廣義統(tǒng)計(jì)的參數(shù)及其相互關(guān)系

郭麗娜

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

著名物理學(xué)家玻爾茲曼在19世紀(jì)提出了經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律，歷經(jīng)眾多實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，已在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。但是，近些年的研究發(fā)現(xiàn)，有些情況下，如存在長(zhǎng)程相互作用的非平衡系統(tǒng)，玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)表現(xiàn)出極大的局限性，因而人們開(kāi)始對(duì)經(jīng)典的玻爾茲曼熵進(jìn)行推廣，其中最具代表性的就是Tsallis熵。這一全新形式的熵不再像玻爾茲曼熵那樣具有廣延性，而是一種非廣延性的熵。這使得Tsallis統(tǒng)計(jì)具有了很多玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)所不具備的性質(zhì)，并因此而應(yīng)用到很多不同的領(lǐng)域。除此之外，通過(guò)引入?yún)?shù)，以不同的形式推廣玻爾茲曼熵后可以得到不同的廣義熵，進(jìn)而得到很多不同種類的廣義統(tǒng)計(jì)。本文研究了Tsallis非廣延性熵、κ熵、Abe熵以及更為廣泛的雙參數(shù)廣義熵函數(shù)的參數(shù)同系統(tǒng)的溫度梯度和外場(chǎng)力之間的關(guān)系式，分析了各種統(tǒng)計(jì)中參數(shù)的物理意義，并由此得到不同的廣義統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系和各自適用范圍，為進(jìn)一步尋找廣義統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域提供幫助。

1 經(jīng)典玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)

1.1 玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)

19世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)將物體的宏觀性質(zhì)和微觀狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，從微觀的角度解釋了物體的宏觀性質(zhì)。由于從宏觀角度無(wú)法區(qū)分每一個(gè)微觀粒子，所以對(duì)于某一物理系統(tǒng)而言，同一個(gè)宏觀狀態(tài)其實(shí)對(duì)應(yīng)了許多個(gè)不同的微觀狀態(tài)。對(duì)于孤立系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，不管系統(tǒng)的初始狀態(tài)如何，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，系統(tǒng)總是趨向于幾率分布不再發(fā)生變化的狀態(tài)，也就是宏觀平衡態(tài)。而統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)根本問(wèn)題正是孤立系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率是多少。玻爾茲曼作為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中里程碑式的科學(xué)家，提出了等幾率假設(shè)：系統(tǒng)中所有可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率都是相同的，或者說(shuō)任何一個(gè)微觀狀態(tài)都是彼此平權(quán)的。因此，對(duì)于理想氣體系統(tǒng)而言，如果處于宏觀狀態(tài)下的統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)，那么理想氣體分子間的碰撞相互作用、氣體分子與容器壁的碰撞相互作用等都是隨機(jī)的。因此，沒(méi)有理由認(rèn)為某一個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率比其他的微觀狀態(tài)更大。從這一假設(shè)出發(fā)，它的各種推論都和實(shí)驗(yàn)相符合，因而它也成為了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)基本假設(shè)，被廣為接受。

麥克斯韋-玻爾茲曼分布律就是從這一假設(shè)出發(fā)，描述密閉容器中孤立系統(tǒng)的理想氣體分子處于平衡態(tài)時(shí)，按能量分布的分布函數(shù)，即

式中：C為歸一化系數(shù)。玻爾茲曼分布是熱力學(xué)幾率的最大的宏觀分布。

1.2 玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)力學(xué)具有局限性

自19世紀(jì)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)物理學(xué)問(wèn)世以來(lái)，由于其所描述的系統(tǒng)宏觀特征和實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚝芎玫胤?，因而獲得廣泛應(yīng)用，成為最重要的統(tǒng)計(jì)工具。但是，麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)所描述的是處于平衡態(tài)下的理想氣體模型，也就是說(shuō)，對(duì)于某些非平衡系統(tǒng)[1～3]，如長(zhǎng)程相互作用系統(tǒng)[4]，它是不適用的。

