圓弧齒線圓柱齒輪嚙合接觸沖擊研究

馬登秋， 魏永峭， 葉振環(huán)， 侯 力， 羅 嵐

(1.遵義師范學(xué)院 工學(xué)院，貴州 遵義 563006；2.蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050；3.四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

20世紀(jì)，日本學(xué)者為了解決直齒輪承載能力的不足，將圓弧齒線應(yīng)用到圓柱齒輪上，首次提出圓弧齒線圓柱齒輪的初始概念[1]。隨后，諸多學(xué)者針對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪開展研究，并取得相關(guān)研究成果。主要研究?jī)?nèi)容包含嚙合原理、加工方法、接觸性能以及實(shí)際應(yīng)用等方面。Tseng等[2-4]對(duì)嚙合原理進(jìn)行研究，推導(dǎo)了齒面方程，并在此基礎(chǔ)上建立了3D模型。此外，馬振群等[5]研究弧齒線圓弧齒輪的失配嚙合傳動(dòng)理論，分析了該齒輪的真實(shí)齒面接觸問題。宋愛平等[6-7]對(duì)該齒輪加工方法開展研究，分別提出了平行連桿裝置銑削加工和大刀盤銑削加工兩種加工方法，指出平行連桿裝置加工所得齒輪齒廓在整個(gè)齒寬上均為漸開線齒廓，大刀盤銑削加工所得齒輪在中截面為漸開線，其他截面為變雙曲線的包絡(luò)線。吳偉偉等[8]對(duì)齒輪的接觸性能開展研究，主要涉及接觸強(qiáng)度、彎曲強(qiáng)度以及安裝誤差、主要設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)接觸性能的影響。關(guān)于該齒輪的應(yīng)用，最為典型的是林子光[9]將齒輪泵的直齒輪替換為圓弧齒線圓柱齒輪，解決了齒輪泵困油的問題。齒輪的諸多研究成果對(duì)齒輪應(yīng)用有著積極的作用。但目前該齒輪接觸特性分析基本是靜態(tài)分析，是齒輪嚙合過程中的某一個(gè)位置，不具有連續(xù)性。然而，嚙合過程是一個(gè)極度復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問題，靜態(tài)分析不能有效體現(xiàn)該齒輪力學(xué)特性，特別是嚙合接觸沖擊，有必要進(jìn)行嚙合接觸沖擊研究，以期減小齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的振動(dòng)與噪聲。

關(guān)于齒輪沖擊，學(xué)者們都注重兩個(gè)方面[10]:①由于輪齒變形和加工誤差引起的嚙入嚙出沖擊，②由于齒側(cè)間隙引起的沖擊。事實(shí)上，齒輪在工作時(shí)，會(huì)產(chǎn)生嚙合接觸沖擊，該沖擊產(chǎn)生是由于在嚙合過程中主從動(dòng)輪瞬時(shí)法向速度不同而引起。此嚙合接觸沖擊對(duì)齒輪嚙合的穩(wěn)定性影響極大，但目前研究論文較少，關(guān)于圓弧齒線圓柱齒輪的嚙合接觸沖擊甚至沒有。但應(yīng)用在其他齒輪沖擊研究中的方法可以借鑒，相關(guān)的文獻(xiàn)綜述如下。

