構(gòu)造函數(shù) 巧解不等式

惠丹鳳 吳麗芳 魏春強

(陜西省安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 725000)

吳麗芳( 1995.9-)女，陜西省漢中人，2014級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生.

魏春強(1964.9-)，男，陜西省城固人，本科，從事高中數(shù)學(xué)教育研究.

不等式的證明方法有多種，但是由于其自身的復(fù)雜性，我們通常可以根據(jù)不等式的自身特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)利用其單調(diào)性、奇偶性、有界性、凹凸性巧解不等式.

一、構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性

解法小結(jié)此題具有較強的函數(shù)背景，通過分析直接構(gòu)造出相應(yīng)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法和它的單調(diào)性質(zhì)就可簡捷地證明了此不等式.

二、構(gòu)造函數(shù)，利用有界性

解法小結(jié)此不等式需要變換形式再構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義構(gòu)造有界函數(shù)，即變元取平均值時的切線函數(shù)，最后即證此不等式成立.

三、構(gòu)造函數(shù)，利用奇偶性

解法小結(jié)本題是通過不等式特征構(gòu)造函數(shù)，再借助函數(shù)的奇偶性和圖象的對稱性達到證明.

四、構(gòu)造函數(shù)，利用凹凸性

解法小結(jié)本例題先通過變換形式再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的凹凸性，最終證明不等式成立.

因此，通過對以上例題的分析，我們發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造函數(shù)法在證明不等式中有著共同獨特的魅力，因為函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的應(yīng)用，常常使得不等式的證明由復(fù)雜變得簡單，達到了意想不到的效果.

參考文獻：

[1]陳傳理，張同君.競賽數(shù)學(xué)教程(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2013：26-29.

[2]韓清海，張鳳民.新編高中總復(fù)習(xí)導(dǎo)與練——數(shù)學(xué)[M].陜西：陜西人民出版社，2005：235.