基于等效靜態(tài)載荷法的汽車前端結(jié)構(gòu)抗撞性尺寸和形貌優(yōu)化

陸善彬， 蔣偉波， 左文杰,3

(1. 吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 長春 130022; 2. 吉林大學(xué) 汽車工程學(xué)院， 長春 1300223. 吉林大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院， 長春 130022)

汽車前端結(jié)構(gòu)主要由保險(xiǎn)杠、吸能盒以及前縱梁這3個(gè)組件構(gòu)成，這3個(gè)組件是汽車正碰與偏置碰撞的主要吸能部件。李亦文等[1]對車身低速碰撞吸能盒進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，譚麗輝等[2]對帶有圓弧形凸槽金屬薄壁圓管進(jìn)行抗撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)，曹立波等[3]對保險(xiǎn)杠橫梁進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)與優(yōu)化，以上研究并未對以上3個(gè)組件一起進(jìn)行抗撞性優(yōu)化研究。

由于汽車碰撞分析是涉及幾何非線性、材料非線性的和邊界條件非線性的動力學(xué)時(shí)域問題。目前對該類問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要采用代理模型方法，其步驟為：首先需要試驗(yàn)設(shè)計(jì)采取樣本;然后采用多項(xiàng)式響函數(shù)或徑向基函數(shù)等建立響應(yīng)面[4];最后采用遺傳算法或者粒子群方法等求解該響應(yīng)面。代理模型的不足之處是精度不易保證，除非增加樣本的數(shù)量，或者采用序列響應(yīng)面法[5]來提高精度，但是這樣會使代理模型的計(jì)算量大幅增加。

Park等[6]于2001年提出了等效靜態(tài)載荷法(Equivalent Static Loads Method, ESLM)，將瞬態(tài)非線性碰撞優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)多工況優(yōu)化問題，靜態(tài)問題可由基于梯度信息的序列線性規(guī)劃或者準(zhǔn)則法進(jìn)行求解，ESLM在瞬態(tài)非線性優(yōu)化領(lǐng)域得到了快速的發(fā)展，并集成到Optistruct軟件中。陳濤等[7]采用該方法優(yōu)化了拼焊管和汽車B柱碰撞問題；賀新峰等[8]利用該法研究了攪拌車副車架疲勞設(shè)計(jì)；芮強(qiáng)等[9]利用該法對曲柄連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文擬采用ESLM對汽車結(jié)構(gòu)的3個(gè)組件進(jìn)行抗撞性優(yōu)化，除了考慮常規(guī)的板厚尺寸設(shè)計(jì)變量以外，還考慮了有限元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的形貌變量，使得薄壁結(jié)構(gòu)件的碰撞優(yōu)化有了更大的設(shè)計(jì)空間，更利于改善碰撞性能。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的形貌變量數(shù)量龐大，以至于無法對其進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)采取樣本，所以代理模型不適合求解形貌優(yōu)化問題，這也是本文采用ESLM荷進(jìn)行求解的原因之一。本文優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)是汽車前端結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，設(shè)計(jì)變量是板厚尺寸與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)形貌，約束是侵入量以及加筋的沖壓工藝要求。

1 非線性靜態(tài)響應(yīng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

1.1 抗撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)

抗撞性優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)模型如下

抗撞性優(yōu)化的約束多依賴于時(shí)間，如式(2)所示。所有與時(shí)間相關(guān)的約束個(gè)數(shù)為q×l，約束的增加和時(shí)域密切相關(guān)。此外計(jì)算靈敏度考慮增量步是極其困難的。因此很少進(jìn)行大規(guī)模非線性動態(tài)響應(yīng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

式(2)的第一式為碰撞分析的控制方程，阻尼矩陣影響節(jié)點(diǎn)的速度，質(zhì)量矩陣影響節(jié)點(diǎn)的加速度。車輛結(jié)構(gòu)的抗撞性意味著吸收碰撞能從而保證駕駛員和乘客的安全?？棺残詢?yōu)化的目標(biāo)是在滿足汽車結(jié)構(gòu)的抗撞性約束前提下從而實(shí)現(xiàn)汽車結(jié)構(gòu)的輕量化。本文為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，約束保險(xiǎn)桿和前縱梁的侵入量，使在低速正碰下碰撞能主要由保險(xiǎn)杠和吸能盒吸收。