長(zhǎng)期以來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要通過解析法與有限元法研究齒輪在沖擊作用下的動(dòng)態(tài)接觸特性。通過解析法探討齒輪的沖擊問題:田放[11]通過建立有效周節(jié)差與沖擊參量間的關(guān)系，以沖擊時(shí)的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系，推導(dǎo)出嚙入沖擊沖擊合力的計(jì)算公式。周長(zhǎng)江等[12]將齒輪主要誤差項(xiàng)合成為系統(tǒng)等效誤差后，再與輪齒變形沿嚙合線二次合成，進(jìn)而準(zhǔn)確求解出線外嚙入沖擊點(diǎn)幾何位置和沖擊力。Munro等[13]研究線外嚙合與傳遞誤差的關(guān)系推導(dǎo)出了定量的計(jì)算公式。盛云等[14]建立沖擊模型研究了傳動(dòng)比和模數(shù)對(duì)嚙合沖擊力的影響。另外，有限元方法也被大量應(yīng)用在齒輪沖擊研究中。Bajer等[15]利用剛體接觸有限元法，研究了齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)接觸沖擊問題。唐進(jìn)元等[16]利用顯示動(dòng)態(tài)有限元研究直齒輪嚙合接觸沖擊問題和準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)態(tài)嚙合性能。吳勇軍等[17]給出了一種有限元方法，并利用該方法對(duì)低速和高速工況下的動(dòng)態(tài)嚙合特性進(jìn)行研究?？傊?，有限元方法為齒輪動(dòng)態(tài)接觸的研究提供了便利，效率高，研究結(jié)果的可靠性和精度高，廣泛應(yīng)用在齒輪動(dòng)態(tài)特性研究中[18-19]，為圓弧齒線圓柱齒輪嚙合接觸沖擊研究提供了方法。

圓弧齒線圓柱齒輪嚙合過程中，由于主從動(dòng)齒輪在接觸點(diǎn)處法線方向速度不同而引起了嚙合接觸沖擊，本文主要以此為研究?jī)?nèi)容，給出可以解決沖擊碰撞問題的有限元分析方法，建立嚙合接觸沖擊顯示動(dòng)態(tài)有限元模型，研究沖擊速度、沖擊位置與沖擊應(yīng)力、沖擊合力以及沖擊時(shí)間的關(guān)系。研究結(jié)果為圓弧齒線圓柱齒輪的降噪設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

1 嚙合接觸沖擊理論

兩個(gè)彈性體Ω1和Ω2接觸時(shí)，如圖1所示。從開始時(shí)刻tA到結(jié)束時(shí)刻tE的運(yùn)動(dòng)控制方程為

(1)

圖1 彈性體接觸

由式(1)可知，當(dāng)兩彈性接觸體的速度相同或者相差較小時(shí)，系統(tǒng)速度不變或者改變很小。但當(dāng)兩接觸體之間以一定的速度差發(fā)生接觸時(shí)，系統(tǒng)速度發(fā)生突變，接觸的時(shí)間又極短，接觸體間產(chǎn)生很大的接觸力，此為兩彈性體接觸時(shí)產(chǎn)生的接觸沖擊。

圖2可視為圓弧齒線圓柱齒輪傳動(dòng)時(shí)的物理模型，齒輪接觸沖擊其實(shí)可以看成為兩個(gè)彈性接觸體接觸時(shí)產(chǎn)生的接觸沖擊。

圖2 齒輪傳動(dòng)的物理模型

根據(jù)漸開線齒輪的特性，在正確嚙合傳動(dòng)時(shí)，齒輪接觸點(diǎn)只在切向存在速度差，在法線方向上接觸點(diǎn)的速度差Δv=0，傳動(dòng)平穩(wěn)，即不會(huì)出現(xiàn)脫嚙合的現(xiàn)象。但是，在實(shí)際工作中，存在各方面的因素使得傳動(dòng)系統(tǒng)工況時(shí)刻改變。從而導(dǎo)致輪齒之間在法向上產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)速度差，輪齒之間的接觸形式便可以看作為彈性體間的沖擊碰撞，由此產(chǎn)生沖擊為嚙合接觸沖擊。

在此沖擊過程中，主動(dòng)輪以一定速度撞擊從動(dòng)輪，主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速不斷減小，沖擊合力和主動(dòng)輪角位移則不斷增大。當(dāng)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速減速到零時(shí)，由于受到從動(dòng)輪的反作用力，主動(dòng)輪以一定的速度回彈。在回彈過程中主動(dòng)輪的速度不停地增大，若不考慮能量的損失，理論上可以增大到?jīng)_擊前的瞬時(shí)速度，但沖擊合力和主動(dòng)輪角位移則不斷減小，直到為零，此過程為嚙合接觸沖擊的一個(gè)周期。沖擊合力、沖擊轉(zhuǎn)速和主動(dòng)輪角位移變化趨勢(shì)，如圖3所示。其中沖擊合力和主動(dòng)輪角位移的變化趨勢(shì)近似為拋物線，文獻(xiàn)[20]在研究齒輪傳動(dòng)三維間隙非線性沖擊問題時(shí)同樣得出了沖擊合力的時(shí)變曲線圖呈拋物線周期性變化，與本文不謀而合。

