深空站大氣折射修正模型建模及試驗(yàn)驗(yàn)證

陳永強(qiáng)，喻學(xué)明，龐 然，張 卓，張 雷

（西安衛(wèi)星測(cè)控中心喀什測(cè)控站，喀什844000）

1 引言

隨著測(cè)控雷達(dá)系統(tǒng)的不斷改進(jìn)和完善，電波折射誤差修正的精度已成為外測(cè)系統(tǒng)可能實(shí)現(xiàn)的最高精度的主要限制因素之一［1］。深空測(cè)控系統(tǒng)及深空VLBI系統(tǒng)由于測(cè)量精度高，更加需要精確修正大氣折射誤差。在常用的折射誤差修正方法中，將折射誤差分成兩個(gè)部分，即干項(xiàng)延遲和濕項(xiàng)延遲。干項(xiàng)延遲，又叫天頂靜力學(xué)延遲（Zenith Hydrostatic Delay，ZHD），其變化比較有規(guī)律，可以按照不同的模型推算出來，通常采用Saastamoinen模型和Hopfield模型來計(jì)算；而天頂濕項(xiàng)延遲則較為復(fù)雜，影響因素較多，難以建立相應(yīng)的理論模型，一般采用近似的模型，估算精度只能達(dá)到 10% ～20%［2］。

目前所用的水汽微波輻射計(jì)能較為準(zhǔn)確地測(cè)量出天頂濕項(xiàng)延遲，可以達(dá)到較高的精度［3］，但是水汽微波輻射計(jì)造價(jià)昂貴，安裝調(diào)試?yán)щy，無法大面積布設(shè)，這樣便無法做到對(duì)較大范圍地區(qū)變化劇烈的對(duì)流層大氣狀況進(jìn)行修正。因此，有必要尋找一種折衷的方法，既能有效利用個(gè)別水汽微波輻射計(jì)的測(cè)量精度，又能較好地滿足某一較大區(qū)域內(nèi)的對(duì)流層折射修正要求。

本文通過GNSS、水汽微波輻射計(jì)及氣象設(shè)備對(duì)電離層、對(duì)流層介質(zhì)傳輸誤差進(jìn)行數(shù)據(jù)采集、分析與擬合，以在精度大致相當(dāng)?shù)臈l件下，建立更加經(jīng)濟(jì)、實(shí)用的大氣折射模型。

2 經(jīng)典大氣折射修正模型

某一地區(qū)溫度、濕度、壓強(qiáng)等氣象資料中，地表氣象參數(shù)可近似反映天頂方向上的氣象變化，用解析的方法處理可得到中性大氣天頂延遲模型［1，4］。 模型因近似方法的不同而各異，其中具有代表性的是折射指數(shù)基礎(chǔ)模型采用Smith-Weuntraub模型的 Saastamoinen模型和 Hopfield模型，其中以Saastamoinen模型應(yīng)用較為廣泛。然而，Hopfield模型由于沒有引入海拔項(xiàng)，導(dǎo)致其通用模型在不同海拔地區(qū)適應(yīng)性不強(qiáng)［5］；Saastamoinen模型考慮了海拔因素，精度較Hopfield有所提高，但其修正公式中所用常數(shù)項(xiàng)由經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)所得，由于不同地區(qū)氣候特征差異較大，用同一個(gè)公式修正將產(chǎn)生誤差［5］。Saastamoinen模型天頂延遲模型經(jīng)過化簡(jiǎn)近似后可表示為式（1）［5］：

式中：ΔL代表天頂延遲（mm）；Ps是測(cè)站表面的大氣壓（hPa）；Pv是水汽分壓（hPa），可由式（2）計(jì)算［4］。

式中，Ts是測(cè)站溫度（攝氏度）；RH是相對(duì)濕度，可從測(cè)試儀器上測(cè)量得到。得到天頂方向的折射修正量后，通過投影函數(shù)，便可以得到任意仰角上的折射修正量。假設(shè)均勻一致的中性大氣和扁平的地球，則投影函數(shù)可以近似用式（3）所示余割函數(shù)表示［1］：

這些經(jīng)典模型雖然使用范圍廣泛，但應(yīng)用于某一特定地區(qū)，卻存在精度不高和適應(yīng)性不強(qiáng)的問題，難以滿足高精度測(cè)量的需求。因此，本文從深空站特定地區(qū)大氣折射數(shù)據(jù)分析出發(fā)，通過統(tǒng)計(jì)分析和非線性回歸，構(gòu)建最適合該地區(qū)的大氣折射修正模型。