恩里克·費(fèi)米在《熱力學(xué)》一書中指出[5]：一個(gè)由幾部分組成的系統(tǒng)的熵正好等于其的各個(gè)部分的熵之和。當(dāng)系統(tǒng)的能量為其他各部分能量之和，或者是一個(gè)系統(tǒng)在其變換過(guò)程中做的功等于其各個(gè)部分做的功總和時(shí)，這種表述是正確的。例如，某一系統(tǒng)是由系統(tǒng)A和系統(tǒng)B所組成的，那么該系統(tǒng)的熵就等于原來(lái)系統(tǒng)A 和系統(tǒng)B的熵之和，即S（A+B）=S（A）+S（B）。但是，特別要注意的是它所說(shuō)的前提條件并不是對(duì)于所有的系統(tǒng)都一定滿足。也就是說(shuō)，對(duì)于存在著長(zhǎng)程相互作用的系統(tǒng)，各個(gè)分系統(tǒng)的能量相加并不等于組合系統(tǒng)的能量。這時(shí)，總系統(tǒng)的熵就不再是分立系統(tǒng)A和系統(tǒng) B 的熵之和，即 S（A+B）≠S（A）+S（B）。假如還是利用麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)進(jìn)行描述，就會(huì)有所局限[6]。對(duì)于玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)力學(xué)所遇到的困難，英國(guó)物理學(xué)家蘭茲伯格在1978年提出[7]：為了描述長(zhǎng)程力，有必要對(duì)熱力學(xué)進(jìn)行修正，其中的一些問(wèn)題還需要進(jìn)一步的研究。

正是經(jīng)典的麥克斯韋-玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)力學(xué)具有的局限性[8]，說(shuō)明某些具有長(zhǎng)程相互作用的物理系統(tǒng)超出了它的適用范圍。所以，必須對(duì)這一經(jīng)典理論進(jìn)行推廣，從而能夠描述更多更復(fù)雜的物理系統(tǒng)。同時(shí)，推廣后的理論通過(guò)取得某些特定值，還應(yīng)該能夠回到原來(lái)的玻爾茲曼理論，從而使得新理論具有更為普遍的應(yīng)用范圍。

1.3 熵

為在物理上實(shí)現(xiàn)對(duì)經(jīng)典玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)力學(xué)的推廣，就需要在傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)中尋找一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，而傳統(tǒng)熱力學(xué)中最為重要的核心概念就應(yīng)當(dāng)是熵。將熵作為這個(gè)出發(fā)點(diǎn)，那便是最大熵原理。

作為信息論的創(chuàng)始人，香農(nóng)于20世紀(jì)從信息論的角度提出香農(nóng)熵：

式中：pi為物理系統(tǒng)第i個(gè)微觀態(tài)的概率，滿足

W為系統(tǒng)微觀狀態(tài)的總數(shù)。所以一個(gè)物理系統(tǒng)的內(nèi)能可以定義為：

式中：Ei為系統(tǒng)的第i個(gè)微觀態(tài)的能量本征值。在等幾率原理假設(shè)下，pi=1/W，此時(shí)香農(nóng)熵就可以回到平衡態(tài)下的玻爾茲曼熵：

因此，熵的概念更加豐富，無(wú)論是在平衡態(tài)時(shí)，還是非平衡態(tài)時(shí)，甚至是不可逆過(guò)程中，熵都有了物理意義。后來(lái)，杰尼斯提出：最大熵原理不具任何物理意義，而僅僅是一個(gè)推論的工具?？梢岳脤?duì)熵取極值的方法，并在條件（2）和（3）的限制下，人們能夠從熵的角度，分別在系綜論和分子運(yùn)動(dòng)論中重新推導(dǎo)出整個(gè)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)力學(xué)。

既然最大熵原理并不局限于某一類物理系統(tǒng)，而是普適的，那么就可以將它直接作為新統(tǒng)計(jì)理論的基本原理。通過(guò)推廣熵函數(shù)的數(shù)學(xué)形式，建立新的廣義統(tǒng)計(jì)理論。玻爾茲曼熵，可寫為：