1.2 ESLM理論

ESLM的定義如下[10]：線性靜態(tài)分析中的結(jié)構(gòu)靜態(tài)載荷產(chǎn)生的響應(yīng)與相應(yīng)時(shí)間步動態(tài)非線性分析產(chǎn)生的響應(yīng)相同。在用ESLM進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，將時(shí)域[0,t]離散成q個(gè)時(shí)間點(diǎn)，由此獲得的等效靜態(tài)載荷數(shù)量為q，進(jìn)行等效靜態(tài)響應(yīng)分析的工況數(shù)量也是q。

在有限元理論中，碰撞分析非線性方程如式(2)的第一式所示。根據(jù)以上對于對ESLM的定義，基于位移的等效載荷的計(jì)算如下

fzeq(s)=KL(b)ZN(t),s=s0,s1,…,sq

(3)

式中：fzeq為基于位移的等效靜態(tài)載荷矢量，下標(biāo)L表示線性分析，記號s和式(1)中的t嚴(yán)格對應(yīng)。fzeq(s)為線性剛度矩陣KL(b)與非線性分析的位移矢量ZN(t)的乘積。如式(4)得到的fzeq(s)用于線性靜態(tài)分析的外載荷。

KL(b)ZL(s)=fzeq(s)

(4)

式中:每一靜態(tài)工況下得的到位移矢量ZL(s)與對應(yīng)時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的動態(tài)非線性位移矢量ZN(t)相等。如果把等效載荷fzeq(s)作為線性靜態(tài)響應(yīng)優(yōu)化的多個(gè)外載荷工況，那么基于ESLM的線性靜態(tài)響應(yīng)優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠得到與非線性動態(tài)響應(yīng)優(yōu)化相同的位移響應(yīng)。同樣，線性靜態(tài)響應(yīng)優(yōu)化中的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件等都與非線性動態(tài)響應(yīng)中的相等。

1.3 靈敏度分析

對于一般的線性分析，基于梯度的優(yōu)化是最有效的方法。如果不能有效地執(zhí)行，和原來的響應(yīng)分析相比靈敏度分析會花費(fèi)更長的時(shí)間。靈敏度分析包含直接解析法和伴隨變量法兩種方法[11-12]。對于有限元分析方程如下

Ku=P

(5)

式中：K為剛度矩陣；u為單元節(jié)點(diǎn)位移向量；P為單元節(jié)點(diǎn)載荷向量。等式兩邊對設(shè)計(jì)變量xi求偏導(dǎo)

(6)

當(dāng)外載荷P不隨設(shè)計(jì)變量改變時(shí),得到位移矢量的靈敏度解析公式

(7)

位移對每個(gè)設(shè)計(jì)變量求導(dǎo)的前推回代需要花費(fèi)大量的時(shí)間。直接采用上述方法求解叫做直接法，這種方法需要對每個(gè)設(shè)計(jì)變量前推回代。如果約束條件應(yīng)用于多個(gè)載荷工況，則需對每個(gè)工況前推回代。

在伴隨變量靈敏度分析中，位移的第j個(gè)響應(yīng)uj可以表達(dá)為位移向量u的函數(shù)

(8)

式中：Qj為伴隨載荷向量；Qj中第j個(gè)元素為1，其余的都為零。

Qj=[0,0,…,0,1,0,…,0,0]T

(9)

位移響應(yīng)uj對第i個(gè)設(shè)計(jì)變量xi的偏導(dǎo)數(shù)為

(10)

Qj為恒定的向量，所以

(11)

將式(7)和式(11)代入式(10)，得

(12)

以上方法為伴隨變量法，當(dāng)使用伴隨變量法進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，伴隨位移和伴隨載荷的數(shù)量和設(shè)計(jì)變量數(shù)量無關(guān)，前推回代的次數(shù)為響應(yīng)的個(gè)數(shù)。

直接法適合于設(shè)計(jì)約束較多而設(shè)計(jì)變量較少的優(yōu)化問題，如形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化的靈敏度求解。對于設(shè)計(jì)約束較少而設(shè)計(jì)變量很多的優(yōu)化問題，如拓?fù)鋬?yōu)化和形貌優(yōu)化，可采用伴隨變量法。

