利用函數(shù)及等價(jià)轉(zhuǎn)化法證明二元不等式問題之一

張貴元

(內(nèi)蒙古包頭市薩拉齊第二中學(xué) 014100)

(1)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；

又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，

所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，

即x2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立，

(2)證法1 由于交換m,n不影響不等式的結(jié)構(gòu)，故可以設(shè)m>n.

所以x∈(1,+∞).

所以只需證明g(x)>2即可.

而g′(x)=

令h(x)=x2-2xlnx-1，x∈(1,+∞)，

所以h′(x)=2x-2(lnx+1)=2x-2-2lnx，

反思與歸納二元不等式有兩種形式，一種形式是對于同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)自變量而言，另一種形式則是對不同函數(shù)的不同自變量而言.利用導(dǎo)數(shù)解決第一種形式的二元不等式的基本思想是：把這個(gè)二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，然后按照導(dǎo)數(shù)研究一元不等式的方法來解決.一般來說，轉(zhuǎn)化的基本思想有兩種，一是利用函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問題，二是通過"奇次變換"把二元不等式變?yōu)橐辉坏仁?

對于第二種形式的不等式，則是轉(zhuǎn)化為不同函數(shù)的最值問題加以解決，即證明 .(特別注意：在把不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式時(shí)，要注意變換的等價(jià)性以及變換后函數(shù)的定義域.)

參考文獻(xiàn)：

[1]韓清海.新課標(biāo)高中總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練:第一輪[M].廣州：新世紀(jì)出版社，2016.