顯然，式中的對(duì)數(shù)函數(shù)滿足可加性

這就使得玻爾茲曼熵也具有了這種可加性

即由系統(tǒng)A和系統(tǒng)B所組成的新系統(tǒng)的熵等于原來(lái)系統(tǒng)A和系統(tǒng)B的熵之和，所以在玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論中，熵是廣延量。正如之前所說(shuō)，人們可以從推廣玻爾茲曼熵的形式出發(fā)得到新的統(tǒng)計(jì)理論，但是對(duì)于推廣后新的熵，則可能就不再滿足該可加性了。

2 非廣延性q熵及其參數(shù)

對(duì)經(jīng)典廣延性的熵推廣時(shí)，可以把方程（5）推廣為：

這正是1988年由巴西物理學(xué)家Tsallis[9]提出的推廣后的熵。其中，定義廣義對(duì)數(shù)函數(shù)此時(shí)，對(duì)于A和B兩個(gè)相互獨(dú)立的系統(tǒng)，它們的微觀態(tài)概率和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)一樣，都可以滿足

但不同的是，此時(shí)它們總系統(tǒng)的熵卻不滿足可加性，即Sq（A+B）≠Sq（A）+Sq（B），而只滿足一種偽可加性

顯然，在q≠1時(shí)，Tsallis熵不是廣延的。而取極限q→1時(shí)，Tsallis熵函數(shù)回到了經(jīng)典的玻爾茲曼熵，重新成為廣延量。所以，引入的參數(shù)q就是物理系統(tǒng)非廣延性的量度，其取值同1偏離的程度表示了系統(tǒng)的非廣延性程度。

獲得了推廣后的非廣延熵，就可以對(duì)廣義對(duì)數(shù)函數(shù)取反函數(shù)，得到廣義的e指數(shù)函數(shù)，exp（x）=[1+，從而得到Tsallis分布函數(shù)

式中：C為歸一化系數(shù)。

自從Tsallis非廣延性統(tǒng)計(jì)力學(xué)提出后，眾多不同領(lǐng)域的研究都取得了新的進(jìn)展。在自引力系統(tǒng)、非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[10]、金斯判據(jù)[11]、鐵磁系統(tǒng)[12]、一維Ising模型[13]、純電子等離子體系統(tǒng)[14]、量子氣系統(tǒng)[15]、Lévy奇異分布[16]及核反應(yīng)[17]等方面成功解釋了某些經(jīng)典統(tǒng)計(jì)無(wú)法解釋的現(xiàn)象，從而獲得了廣泛的認(rèn)同。

然而，這些大量的關(guān)于Tsallis非廣延統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的研究，卻更加需要對(duì)其參數(shù)q的物理意義的深入理解，從而能夠更好地分析非廣延性統(tǒng)計(jì)和玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系。因此，通過(guò)廣義的玻爾茲曼方程，研究具有一定溫度梯度的非平衡定態(tài)系統(tǒng)，可以得到參數(shù)q的關(guān)系[18～19]與系統(tǒng)的溫度梯度和外場(chǎng)力F=e▽?duì)罩g的數(shù)值關(guān)系

從方程（12）中可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)q同1之間的差異表示了系統(tǒng)溫度梯度的大小，也就是系統(tǒng)偏離平衡態(tài)的程度，這也印證了之前所說(shuō)的參數(shù)q可以反映系統(tǒng)的非廣延性的大小。另一方面，方程（2）～（5）也說(shuō)明了在非廣延q統(tǒng)計(jì)下，要求系統(tǒng)的溫度梯度的方向和系統(tǒng)所受到的外場(chǎng)力F=e▽?duì)盏姆较蚱叫?。這也就是說(shuō)，非廣延性q統(tǒng)計(jì)更適用于描述溫度梯度方向和外場(chǎng)力方向相平行的系統(tǒng)，例如自引力天體系統(tǒng)[20]。