2 汽車前端結(jié)構(gòu)碰撞算例

2.1 基于ESLM汽車前端優(yōu)化流程

ESLM優(yōu)化過程分為兩個(gè)模塊：分析域和設(shè)計(jì)域。分析域進(jìn)行碰撞非線性分析，得到結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，并將得到位移響應(yīng)用于計(jì)算等效靜態(tài)載荷。設(shè)計(jì)域?qū)⒌玫降牡刃ъo態(tài)載荷作為邊界條件進(jìn)行靜態(tài)線性優(yōu)化，并將的得到的結(jié)果代回分析域重新計(jì)算?；诘刃ъo態(tài)加載法的優(yōu)化流程，如圖1所示。

步驟1： 設(shè)置初始設(shè)計(jì)變量(每個(gè)部件的厚度尺寸和形貌優(yōu)化區(qū)域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置)和優(yōu)化參數(shù)(循環(huán)次數(shù)：k=0，設(shè)計(jì)變量bk=b0)。

步驟2： 根據(jù)設(shè)計(jì)變量bk對汽車前端結(jié)構(gòu)進(jìn)行碰撞分析，得到前端結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)。

步驟3： 根據(jù)步驟2得到的位移響應(yīng)計(jì)算位移的等效靜態(tài)載荷。

步驟4： 根據(jù)ESLM將前端結(jié)構(gòu)正碰過程轉(zhuǎn)化為靜態(tài)多工況問題，利用伴隨變量法求解靈敏度信息，序列線性規(guī)劃求解優(yōu)化問題。

步驟6： 更新設(shè)計(jì)變量，令k=k+1，轉(zhuǎn)入步驟2。步驟2～步驟6為一個(gè)循環(huán)，重復(fù)這個(gè)循環(huán)直到收斂條件滿足。

步驟1～步驟3為分析域，進(jìn)行碰撞非線性分析。步驟4～步驟6為設(shè)計(jì)域，進(jìn)行靜態(tài)線性響應(yīng)優(yōu)化。

2.2 優(yōu)化模型參數(shù)

汽車發(fā)生低速正面碰撞時(shí)，碰撞產(chǎn)生的動能主要由車輛前部吸能部件來充分吸從而減少對整車的損壞。某轎車前端結(jié)構(gòu)碰撞模型，如圖2所示。模型包括保險(xiǎn)杠、吸能盒以及前縱梁3個(gè)組件，其中每個(gè)組件都由若干個(gè)部件組成，模型單元總數(shù)為13 255，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為13 922?？紤]到前部結(jié)構(gòu)的左右對稱性，將對稱部件歸為一個(gè)部件，部件共有14個(gè)，并將每個(gè)部件的厚度作為一個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行尺寸優(yōu)化。由于該模型前縱梁前端內(nèi)板和外板比較規(guī)則，對其進(jìn)行形貌優(yōu)化，在其表面生成肋從而提高其抗撞性能。設(shè)計(jì)變量的定義具體，如圖3所示。在本算例中，汽車前端低速碰撞的分析條件為：約束前縱梁后端所有節(jié)點(diǎn)的6個(gè)自由度；剛性墻以15 km/h的初速度對汽車前端結(jié)構(gòu)進(jìn)行碰撞，其中剛性墻質(zhì)量為1 300 kg的整車質(zhì)量；碰撞模型總共分析的時(shí)間為100 ms。

圖1 基于ESLM的優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

圖2 汽車前端結(jié)構(gòu)有限元模型

圖3 定義設(shè)計(jì)變量

該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型如下

式中：目標(biāo)函數(shù)mass為整個(gè)汽車前端結(jié)構(gòu)質(zhì)量；每個(gè)部件厚度Ti為尺寸設(shè)計(jì)變量，初始值為原始厚度；對前縱梁前端內(nèi)板和外板進(jìn)行形貌優(yōu)化，形貌優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，其數(shù)量為1 485，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量的初始值Z0為原始的坐標(biāo)位置，PVi為第i個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)xi的攝動向量；為了滿足沖壓工藝的要求，形貌優(yōu)化肋的最大高度HGT為10 mm，肋的最小寬度MW為25 mm，肋的拔模角度ANG為600，肋的定義，如圖4所示。

圖4 形貌優(yōu)化中肋的定義

根據(jù)RCAR法規(guī)中低速碰撞評價(jià)指標(biāo)[13]，設(shè)置兩個(gè)約束條件：如圖2，約束節(jié)點(diǎn)200 798個(gè)沿x方向最大位移d1<150 mm，以防止保險(xiǎn)杠侵入量過大從而導(dǎo)致散熱器受到接觸擠壓變形；約束節(jié)點(diǎn)206 673個(gè)和節(jié)點(diǎn)75 364個(gè)x方向最大位移di<10 mm，以防止前縱梁在低速正碰變形過大而出現(xiàn)永久性損傷。以上2個(gè)約束可減少低速正碰下汽車的維修成本。在該算例中選取100個(gè)時(shí)間步計(jì)算等效靜態(tài)載荷，并用這100個(gè)等效靜態(tài)載荷作為100個(gè)靜態(tài)工況進(jìn)行線性靜態(tài)響應(yīng)優(yōu)化。

