQGA

算法：波紋管波形優(yōu)化步驟Step1：初始化種群，隨機(jī)生成單個(gè)以量子比特為編碼的染色體種群。Step2：進(jìn)行量子態(tài)觀測(cè)，形成波形參數(shù)的Bloch描述。Step3：將上述多個(gè)二進(jìn)制解轉(zhuǎn)換為響應(yīng)的十進(jìn)制解，并映射到各個(gè)參數(shù)的取值區(qū)間，形成多個(gè)波形參數(shù)組合，并輸出到波形參數(shù)文件。Step4：逐一讀取波形參數(shù)文件，基于代理模型計(jì)算，輸出目標(biāo)解。Step5：記錄并保留(更新)群體最優(yōu)解，同時(shí)判斷是否滿足終止條件。如果滿足，算法終止；否則，則進(jìn)行Step6。Step6：進(jìn)行選擇進(jìn)化操作。Step7：進(jìn)行量子變異、量子災(zāi)變操作，返回Step2并更新種群。

表3 優(yōu)化算法尋優(yōu)結(jié)果比較Tab.3 Comparison of optimization results fordifferent algorithms

圖7 波形優(yōu)化尋優(yōu)過程比較Fig.7 Comparison of optimization processes for different algorithms

波形參數(shù)r1/mmr2/mmq/mmw/mmc膜應(yīng)力均值/MPa軸向剛度/(N·mm-1)基準(zhǔn)方案11509504900505012131011082347理論優(yōu)化方案12061033417344641411974635117

圖8 波紋管波形優(yōu)化結(jié)果比較Fig.8 Comparison of optimization results of bellows

3 結(jié)束語

將多層S形波紋管組件的波形優(yōu)化問題，處理為多變量、多目標(biāo)的最優(yōu)化問題，基于非線性有限元方法、近似代理模型技術(shù)以及BQGA尋優(yōu)算法搭建了波形優(yōu)化平臺(tái)，并獲得了最優(yōu)波形方案。研究結(jié)果表明：

1)對(duì)于波紋管波形優(yōu)化問題，BQGA方法的尋優(yōu)效率和尋優(yōu)能力都強(qiáng)于遺傳算法和量子遺傳算法；

2)相對(duì)于基準(zhǔn)波形，理論優(yōu)化波形的膜應(yīng)力均值減少了8.6%；優(yōu)化波形增加了波形的連續(xù)性，使得波紋管與鎧裝環(huán)的接觸關(guān)系更為合理，軸向剛度減少了41.32%。即優(yōu)化波形不但增強(qiáng)了多層波紋管的承壓能力，還有效減少了其變形補(bǔ)償剛度。

3)理論優(yōu)化方案的波高和波距都小于基準(zhǔn)方案，可以減小波紋管組件的軸向和徑向尺寸，進(jìn)一步減少結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

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