圖3 沖擊合力、沖擊轉(zhuǎn)速和主動(dòng)輪角位移理論變化趨勢(shì)

綜上所述，嚙合接觸沖擊有別于因齒輪受載變形、安裝誤差和側(cè)隙引起的齒輪嚙入、嚙出沖擊和在節(jié)點(diǎn)附近由于滑動(dòng)摩擦方向突變而引起的節(jié)點(diǎn)沖擊，即有必要開展相關(guān)研究，特別是對(duì)于圓弧齒線圓柱齒輪。

2 齒輪副嚙合沖擊有限元分析方法

2.1 齒輪副系統(tǒng)控制方程建立

圖4 圓弧齒線圓柱齒輪副動(dòng)態(tài)接觸模型

建立上述關(guān)系后，根據(jù)虛位原理，采用增量形式表示的主從動(dòng)齒輪運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中：

ug=t+Δtug-tug；up=t+Δtup-tup

運(yùn)動(dòng)方程式(2)可以改寫成

(3)

式中：

建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程后，需確定圓弧齒線圓柱齒輪副嚙合運(yùn)動(dòng)過程中的接觸力向量t+ΔtFc。根據(jù)文獻(xiàn)[20]，由罰函數(shù)可知，嚙合過程中，單元節(jié)點(diǎn)等效接觸力為

(4)

2.2 齒輪副系統(tǒng)控制方程求解

將接觸力向量t+ΔtFc表達(dá)式(4)代入齒輪副系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)控制方程式(3)就可以求解出相關(guān)力學(xué)參數(shù)。求解時(shí)采用中心差分法，迭代前后狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)滿足

(5)

將式(6)代入式(4)中可以得到遞推求解公式

t+Δtu=(M+0.5ΔtC)-1×

(6)

(7)

聯(lián)立式(3)～式(7)，反復(fù)逐步迭代，就能求取圓弧齒線圓柱齒輪整個(gè)嚙合過程中的各個(gè)力學(xué)變量。

由于中心差分法是條件收斂算法，碰撞周期離散時(shí)，時(shí)間增量需要滿足以下條件：

Δt≤Δtcr=Tn/π

(8)

式中：Δtcr為臨界時(shí)間步長(zhǎng)；Tn最小固有振動(dòng)周期。

基于以上算法，可以通過數(shù)值求解，但其求解結(jié)果受到離散精度的影響。本文為了獲得足夠的計(jì)算精度，采用商用軟件ANSYS/ LS DYNA進(jìn)行計(jì)算。唐進(jìn)元等利用該軟件研究直齒輪嚙合接觸沖擊的問題，所得沖擊力與周長(zhǎng)江等通過解析法得到最大沖擊力具有一致性。可見該軟件計(jì)算結(jié)果具有高可信度。

3 嚙合接觸沖擊求解結(jié)果與分析

3.1 嚙合齒輪副有限元模型

為了精確研究圓弧齒線圓柱齒輪的嚙合接觸沖擊，需要建立精確的數(shù)字樣機(jī)模型。目前，該齒輪的建模方法有幾種[21-22]，但都不夠精確。本文根據(jù)圓弧齒線圓柱齒輪的齒面方程，利用MATLAB建立數(shù)學(xué)模型獲取齒面點(diǎn)云，可以建立精確的三維模型。該齒輪齒面方程為

(9)

式中:R1為被加工齒坯的節(jié)圓半徑；RT為名義刀盤半徑；θ為加工過程中刀具從齒坯中截面到端面的轉(zhuǎn)角(°)，稱為尺廓位置角，順時(shí)針為正；φ1為齒坯轉(zhuǎn)角，順時(shí)針為正；α為刀具壓力角(°)；u為刀具曲面上點(diǎn)沿錐曲面母線距離參考點(diǎn)位移(mm)。