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

利用ESLM對該問題進(jìn)行優(yōu)化，前端結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后的模型在碰撞最后時(shí)刻整體和局部的變形，如圖5和圖6所示。從圖可知，在優(yōu)化前縱梁前端內(nèi)板變形較大，局部被壓潰，出現(xiàn)了永久性損傷。在優(yōu)化后壓潰主要發(fā)生在吸能盒部分，前縱梁變形很小沒有出現(xiàn)壓潰現(xiàn)象，從而保證了前縱梁在低速碰撞時(shí)前縱梁不被壓潰破壞，滿足優(yōu)化的約束條件。

圖5 優(yōu)化前變形

圖6 優(yōu)化后變形

圖7和圖8分別給出了前縱梁前端外板和內(nèi)板形貌優(yōu)化前后肋的分布，從圖可知，肋呈現(xiàn)“凸”型分布，肋的最大高度為10 mm。圖9給出了優(yōu)化前后模型的碰撞力曲線，優(yōu)化后模型最大碰撞峰值力從166.3 kN減小到121.8 kN。圖10和圖11分別給出了d1和d2在優(yōu)化前后的位移歷程。從圖可d1在優(yōu)化前后最大位移分別為136.47 mm和147.86 mm滿足約束的要求；d2在優(yōu)化前后最大位移分別為20.07 mm和5.76 mm，優(yōu)化前最大位移超過約束的上界8 mm，優(yōu)化后滿足約束條件。

(a)優(yōu)化前(b)優(yōu)化后

圖7 外板肋的分布

圖8 內(nèi)板肋的分布

Fig.8 Rib distribution of inner plate

圖9 碰撞力曲線

圖10 侵入量d1比較

圖11 侵入量d2比較

目標(biāo)函數(shù)歷程曲線，如圖12所示。從圖12可知，經(jīng)過9次外循環(huán)迭代收斂，在滿足約束的條件下目標(biāo)函數(shù)質(zhì)量減輕了7.03%。圖13和圖14分別給出了d1和d2的迭代歷程曲線，從圖可知，在最后一次迭代d1和d2滿足約束條件，從而保證在低速正碰時(shí)前縱梁和散熱器不受永久性損傷，進(jìn)而減少低速正碰汽車的維修成本。表1給出了優(yōu)化前后設(shè)計(jì)變量和侵入量的變化，從表1可知，汽車前端部件的厚度在滿足約束的條件下得到了最優(yōu)解，以及在汽車前縱梁前端增加肋，這樣更有利于提高汽車前端結(jié)構(gòu)的抗撞性。

圖12 汽車前端結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)歷程曲線

圖13 d1的迭代歷程曲線

圖14 d2的迭代歷程曲線

設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)優(yōu)化前/mm優(yōu)化后/mmT11．401．53T21．601．49T31．400．74T42．300．50T51．802．27T61．801．28T71．602．01T82．602．80T91．602．85T102．602．22T111．402．37T122．001．01T132．000．66T141．200．50HGT010MW025ANG0600侵入量d1136．47147．86侵入量d220．075．76總質(zhì)量/kg22．4920．91

3 結(jié) 論

(1) 本文對轎車前端結(jié)構(gòu)，含保險(xiǎn)杠、吸能盒以及前縱梁，進(jìn)行了抗撞性尺寸和形貌優(yōu)化設(shè)計(jì)，除了傳統(tǒng)的鈑金件的厚度尺寸優(yōu)化，其加筋結(jié)構(gòu)形貌優(yōu)化設(shè)計(jì)也為轎車前端薄壁結(jié)構(gòu)的碰撞優(yōu)化提供了巨大的設(shè)計(jì)空間，是今后薄壁結(jié)構(gòu)輕量化的重要途徑之一。

(2) ESLM將瞬態(tài)非線性碰撞優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)多工況優(yōu)化問題。文中數(shù)值算例僅迭代9次即可得到最優(yōu)解，和優(yōu)化前相比前端結(jié)構(gòu)質(zhì)量減輕7.03%，且碰撞性能得到提升。由此證明ESLM可高效地求解碰撞優(yōu)化問題，并得到高精度的解。

[1] 李亦文, 徐濤, 徐天爽, 等. 車身低速碰撞吸能結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 30(10): 1175-1179.

