物體排開液體的體積究竟等于什么

王偉民 托合提外力·阿卜杜熱西提

(1. 安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652； 2. 新疆自治區(qū)皮山縣桑株鎮(zhèn)第一中學(xué)，新疆 皮山 845150)

阿基米德原理說(shuō)的是浸在液體中的物體所受浮力大小與物體排開液體重力間的關(guān)系,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為F浮=G排=ρ液gV排．但凡涉及物體所受液體浮力大小的計(jì)算,條件改變時(shí)物體所受浮力大小變化的判斷,幾個(gè)物體所受液體浮力大小的比較等問(wèn)題,往往需要對(duì)物體排開液體體積的大小進(jìn)行定性比較或定量計(jì)算．教學(xué)中發(fā)現(xiàn),對(duì)各種不同情況下物體排開液體體積大小的判斷問(wèn)題,不僅學(xué)生有時(shí)存在疑慮,而且很多教師也存在不同的看法．

例1.(2016年湖南長(zhǎng)沙中考二模24題)如圖1(甲)所示,臺(tái)秤上放置一個(gè)裝有適量水的薄壁燒杯,杯的底面積為100cm2．如圖1(乙)所示,將一個(gè)長(zhǎng)方體實(shí)心物體A用彈簧測(cè)力計(jì)吊著,然后將其一半浸入燒杯的水中,杯內(nèi)水沒(méi)有溢出,此時(shí)彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為4.5N,臺(tái)秤的示數(shù)為750g,燒杯中液面上升了1.5cm(g取10N/kg).求: (1) 物體A所受的浮力; (2) 物體A的密度; (3) 物體放入燒杯之前燒杯對(duì)臺(tái)秤的壓強(qiáng)．

圖1

這道浮力題目曾經(jīng)在某物理群內(nèi)引起眾多教師的關(guān)注和討論．

群內(nèi)教師主要是對(duì)第(1)個(gè)問(wèn)題： “物體A所受的浮力”的計(jì)算存在爭(zhēng)議,大部分教師認(rèn)為僅根據(jù)題目給出條件,無(wú)法確定物體A排開水體積的大小,當(dāng)然也就無(wú)法根據(jù)阿基米德原理計(jì)算物體所受浮力的大小了，而該題目后面兩個(gè)問(wèn)題的求解均是建立在浮力求解的基礎(chǔ)之上,所以,如果物體A所受水的浮力無(wú)法確定的話,那么,接下來(lái)的兩個(gè)問(wèn)題： 物體A密度的計(jì)算以及物體放入燒杯之前燒杯對(duì)臺(tái)秤的壓強(qiáng),也將成為無(wú)法確定答案的問(wèn)題了．當(dāng)然,群內(nèi)也有少數(shù)教師的觀點(diǎn)是,拿容器的底面積100cm2與放入物體A之后燒杯中的水面上升的高度1.5cm的乘積,作為物體A排開水的體積,進(jìn)而利用阿基米德原理可以計(jì)算出它所受的浮力,物體A所受水的浮力一旦求出,后面的兩個(gè)問(wèn)題也就不難解決了．但持這樣觀點(diǎn)的教師無(wú)法說(shuō)明這個(gè)乘積等于A排開水體積的原因,所以,群內(nèi)的多數(shù)教師并不認(rèn)同這一觀點(diǎn)．

我們不妨分情況討論浸在柱狀容器液體中的物體,物體排開液體的體積與容器橫截面積、液面升高高度間的定量關(guān)系．

1 物體浸沒(méi)在液體中的情形

圖2

如圖2所示,量筒內(nèi)裝有水,將一外形不規(guī)則的物體(外形不規(guī)則的物體更具一般性)投入其中,若物體不吸水,且物體密度比水大,則物體會(huì)沉入水底,易知,在這種情況下物體排開水的體積與物體體積相等,大小等于容器的橫截面積與液面升高高度的乘積

V排=S·Δh.

當(dāng)然,如果柱狀容器原來(lái)裝滿液體(例如開口在頂部的溢水杯裝液體的狀況),當(dāng)物體放入液體并浸沒(méi)在液體中時(shí),被物體排開的液體將全部流淌到容器之外,如圖3所示．如果我們選擇一個(gè)橫截面與容器橫截面積相同的柱狀容器來(lái)承接被物體排開的液體,則物體排開液體的體積依然等于容器的橫截面積與液面“升高高度”的乘積——在液體溢出之后,如果把承接液體的容器內(nèi)液體高度的增量認(rèn)為是原來(lái)裝滿液體的容器液面升高高度的話．此時(shí)依然有V排=S·Δh.