基于圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程，可在MATLAB中編寫程序生成點(diǎn)云。并將點(diǎn)云導(dǎo)入U(xiǎn)G中生成齒輪齒面，通過輔助命令，完成齒輪副的精確建模。本文選擇齒輪基本參數(shù)如下：齒數(shù)z1=19，z2=31，模數(shù)m=8，齒寬為b=80 mm，齒線半徑RT=500 mm，圖5所示為主動(dòng)輪的齒面點(diǎn)云和三維精確模型。為了得到精確的結(jié)果，避免相鄰輪齒之間的影響，從動(dòng)輪只保留一個(gè)輪齒，并調(diào)整三維模型的約束關(guān)系，建立齒輪齒根附近、分度圓附近和齒頂附近嚙合接觸時(shí)的裝配模型。將模型導(dǎo)入有限元軟件中，進(jìn)行材料參數(shù)設(shè)置，劃分網(wǎng)格，建立邊界條件(主要涉及約束關(guān)系、局部坐標(biāo)系、載荷施加以及求解條件的設(shè)置)等，最終建立有限元分析模型，如圖6所示。在建模時(shí)，從動(dòng)輪所有自由度完全約束，主動(dòng)輪僅保留軸向旋轉(zhuǎn)自由度，仿真時(shí)給主動(dòng)輪施加速度的改變量Δv(分別為：10 rad/s、13 rad/s、16 rad/s、20 rad/s)，并設(shè)置齒面接觸滑動(dòng)摩擦系數(shù)0.1，完成嚙合沖擊仿真。

(a)分度圓

(b)齒頂

(c)齒根

3.2 嚙合接觸沖擊碰撞運(yùn)動(dòng)形式驗(yàn)證

圖7為某位置發(fā)生嚙合接觸沖擊時(shí)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速、沖擊合力、角位移的變化趨勢(shì)圖。沖擊合力與角位移變化趨勢(shì)近似為拋物線。主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速變化波動(dòng)較大，而且在回程時(shí)速度并沒有加速到初始速度，因?yàn)閲Ш辖佑|沖擊仿真是柔體與柔體的碰撞，存在能量損失，但是總體上與理論分析相一致。因此，該方法仿真進(jìn)行圓弧齒線圓柱齒輪的嚙合接觸沖擊研究可靠。

(a)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速

(b)沖擊合力

(c)主動(dòng)輪角位移

3.3 齒輪副嚙合接觸沖擊應(yīng)力分析

3.3.1 沖擊轉(zhuǎn)速對(duì)沖擊應(yīng)力的影響

圖8所示為圓弧齒線圓柱齒輪各個(gè)沖擊位置(分度圓附近、齒頂附近和齒根附近嚙合接觸沖擊)以不同沖擊速度發(fā)生嚙合接觸沖擊時(shí)，最大沖擊應(yīng)力點(diǎn)位置的沖擊應(yīng)力變化趨勢(shì)?？芍?，最大沖擊應(yīng)力隨著沖擊速度增大而增大，而且沖擊速度越大最大沖擊應(yīng)力的增幅越大、最大沖擊應(yīng)力的波動(dòng)越大。其中，最大沖擊應(yīng)力增幅變化最大的是齒頂附近嚙合接觸沖擊，最小的是分度圓附近嚙合接觸沖擊；最大沖擊應(yīng)力波動(dòng)最大的是齒頂附近嚙合接觸沖擊，最小的是齒根附近嚙合接觸沖擊。綜上所述，沖擊速度對(duì)嚙合接觸沖擊有著較大影響，要盡量避免沖擊的發(fā)生，保證齒輪系統(tǒng)的平穩(wěn)運(yùn)行。

