向量數(shù)量積不等式的多種應(yīng)用

鮑人燈

(浙江省天臺(tái)育青中學(xué) 317200)

由平面向量的數(shù)量積a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,可以得到數(shù)量積不等式：①a·b≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向時(shí)取等號(hào))；②a·b≥-|a||b|(且僅當(dāng)a與b反向時(shí)取等號(hào))；③|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a與b共線時(shí)取等號(hào)).在解題中如果能設(shè)法構(gòu)造出上述不等式的一端，然后利用數(shù)量積不等式，那么就可以求解諸多數(shù)學(xué)問題.下面分類舉例說(shuō)明.

一、求最值

例1 求下列函數(shù)的最大值：

總之，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)淖冃?，使得?yīng)用數(shù)量積不等式后，消去變?cè)?，得出常?shù).

二、求值域

解(1)原式化成1×sin2x+1×cos2x=y-2.構(gòu)造向量a=(1,1),b=(sin2x,cos2x).由|a·b|≤|a|

(2)去分母，可化成ysinx+(y-1)cosx=1-2y.

構(gòu)造向量a=(y,y-1),b=(sinx,cosx),則由向量不等式得

化成y2-y≤0,從而解得值域是0≤y≤1.

點(diǎn)評(píng)(1)題是關(guān)于sinx、cosx的二次齊次式，(2)題是關(guān)于sinx、cosx的一次分式.這些類型的三角式值域問題，都可用本例的方法求解.

三、證明不等式

點(diǎn)評(píng)(1)題在運(yùn)用數(shù)量積不等式后，汪意條件a+b=1,使得一端出現(xiàn)常數(shù)而獲證.(2)題構(gòu)造出m·n=2,這是解題的閃光點(diǎn).

四、證明

即1≤(m2+n2)[2-(m2+n2)],(m2+n2)2-2(m2+n2)+1≤0,(m2+n2-1)2≤0,從而m2+n2=1.

點(diǎn)評(píng)本例變形中，關(guān)注目標(biāo)式，始終把m2+n2視為一個(gè)整體，使得過程順利.

五、解方程

點(diǎn)評(píng)本例運(yùn)用數(shù)量積不等式取等號(hào)的條件，得到兩個(gè)向量a與b同向是求解x的關(guān)鍵.

六、求值

點(diǎn)評(píng)本例使用數(shù)量積不等式的目的是減元(消去α)化簡(jiǎn)，因此構(gòu)造向量a，b時(shí)，應(yīng)使角α、β分別在向量a、b中.

多年來(lái)高考命題一直以能力立意，考查對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí).因此在教學(xué)中進(jìn)行專題講座與訓(xùn)練，開拓學(xué)生思維，不斷創(chuàng)新，靈活地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，選擇有效的方法和手段分析信息，創(chuàng)造性地解決問題，這對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新型人材大有益處.

參考文獻(xiàn)：

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