3 κ熵及其參數(shù)

除了Tsallis非廣延性q統(tǒng)計(jì)，還有多種不同的廣義統(tǒng)計(jì)，通過(guò)不同的方式推廣玻爾茲曼熵，引入不同的參數(shù)，對(duì)經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)進(jìn)行推廣，從而描述不同的非平衡態(tài)系統(tǒng)。其中最為常見(jiàn)的是由Kaniadakis提出的κ統(tǒng)計(jì)[21～22]，其熵函數(shù)可以寫為：

式中：C為歸一化系數(shù)。當(dāng)參數(shù)κ=0時(shí)，方程（13）中的κ熵函數(shù)回到經(jīng)典的玻爾茲曼熵，方程（14）中的κ分布函數(shù)回到玻爾茲曼分布。

同樣利用廣義的玻爾茲曼方程，考慮一個(gè)由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)，處在外力場(chǎng)F的作用下。對(duì)于該非平衡定態(tài)系統(tǒng)，可以在κ統(tǒng)計(jì)下分析其參數(shù)κ同溫度梯度和外場(chǎng)力F之間的關(guān)系為[23]：

這意味著參數(shù)κ同樣能表示非平衡系統(tǒng)溫度梯度的大小，κ同0的偏離值表明了該系統(tǒng)偏離平衡態(tài)的程度，即κ統(tǒng)計(jì)偏離玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)的大小。然而，與非廣延q統(tǒng)計(jì)不同的是方程（15）說(shuō)明了在κ統(tǒng)計(jì)下，系統(tǒng)所受到的外場(chǎng)力F的方向和溫度梯度是彼此垂直的。因此，κ統(tǒng)計(jì)更適合于描述外場(chǎng)力F的方向和溫度梯度垂直的非平衡系統(tǒng)。

非廣延q統(tǒng)計(jì)和κ統(tǒng)計(jì)雖然都可以描述非平衡定態(tài)系統(tǒng)，但它們所適用的系統(tǒng)卻不同。這表明不同的非平衡系統(tǒng)可能需要不同的廣義統(tǒng)計(jì)來(lái)描述，因此有必要研究不同廣義統(tǒng)計(jì)參數(shù)的物理意義，由此推斷它們各自所適用的系統(tǒng)。

4 雙參數(shù)廣義統(tǒng)計(jì)

為了理清不同種類的廣義統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，Kaniadakis[24]提出了一種雙參數(shù)的廣義統(tǒng)計(jì)，其熵函數(shù)中的廣義對(duì)數(shù)函數(shù)可寫為：

從方程（17）中可以發(fā)現(xiàn)，在取極限ζ→0時(shí)，可以得到廣義的q對(duì)數(shù)函數(shù)；或者也可以令ζ=1，從而得到κ統(tǒng)計(jì)中的廣義對(duì)數(shù)函數(shù)lnκ（x）=也就是說(shuō)，從這種雙參數(shù)廣義統(tǒng)計(jì)出發(fā)，可得到Tsallis統(tǒng)計(jì)、κ統(tǒng)計(jì)，或者更多的不同形式的廣義統(tǒng)計(jì)。

另外，利用廣義的玻爾茲曼方程，分析這種雙參數(shù)廣義統(tǒng)計(jì)中的2個(gè)參數(shù)κ、ζ，就可得到[25]

從方程（18）中，可以看到雙參數(shù)中的參數(shù)κ表示了系統(tǒng)的溫度梯度的大小，也就是表示了系統(tǒng)偏離平衡態(tài)的程度，即該廣義統(tǒng)計(jì)偏離經(jīng)典玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)的程度。方程（19）表示了溫度梯度和外場(chǎng)力F之間夾角的余弦值。也就是說(shuō)，雙參數(shù)廣義統(tǒng)計(jì)可以描述具有一定溫度梯度的非平衡定態(tài)系統(tǒng)，并且系統(tǒng)溫度梯度的方向和其所受到的外場(chǎng)力的方向之間夾角的余弦值可以用表示。