(a)分度圓附近嚙合接觸沖擊

(b)齒頂附近嚙合接觸沖擊

(c)齒根附近嚙合接觸沖擊

3.3.2 沖擊位置對(duì)沖擊應(yīng)力的影響

在齒輪傳動(dòng)中，由于齒面接觸點(diǎn)綜合曲率會(huì)隨著接觸點(diǎn)位置的改變而改變，這將導(dǎo)致在不同接觸位置發(fā)生嚙合接觸沖擊時(shí)，產(chǎn)生的沖擊應(yīng)力有所不同。此外，由于齒輪輪緣的剛度比較大，一般可以將齒輪輪齒看作為一定寬度的懸臂梁。所以接觸點(diǎn)在不同的位置，齒根所受的彎矩也不一樣，進(jìn)而齒輪彎曲應(yīng)力不一樣。通常，在發(fā)生沖擊時(shí)，產(chǎn)生的沖擊應(yīng)力相對(duì)于正常嚙合時(shí)的接觸應(yīng)力較大。所以，有必要開展不同位置沖擊時(shí)沖擊應(yīng)力的研究。圖9～圖12所示為不同沖擊速度下各沖擊位置最大沖擊應(yīng)力時(shí)變圖?？芍?，在分度圓附近、齒頂附近和齒根附近等三個(gè)嚙合接觸沖擊位置中，在齒頂附近沖擊時(shí)最大沖擊應(yīng)力最大，分度圓附近沖擊和齒根附近沖擊最大沖擊應(yīng)力相接近；在分度圓附近沖擊時(shí)，最大沖擊應(yīng)力的波動(dòng)幅度最大，齒頂附近沖擊次之，齒根附近沖擊最小。但三者的最大沖擊應(yīng)力波動(dòng)幅度都會(huì)隨著沖擊速度的增大而增大。此即是沖擊位置對(duì)沖擊應(yīng)力的影響。

(a)分度圓附近沖擊最大應(yīng)力

(b)齒頂附近沖擊最大應(yīng)力

(c)齒根附近沖擊最大應(yīng)力

(a)分度圓附近沖擊最大應(yīng)力

(b)齒頂附近沖擊最大應(yīng)力

(c)齒根附近沖擊最大應(yīng)力

(a)分度圓附近沖擊最大應(yīng)力

(b)齒頂附近沖擊最大應(yīng)力

(c)齒根附近沖擊最大應(yīng)力

(a)分度圓附近沖擊最大應(yīng)力

(b)齒頂附近沖擊最大應(yīng)力

(c)齒根附近沖擊最大應(yīng)力

3.4 齒輪副嚙合接觸沖擊合力分析

齒輪傳動(dòng)中，由于齒面發(fā)生彈性變形導(dǎo)致接觸區(qū)域?yàn)橐欢娣e的小單元，該小單元上分布著接觸壓力，學(xué)者往往致力于沖擊應(yīng)力的研究，認(rèn)為探討沖擊應(yīng)力的規(guī)律更有意義。事實(shí)上，齒輪沖擊過程中的沖擊力(嚙合力)也值得研究，例如研究軸向、徑向沖擊力，有利于系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)軸承的合理選用。因此，以下將圍繞圓弧齒線圓柱齒輪副發(fā)生嚙合接觸沖擊時(shí)的沖擊力開展相關(guān)研究，為該齒輪的應(yīng)用提供相應(yīng)依據(jù)。

圖13～圖15為各位置在不同沖擊轉(zhuǎn)速下發(fā)生嚙合接觸沖擊時(shí)沖擊合力的時(shí)變圖，提取出最大沖擊合力，如表1所示。并繪制變化趨勢(shì)圖，如圖16所示。由圖可知，無論是齒頂附近沖擊、齒根附近沖擊還是分度圓附近沖擊，都是沖擊速度越大，沖擊合力也就越大，而且沖擊合力的增大隨著沖擊速度的增大呈近似的線性增長(zhǎng)，這點(diǎn)與文獻(xiàn)[10]的研究成果不謀而合，但由于在有限元建模時(shí)是限制了單齒模型內(nèi)圈的全部自由度，進(jìn)而導(dǎo)致沖擊合力數(shù)值較大，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)[23]的結(jié)論相迎合。