3 修正模型推導(dǎo)及試驗(yàn)驗(yàn)證

本文在2013至2015年深空站地區(qū)大氣折射延遲數(shù)據(jù)及氣象數(shù)據(jù)積累的基礎(chǔ)上，通過兩種方法來推導(dǎo)和建立了深空站區(qū)域電波折射修正模型：1）基于多項(xiàng)式擬合的大氣折射修正量統(tǒng)計(jì)模型；2）基于非線性回歸的大氣折射修正量解析近似模型。

3.1 統(tǒng)計(jì)模型構(gòu)建

該模型通過對(duì)大氣折射修正量統(tǒng)計(jì)規(guī)律的總結(jié)，基于天頂方向、不同仰角方向在不同時(shí)間積累的大量數(shù)據(jù)，利用多項(xiàng)式擬合的方法，構(gòu)建深空站區(qū)域不同仰角、不同時(shí)間的大氣折射誤差模型。

3.1.1 天頂方向統(tǒng)計(jì)模型的建立

通過對(duì)深空站地區(qū)2013年到2015年大量天頂方向的大氣折射誤差數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：天頂方向?qū)α鲗雍碗婋x層的大氣折射誤差基本保持在一個(gè)固定值附近，而且在這個(gè)固定值附近的波動(dòng)有一定的規(guī)律性。這些數(shù)據(jù)的時(shí)間分布圖如圖1～2所示，兩圖中線條分別表示2014年7月14到2014年7月20連續(xù)七天，對(duì)流層和電離層天頂方向折射誤差的周日變化。

圖1 對(duì)流層天頂方向距離折射誤差Fig．1 Tropospheric zenith direction distance refractive error

因此，本文使用先平均再擬合的方法，首先求出電離層和對(duì)流層天頂方向折射修正量24 h變化規(guī)律的平均值，然后在平均值數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，對(duì)于對(duì)流層和電離層修正結(jié)果分別使用多項(xiàng)式擬合，

圖2 電離層天頂方向距離折射誤差Fig．2 Zenith distance ionospheric refraction error

便可以得到天頂方向折射修正量在24 h內(nèi)隨時(shí)間的變化規(guī)律。設(shè)電離層天頂方向折射值為DTz，對(duì)流層天頂方向折射值為Dtropz，根據(jù)多項(xiàng)式擬合原理，折射值與時(shí)間的關(guān)系可以表示為式（4）～（5）：

通過選擇多項(xiàng)式合適的階數(shù)，便可以得到計(jì)算量、精度均能滿足需求的擬合結(jié)果，由此便可以得到多項(xiàng)式的系數(shù)向量。本文圖1～2中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得擬合結(jié)果如圖3～4所示，同時(shí)求得電離層和對(duì)流層天頂方向擬合結(jié)果的系數(shù)向量分別為：a ＝ ［ － 1.4547 × 1010－12，1.5623 × 10－8， －5.9833 ×10－5，0.8716］，擬合殘差為 0.1006 m；b＝［ －2.5588 ×10－16，3.2658 ×1010－11，－9.5837×10－7， 2.0264］，擬合殘差為：0.0025 m。

圖3 電離層天頂方向距離折射誤差擬合結(jié)果Fig．3 Fitting results of ionospheric distance refraction error

3.1.2 各個(gè)仰角方向統(tǒng)計(jì)模型的建立

圖4 對(duì)流層天頂方向距離折射誤差擬合結(jié)果Fig．4 Fitting results of tropospheric range refraction error

按照天頂方向折射誤差擬合的思路，采集其各個(gè)方位、仰角上折射誤差數(shù)據(jù)，如圖5～6所示。由圖5可知，隨俯仰角變化，大氣折射誤差修正量變化明顯；而隨方位角的變化，折射誤差修正量變化不明顯。由圖6可知，各個(gè)仰角上折射誤差值在某一固定值附近隨時(shí)間規(guī)律波動(dòng)，不同仰角上對(duì)流層折射量和電離層折射量隨仰角的變化呈指數(shù)分布。因此，在擬合時(shí)，便可以只考慮折射誤差在不同仰角上的變化，忽略其在不同方位角上的變化。

圖5 折射誤差量隨方位、俯仰角度變化關(guān)系Fig．5 Variation of refractive error with azimuth and pitch angle

圖6 折射誤差量隨俯仰角度變化關(guān)系Fig．6 The relationship between refractive error and pitch angle

根據(jù)以上結(jié)論，對(duì)各仰角上對(duì)流層、電離層的折射誤差分別進(jìn)行擬合，如圖7～8所示。擬合結(jié)果表明，在0°以上仰角條件下，對(duì)流層各仰角擬合誤差優(yōu)于40 cm，電離層優(yōu)于1.2 m。

圖7 對(duì)流層折射誤差量在各個(gè)不同仰角上隨時(shí)間變化關(guān)系Fig．7 Temporal variation of the i tropospheric range error at different pitch angles