作為這種雙參數(shù)廣義統(tǒng)計(jì)的2個(gè)特例，Tsallis非廣延q統(tǒng)計(jì)和κ統(tǒng)計(jì)同樣可以描述非平衡定態(tài)系統(tǒng)，各自的特征參數(shù)可以作為它們偏離經(jīng)典玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)的量度。然而，不同形式的廣義統(tǒng)計(jì)，其可以是不同的，這就使得它們能夠描述的系統(tǒng)的溫度梯度和外場(chǎng)力F之間的夾角可以不同，即不同形式的廣義統(tǒng)計(jì)所適用的系統(tǒng)可能不同。這對(duì)于尋找廣義統(tǒng)計(jì)所適用的應(yīng)用領(lǐng)域具有非常重要的指導(dǎo)意義。

5 Abe廣義熵函數(shù)

從雙參數(shù)廣義統(tǒng)計(jì)可知，當(dāng)其參數(shù)κ、ζ取不同值時(shí)，可得到不同的廣義統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)一系列代數(shù)運(yùn)算[26]得到Abe在1997年提出的另一種廣義熵[27]

式中：當(dāng)參數(shù)qA→1時(shí)，廣義對(duì)數(shù)函數(shù)式（21）回到標(biāo)準(zhǔn)自然對(duì)數(shù)函數(shù)形式。由此，可以將分布函數(shù)寫為：

為了分析參數(shù)qA在熵函數(shù)中的物理意義，首先研究一個(gè)由N個(gè)粒子所組成的廣義動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。假設(shè)該系統(tǒng)中每個(gè)粒子的質(zhì)量為m，則其分布函數(shù)表示粒子處在相空間（x，v，t）處的幾率。如果系統(tǒng)處于外場(chǎng)力F的作用下，那么它就滿足描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)規(guī)律的廣義玻爾茲曼方程

式中：C（fqA）為碰撞項(xiàng)。當(dāng)系統(tǒng)處于廣義平衡態(tài)時(shí)，方程（23）中的碰撞項(xiàng)為零，即滿足：

方程（25）兩邊同時(shí)對(duì)坐標(biāo)求梯度，可得到：

方程（25）兩邊同時(shí)對(duì)速度求梯度，可得到：

由方程（26）可得到：

將方程（27）和（28）代入到方程（24），可得到：

經(jīng)整理化簡(jiǎn)后，利用方程（25），可得到：

參數(shù)qA的方程，雖然不像非廣延性q統(tǒng)計(jì)和κ統(tǒng)計(jì)那樣，能夠得到關(guān)于其參數(shù)的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系，但從這個(gè)方程中，仍可以看到參數(shù)qA將系統(tǒng)的溫度梯度和外場(chǎng)力F聯(lián)系起來(lái)，表明它們之間的數(shù)值關(guān)系。因此，參數(shù)qA既是反應(yīng)系統(tǒng)偏離平衡態(tài)程度的一個(gè)特征量，也是該廣義統(tǒng)計(jì)的一個(gè)核心參量。

6 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)經(jīng)典的玻爾茲曼熵的推廣，引入不同的參數(shù)，得到了不同的廣義熵函數(shù)，進(jìn)而得到相應(yīng)的廣義統(tǒng)計(jì)。本文詳細(xì)分析了Tsallis非廣延q統(tǒng)計(jì)熵、κ統(tǒng)計(jì)熵、雙參數(shù)廣義統(tǒng)計(jì)熵及Abe熵中的參數(shù)。并從廣義的玻爾茲曼方程出發(fā)，研究了它們各自的物理意義。不同的廣義統(tǒng)計(jì)的參數(shù)都可以看做是它們和經(jīng)典玻爾茲曼熵之間偏離程度的量度，且這些參數(shù)還可以表示出相應(yīng)的廣義統(tǒng)計(jì)的適用范圍。本研究既可理清不同的廣義統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，又可為更多的應(yīng)用領(lǐng)域打開(kāi)通道。

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