圖3

2 物體部分體積浸在液體中的情形

我們?nèi)砸愿咭话阈缘耐庑尾灰?guī)則的物體浸在液體中的情形為例進(jìn)行分析．如圖4所示,將一個(gè)外形不規(guī)則的幾何體,放入盛有水的柱狀容器中,設(shè)容器的橫截面積為S,跟原來(lái)容器中的水面相比,假設(shè)物體浸在水中之后只有部分體積在水中,穩(wěn)定后水面上升Δh,由圖4可知(注:我們看到的是容器的豎向切面圖,被物體“擠”出去并上升的水的體積在圖4(乙)中看起來(lái)是V3和V4兩部分,實(shí)際上這兩部分是連在一塊并環(huán)繞物體一周的,不過(guò)這并不影響問(wèn)題的討論),此時(shí)物體排開水的體積為V1+V2,而V2=V3+V4(這相當(dāng)于物體浸入水中時(shí),把V2這部分水給“擠”到了V3和V4的位置,屬于水的等積變換)，故有V排=V1+V2=V1+V3+V4=S·Δh.

圖4

物體浸在液體中時(shí),物體排開液體的體積指的是物體在液體中“占有”的體積,不是所有情況下都等于被物體“擠走”的那部分液體的體積，如圖3(乙)所示的情形,物體放入裝滿水的容器中時(shí),被物體“擠”出去的水的體積等于物體排開水的體積．從以上分類討論的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),不論物體是浸沒(méi)在液體之內(nèi)的狀況,還是物體的部分體積浸在液體中的情形(例如物體漂浮在液面的情形),對(duì)柱狀容器而言,物體放入其中時(shí),如果液體沒(méi)有排出容器之外的話,物體排開液體的體積都等于容器的橫截面積與液面升高高度的乘積．前面提到的一些教師對(duì)上面給出例1題設(shè)的不同看法,是指部分教師錯(cuò)誤地認(rèn)為,當(dāng)物體放入水中并漂浮時(shí),物體排開水的體積是被物體“擠走”的水的體積,大小應(yīng)該等于容器的橫截面積與物體A的橫截面積之差跟液面升高高度的乘積,由于題目條件只是給出了容器的橫截面積,沒(méi)有給出物體A的橫截面積,所以,這部分教師誤認(rèn)為該題目條件不足,無(wú)法求解．

如果說(shuō)例1給出的漂浮物體排開液體體積的判斷容易讓人產(chǎn)生誤解的話,那么,下面的這個(gè)判斷物體排開液體體積的問(wèn)題,欺騙性會(huì)更強(qiáng)．

例2.如圖5所示,一連通器內(nèi)裝有水,已知該連通器左右兩管的橫截面積分別為S1=500cm2和S2=100cm2,現(xiàn)將一個(gè)體積是8000cm3,截面形狀與左管橫截面形狀相同,面積略小于S1的柱狀木塊慢慢投入左管內(nèi),木塊漂浮時(shí),木塊與容器器壁間很薄的夾縫內(nèi)有水隔離,穩(wěn)定后測(cè)得右管水面上升10cm,不計(jì)夾縫內(nèi)水的體積,求木塊的密度(g取10N/kg)?

這道題目,因?yàn)槟緣K放入左管之后與容器間的夾縫很小,題目有“夾縫內(nèi)水的體積可以忽略”的條件(這實(shí)際上是一個(gè)“陷阱”條件,即使木塊與容器器壁間的距離很寬,它們之間的夾縫內(nèi)水的體積不可以忽略,在其他條件不變的情況下,依然不影響問(wèn)題的答案),所以,根據(jù)題目條件很容易讓人產(chǎn)生物體投入左管后,“右管上升的體積就是物體排開水的體積”的假象,如果按這一錯(cuò)誤思路分析,將右管橫截面積100cm2與物體投入左管后,右管水面升高高度10cm的乘積1000cm3作為木塊排開水的體積,進(jìn)而利用阿基米德原理求出木塊所受水的浮力(10N)作為漂浮在水面的木塊的重力,最后計(jì)算出木塊密度(這樣計(jì)算出木塊密度的結(jié)果為0.125×103kg/m3)的做法,則是一種錯(cuò)誤的處理問(wèn)題的方法．

圖5

本問(wèn)題中,物體排開液體的體積等于容器的橫截面積(即連通器左右兩管橫截面積之和,大小為600cm2)與液面上升高度10cm的乘積,大小是6000cm3,利用這一數(shù)據(jù)根據(jù)阿基米德原理求出物體所受浮力作為漂浮木塊的重力,計(jì)算出木塊的密度是0.75×103kg/m3．