圖8 電離層折射誤差量在各個(gè)不同仰角上隨時(shí)間變化關(guān)系Fig．8 Temporal variation of the ionospheric refraction error at different pitch angles

通過試驗(yàn)的方法可進(jìn)一步得到所有整1°仰角上折射誤差隨時(shí)間變化的擬合方程，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)細(xì)化角度進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，然后利用各個(gè)仰角之間折射值的指數(shù)關(guān)系，將折射誤差值在仰角上進(jìn)行插值擬合，就可以得到深空站整個(gè)空域內(nèi)的24小時(shí)大氣折射誤差統(tǒng)計(jì)模型。而且，基于年度累計(jì)的大量數(shù)據(jù)，便可以擬合出大氣折射值在一年中的變化，這樣便得到了該空域內(nèi)年度大氣折射誤差統(tǒng)計(jì)模型。

3.2 解析近似模型推導(dǎo)

根據(jù)某一地區(qū)溫度、濕度、壓強(qiáng)等氣象資料，用解析的方法，利用地表面的氣象參數(shù)近似反映天頂方向上的氣象變化，產(chǎn)生中性大氣天頂延遲模型，在此基礎(chǔ)上，通過投影函數(shù)，就可以得到各個(gè)不同仰角的折射誤差，常用的指數(shù)近似模型主要有雙曲線模型、負(fù)指數(shù)函數(shù)模型以及映射函數(shù)模型等，模型因近似方法的不同而各異。

3.2.1 深空站氣象條件分析

統(tǒng)計(jì)某深空站地區(qū)2005年7月至2015年7月的氣象數(shù)據(jù)、天氣情況如圖9所示，可知該地區(qū)屬于典型的戈壁氣候，空氣濕度隨著年份呈現(xiàn)明顯有規(guī)律的波動(dòng)，且在這10年中，濕度小于40%的時(shí)間為42.15%，濕度小于50%的時(shí)間為55.59%，濕度小于60%的時(shí)間為69.09%，但這些數(shù)據(jù)是深空站附近綠化、濕度等條件較好的城鎮(zhèn)的數(shù)據(jù)，深空站實(shí)際的大氣更加干燥。在十分干燥的條件下，大氣折射修正值將很大程度上取決于干項(xiàng)。

根據(jù)文獻(xiàn)［1］結(jié)論，在總的對(duì)流層折射誤差中，干項(xiàng)延遲占90%左右，濕項(xiàng)延遲只占約10%，干項(xiàng)延遲可以通過模型精確計(jì)算得出。因此，在空氣干燥的戈壁地區(qū)，使用經(jīng)過參數(shù)修正的大氣折射修正模型，能夠比較精確地計(jì)算對(duì)流層大氣折射修正量。

圖9 某地2005年到2015年濕度統(tǒng)計(jì)Fig．9 Moisture statistics from 2005 to 2015 in a certain region

3.2.2 天頂方向?qū)α鲗咏馕鼋颇Ｐ偷慕?/p>

通過對(duì)現(xiàn)有指數(shù)近似模型對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Saastamoinen模型在本地區(qū)的應(yīng)用中，在計(jì)算精度上較其他模型有較大優(yōu)勢(shì)［5］。Saastamoinen模型作為理論回歸方程如式（6）所示，其包含a～g七個(gè)待定參數(shù)［5］。

參數(shù)的初值可以設(shè)置為Saastamoinen模型的參考值（a0＝0.002277，b0＝0.05，c0＝1255，d0＝－37.2465，e0＝0.213166， f0＝0.000256908，g0＝0）［6］。然后用非線性回歸參數(shù)估計(jì)迭代算法，帶入實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代運(yùn)算，便可以得到參數(shù)的估計(jì)值。通過對(duì)前期大量對(duì)流層天頂方向數(shù)據(jù)的擬合，得到待估參數(shù)（a＝ －0.0013694，b0＝0.05，c＝1255，d ＝ － 37.246， e ＝ 0.21317，f ＝－0.00025691，g＝3.1939）。 經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，擬合值與實(shí)測(cè)值最大偏差優(yōu)于2.1 cm，均方根誤差0.00849 m，擬合結(jié)果如圖10～11所示。

圖10 對(duì)流層折射修正量擬合值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig．10 Comparison of fitting values of tropospheric refraction correction and measured values

3.2.3 不同仰角上折射修正量解析近似模型的建立

從圖6數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖可看出，對(duì)流層和電離層距離折射誤差值與仰角之間呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)

圖11 對(duì)流層折射修正擬合值與實(shí)測(cè)值之差Fig．11 Difference between fitting values of tropospheric refraction correction and measured values

系，可以考慮做非線性回歸。根據(jù)散點(diǎn)圖走勢(shì)，選取以下兩類函數(shù)作為理論回歸方程

1）常用數(shù)學(xué)函數(shù)