表1 各沖擊位置不同沖擊速度下的最大沖擊合力

對(duì)于不同位置發(fā)生沖擊對(duì)沖擊合力的影響，根據(jù)圖16所示。相同沖擊速度時(shí)，分度圓附近嚙合沖擊合力最大，齒根附近沖擊合力次之，齒頂附近沖擊合力最小。此外，根據(jù)圖13～圖15，齒根附近沖擊時(shí)沖擊合力的波動(dòng)幅度比齒頂和分度圓附近沖擊的沖擊合力波動(dòng)幅度大。

(a)沖擊速度10 rad/s

(b)沖擊速度13 rad/s

(c)沖擊速度16 rad/s

(d)沖擊速度20 rad/s

(a)沖擊速度10 rad/s

(b)沖擊速度13 rad/s

(c)沖擊速度16 rad/s

(d)沖擊速度20 rad/s

(a)沖擊速度10 rad/s

(b)沖擊速度13 rad/s

(c)沖擊速度16 rad/s

(d)沖擊速度20 rad/s

圖16 各沖擊位置不同沖擊速度下的最大沖擊合力

3.5 齒輪副嚙合接觸沖擊時(shí)間分析

本文在研究嚙合接觸沖擊時(shí)定義接觸沖擊時(shí)間為接觸力(沖擊力)持續(xù)的時(shí)間。即當(dāng)齒輪副之間接觸力大于0時(shí)，視為沖擊接觸，該過程的時(shí)長(zhǎng)，視為沖擊時(shí)間。圖17揭示了沖擊速度對(duì)沖擊時(shí)間的影響。由圖17可知：沖擊速度越大，沖擊時(shí)間越短，其與文獻(xiàn)[12]探討線外嚙合沖擊和文獻(xiàn)[10]探討直齒輪嚙合接觸沖擊時(shí)得出的相關(guān)成果一致。此外，不同位置發(fā)生沖擊對(duì)沖擊時(shí)間的影響規(guī)律,如圖18所示。結(jié)果表明：沖擊時(shí)間在齒頂附近達(dá)到最大，分度圓附近次之，齒根附近最小，即從齒頂?shù)烬X根逐漸減小。

圖17 沖擊速度對(duì)沖擊時(shí)間的影響

圖18 沖擊位置對(duì)沖擊時(shí)間的影響

4 結(jié) 論

本文以圓弧齒線圓柱齒輪嚙合過程中的嚙合接觸沖擊為研究?jī)?nèi)容，給出可以解決沖擊碰撞問題的有限元分析方法，通過圓弧齒線圓柱齒輪齒面數(shù)學(xué)模型建立精確三維數(shù)字樣機(jī)，進(jìn)而建立嚙合接觸沖擊顯示動(dòng)態(tài)有限元模型，研究沖擊速度、沖擊位置與沖擊應(yīng)力、沖擊合力以及沖擊時(shí)間的關(guān)系。主要結(jié)論如下：

(1)沖擊速度和沖擊位置對(duì)沖擊應(yīng)力的影響：最大沖擊應(yīng)力隨著沖擊速度增大而增大，而且沖擊速度越大，最大沖擊應(yīng)力的增幅越大、波動(dòng)越大；在分度圓附近、齒頂附近和齒根附近等三個(gè)嚙合接觸沖擊位置中，在齒頂附近沖擊時(shí)最大沖擊應(yīng)力最大，分度圓附近和齒根附近沖擊最大沖擊應(yīng)力相接近；在分度圓附近沖擊時(shí)，最大沖擊應(yīng)力的波動(dòng)幅度最大，齒頂附近沖擊波動(dòng)幅度次之，在齒根附近沖擊時(shí)波動(dòng)幅度最小。

(2)沖擊速度和沖擊位置對(duì)沖擊合力的影響：沖擊速度越大，沖擊合力則越大，兩者間呈近似線性增長(zhǎng)關(guān)系。相同沖擊速度時(shí)，分度圓附近嚙合沖擊合力最大，齒根附近沖擊合力次之，齒頂附近沖擊合力最小。

(3)沖擊速度和沖擊位置對(duì)沖擊時(shí)間的影響為：沖擊速度越大，沖擊時(shí)間越短；沖擊時(shí)間在齒頂附近達(dá)到最大，分度圓附近次之，齒根附近最小，從齒頂?shù)烬X根逐漸減小。

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