一道數(shù)學(xué)考題的多種解法

蘇保明

(云南省蒙自市蒙自一中 661100)

(1)求a；

(2)已知p,q,r是正實(shí)數(shù)，且滿足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值.

分析這是一道貌似題目平和，內(nèi)容樸實(shí)，給人以輕車熟路之感，但是認(rèn)真仔細(xì)品味，卻非同一般，其蘊(yùn)含著靈活多樣、妙處橫生的解題思路與方法.

因?yàn)閍是f(x)的最小值，所以a=1.

針對第(2)問有以下十一種解法.

方法一利用基本不等式

解法1 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù)，所以由公式a2+b2≥2ab,得

2pq≤p2+q2,2pr≤p2+r2,2qr≤q2+r2.

所以(p+q+r)2=p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr≤3(p2+q2+r2).

即32≤3(p2+q2+r2)，所以p2+q2+r2≥3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注用均值不等式a2+b2≥2ab的目的是使不等式中含有代數(shù)式p2+q2+r2和p+q+r,從而使問題得到圓滿解決.因此利用均值不等式是解決某些不等式問題的一種最基本的方法，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握.

方法二利用完全平方公式

解法2 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因?yàn)閜2-2p+1=(p-1)2≥0，即p2-2p+1≥0，所以p2+1≥2p.

同理，q2+1≥2q,r2+1≥2r,

所以p2+q2+r2+3≥2(p+q+r)，當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r=1時(shí)取等號，

所以p2+q2+r2+3≥6，所以p2+q2+r2≥3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注利用完全平方公式中的特性“非負(fù)數(shù)”解題，要特別注意不等式中取等號的條件.

方法三利用公式

解法3 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

解法4 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3，即p+q=3-r.

所以p2+q2+r2≥3(當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r=1時(shí)取等號)，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

解法5 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3，

因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù)，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

方法五空間向量法

解法6 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3,

因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù)，

所以可設(shè)m=(p,q,r)，n=(1,1,1)，則由m·n≤

|m|·|n|得

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注用向量法的關(guān)鍵就是正確構(gòu)造向量m和n，并使得m·n≤|m||n|中出現(xiàn)p2+q2+r2和p+q+r才行.因此利用向量不等式m·n≤|m||n|(或|m·n|≤|m||n|)是解決某些不等式問題的一種新方法，它能使解題過程簡單明了.

方法六柯西不等式法

解法7 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù)，

所以由柯西不等式可知(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=9(當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r=1時(shí)等號成立)，

所以p2+q2+r2≥3，所以p2+q2+r2的最小值為3.

方法七構(gòu)造等差數(shù)列

解法8 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3(p>0,q>0,r>0),

所以p2+q2+r2≥3(當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r=1時(shí)取等號)，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

方法八化圓法

解法9 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3(p>0,q>0,r>0).

設(shè)x=p，y=q，則x+y+r-3=0.

化簡得2m≥3r2-6r+9=3(r-1)2+6≥6(當(dāng)且僅當(dāng)r=1時(shí)取等號)，

所以m≥3，即p2+q2+r2≥3.

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注先令p2+q2+r2=m，并化為x2+y2=m-r2，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系d≤r求出p2+q2+r2的最小值，這就充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的作用.

方法九利用方差的性質(zhì)

解法10 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3.

因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù)，所以構(gòu)造離散型隨機(jī)變量X的分布列：

X3p3q3rP131313

所以由EX2≥(EX)2得3(p2+q2+r2)≥9，即p2+q2+r2≥3，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

評注用此法解決問題的關(guān)鍵就是能正確構(gòu)造離散型隨機(jī)變量的分布列，而是否正確構(gòu)造的關(guān)鍵又在于EX2與(EX)2中是否出現(xiàn)所需要的式子.此法是一種帶有很強(qiáng)的技巧性，必須熟練掌握才能運(yùn)用自如.

方法十判別式法

解法11 由(1)知a=1，所以p+q+r=3a=3，所以p+q=3-r.

所以(p+q)2=(3-r)2，所以p2+2pq+q2=9-6r+r2.

令p2+q2+r2=m，則p2+q2=m-r2,所以2pq+m-r2=9-6r+r2.

所以p2+q2+r2≥3(當(dāng)且僅當(dāng)p=q=r=1時(shí)取等號)，

所以p2+q2+r2的最小值為3.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社,2003(2-3)．