（1）雙曲線函數(shù)

（2）負(fù)指數(shù)函數(shù)

2）利用式（3）映射函數(shù)進(jìn)行回歸分析

假設(shè)均勻一致的中性大氣和扁平的地球，則投影函數(shù)可以近似用余割函數(shù)表示。

式（3）是一個(gè)最簡(jiǎn)化的映射函數(shù)，可以通過增加多項(xiàng)式因素提高其映射精度。因此，本文建立了如式（9）所示N階對(duì)流層延遲模型。

其中，Dt為天頂方向延遲。通過運(yùn)用測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，通過非線性回歸，得到各個(gè)方程的系數(shù)，擬合結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出，在0°以上仰角條件下，映射函數(shù)在殘差、均方根誤差及判定系數(shù)方面，具有明顯的優(yōu)勢(shì)。因此選擇式（10）所示映射函數(shù)擬合結(jié)果作為對(duì)流層各個(gè)俯仰角度上的最終映射函數(shù)：

同樣的方法擬合得到電離層各個(gè)不同仰角上的折射修正量與仰角的關(guān)系為式（11）：

表1 各個(gè)不同仰角上對(duì)流層折射誤差擬合方法對(duì)比Table 1 Comparison of fitting method of tropospheric refraction error in different elevation angles

3.3 兩種模型對(duì)比

3.3.1 統(tǒng)計(jì)模型。

本文中統(tǒng)計(jì)模型利用自2013年以來采集的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用多項(xiàng)式擬合的方法，采取先分不同的仰角然后差值擬合的辦法，建立了電離層和對(duì)流層24小時(shí)距離折射誤差變化模型。該模型對(duì)電離層各個(gè)仰角上的擬合精度優(yōu)于1.2 m；對(duì)流層優(yōu)于40 cm。優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定，不依賴與實(shí)測(cè)氣象數(shù)據(jù)，在精度要求不高的情況下可方便使用；缺點(diǎn)是由統(tǒng)計(jì)結(jié)果得到，對(duì)實(shí)時(shí)氣象條件不敏感，導(dǎo)致精度不高。

3.3.2 解析近似模型

本文中解析近似模型利用自2013年以來采集的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用非線性回歸的方法，建立了電離層和對(duì)流層距離折射誤差解析近似模型。該模型對(duì)各個(gè)仰角上的擬合均方根誤差為：0°以上仰角電離層優(yōu)于0.17 m；對(duì)流層優(yōu)于0.24 m；10°以上仰角對(duì)流層優(yōu)于26 cm；15°以上仰角對(duì)流層優(yōu)于18 cm。該模型優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量精度高，經(jīng)濟(jì)、實(shí)用，可直接產(chǎn)生符合深空測(cè)控需求的折射修正數(shù)據(jù)文件；缺點(diǎn)是受氣象數(shù)據(jù)采集設(shè)備精度影響較大。

3.4 模型試驗(yàn)驗(yàn)證

3.4.1 模型的檢驗(yàn)

以本文解析近似模型為基礎(chǔ)，利用Matlab編寫大氣折射誤差測(cè)量系統(tǒng)，通過溫度、濕度、壓強(qiáng)等氣象參數(shù)，預(yù)測(cè)天頂方向?qū)α鲗诱凵湫拚浚煌ㄟ^讀取天線仰角，預(yù)測(cè)不同仰角上的對(duì)流層和電離層折射修正量。

3.4.2 模型的應(yīng)用

利用所建立的系統(tǒng)，對(duì)2014年10月24到29日，嫦娥五號(hào)T1任務(wù)期間數(shù)據(jù)進(jìn)行了應(yīng)用驗(yàn)證，系統(tǒng)預(yù)測(cè)結(jié)果與微波輻射計(jì)測(cè)量結(jié)果之間的對(duì)比如圖12、圖13所示。結(jié)果顯示，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合較好。

圖12 軟件預(yù)測(cè)結(jié)果與GPS結(jié)果對(duì)比Fig．12 Comparison of software prediction and GPS results

圖13 測(cè)量系統(tǒng)在嫦娥任務(wù)中的應(yīng)用Fig．13 Application of the measurement system in CE05-T1

4 結(jié)論

1）修正模型測(cè)量10°以上仰角情況下預(yù)測(cè)最大誤差優(yōu)于26 cm，均方根誤差優(yōu)于6 cm。

2）15°以上仰角情況下預(yù)測(cè)最大誤差優(yōu)于18 cm，均方根誤差優(yōu)于3.5 cm。

3）該模型在任務(wù)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用表明，該修正模型測(cè)量結(jié)果與微波輻射計(jì)測(cè)量結(jié)果吻合較好，能夠滿足深空測(cè)控及VLBI測(cè)量大氣折射誤差修正的需求。

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