LI Yiwen, XU Tao, XU Tianshuang, et al. Optimal design of energy-absorbing structure of autobody under low-speed crash[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology, 2010, 30(10): 1175-1179.

[2] 譚麗輝,徐濤, 張煒,等. 帶有圓弧形凸槽金屬薄壁圓管抗撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].振動與沖擊,2013,32(21):80-84.

TAN Lihui, XU Tao, ZHANG Wei, et al. Crashworthiness optimization design for a metal thin-walled tube with convex grooves[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(21):80-84.

[3] 曹立波,陳杰,歐陽志高,等.基于碰撞安全性的保險(xiǎn)杠橫梁輕量化設(shè)計(jì)與優(yōu)化[J].中國機(jī)械工程,2012,23(23):2888-2893.

CAO Libo, CHEN Jie, OUYANG Zhigao,et al. Lightweight design and optimization of bumper beam based on automotive crash safety[J]. China Mechanical Engineering, 2012,23(23):2888-2893.

[4] 伊建軍, 李云鵬, 陳飆松, 等. 結(jié)構(gòu)耐撞性優(yōu)化中徑向基函數(shù)散布常數(shù)選取方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2014, 50(17): 171-178.

YI Jianjun, LI Yunpeng, CHEN Biaosong, et al. Selection method of shaping parameter of the radial basis function in structure crashworthiness optimization[J]. Journal of Mechanical Engineering,2014, 50(17): 171-178.

[5] 孫光永, 李光耀, 鐘志華, 等. 基于序列響應(yīng)面法的汽車結(jié)構(gòu)耐撞性多目標(biāo)粒子群優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2009, 45(2): 224-230.

SUN Guangyong, LI Guangyao, ZHONG Zhihua, et al. Optimization design of multi-objective particle swarm in crash-worthiness based on sequnential response surface method[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 45(2): 224-230.

[6] PARK K J, LEE J N, PARK G J. Structural shape optimization using equivalent static loads transformed from dynamic loads[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2005, 63(4): 589-602.

[7] 陳濤, 陳自凱, 段利斌, 等. 針對動態(tài)非線性優(yōu)化問題ESLM梯度優(yōu)化方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2015, 51(8): 116-124.

CHEN Tao, CHEN Zikai, DUAN Libin, et al. Gradient-based equivalent static loads method for structure nonlinear dynamic optimization problem[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(8): 116-124.

[8] 賀新峰, 于德介. 基于ESLs結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的攪拌車副車架疲勞設(shè)計(jì)[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(14): 64-69.

HE Xinfeng, YU Dejie. Fatigue design of auxiliary frame of an agitator truck based on ESLs structural optimization method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(14): 64-69.

[9] 芮強(qiáng), 王紅巖, 田洪剛. 基于等效靜態(tài)載荷法的結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化[J]. 汽車工程, 2014, 36(1): 61-65.

RUI Qiang, WANG Hongyan, TIAN Honggang. Structural dynamic optimization based on equivalent static load method[J] . Automotive Engineering, 2014, 36(1): 61-65.

[10] PARK G J, KANG B S, CHOI K K. Validation of a structural optimization algorithm transforming dynamic loads into equivalent static loads[J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2003, 118(1): 191-200.

[11] CHEN Wei, ZUO Wenjie. Component sensitivity analysis of conceptual vehicle body for lightweight design under static and dynamic stiffness demands[J]. International Journal of Vehicle Design, 2014, 66(2): 107-123.

[12] ZUO Wenjie. Bi-level optimization for the cross-sectional shape of a thin-walled car body frame with static stiffness and dynamic frequency stiffness constraints[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part D: Journal of Automobile Engineering, 2015, 229(8): 1046-1059.

[13] 陳現(xiàn)嶺，岳鵬，張凱.基于RCAR試驗(yàn)的汽車低速碰撞性能設(shè)計(jì)[J]. 汽車工程, 2009, 31(2):1165-1168.

CHEN Xianling，YUE Peng, ZHANG Kai. Vehicle low speed crashworthiness design based on RCAR tests[J] . Automotive Engineering, 2009, 31(2):1165-1168.