求實際應用問題中最值的六種意識

周法青 宋振蘇

(1.江蘇省大港中等專業(yè)學校 222043; 2.江蘇省連云港開發(fā)區(qū)高級中學 222067)

周法青(1967.8-)，男，江蘇連云港人，學歷，中學一級教師，優(yōu)秀青年教師.

一、利用函數(shù)的單調性

函數(shù)的單調性是函數(shù)重要而基本的性質之一，也是解答最值問題的有效工具之一，因此在解答某些實際應用問題時，如能合理運用會使問題的求解簡捷明快、事半功倍.

圖1

(1)求新橋BC的長；

(2)當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？

思路(1)建立平面直角坐標系，設點B的坐標，借助題設求出B的坐標，進而求出BC的長；(2)先設OM的長為d，建立半徑r關于d的函數(shù)，再借助題設條件求出d的范圍，最后依據(jù)函數(shù)的單調性求出r的最大值.

點評本題(2)借助直線BC與圓M相切建立了半徑r關于d的函數(shù)(一次函數(shù))，再利用題設條件求出變量d的取值范圍，最后運用一次函數(shù)的單調性求出半徑r的最大值，進而使本題獲解.

二、利用二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學數(shù)學中重要的基本初等函數(shù)之一，也是解決實際應用問題的有效工具之一，解決某些實際應用的最值問題時，如果建構的函數(shù)模型是二次函數(shù)，可運用二次函數(shù)的有關知識進行求解.

例2 (2011年連云港模考題)某汽車租賃公司總共擁有汽車100輛，當每輛汽車的月租金為3000元時，可全部租出.若每輛汽車的月租金增加50元，未租出的汽車將會增加1輛，另外租出的汽車每輛每月需要維護費150元，未租出的汽車每輛每月還需要養(yǎng)護費50元.

(1)當每輛汽車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

(2)當每輛汽車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益(一個月所獲得的利潤)最大？求出該最大月收益.

思路先根據(jù)題設搞清楚租出的和未租出的汽車數(shù)，建立函數(shù)關系，再運用數(shù)學知識求解.

點評本題是一道汽車租賃中的實際應用問題，解答時借助二次函數(shù)的知識和圖象，使問題輕松獲解.當建構的函數(shù)模型是二次函數(shù)時，應運用二次函數(shù)的有關知識求解.

三、利用基本不等式

基本不等式是中學數(shù)學中重要的知識點和解題的模型與工具，也歷屆數(shù)學高考命題的必考考點.解答某些實際應用問題時，若建立的函數(shù)符合基本不等式的情境時，可適時靈活地運用基本不等式進行求解.

圖2

例3 (2010年江蘇卷)如圖2,某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m)，如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

(1)該小組已經測得一組α,β的值，且tanα=1.24,tanβ=1.20，請根據(jù)此數(shù)據(jù)算出H的值；

(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當調整標桿到電視塔的距離d(單位m)，使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125 m，問d為多少時，α-β最大？

思路(1)依據(jù)題設建立方程組求解；

(2)先建立tan(α-β)關于變量d的函數(shù)，再求tan(α-β)的最大值從而可使本題獲解.

四、利用三角函數(shù)

三角函數(shù)也是中學數(shù)學中重要的基本初等函數(shù)之一，也是解決實際應用問題的有效工具之一，解決某些實際應用的最值問題時，如果建構的函數(shù)是三角函數(shù)模型，可運用三角函數(shù)的有關知識進行分析求解.

圖3

思路先設DB=AB=x，分別在△ABC,△DBC中運用余弦定理，建立CD關于x的函數(shù)關系式，進而運用所學知識進行求解.

點評本題易運用余弦定理和勾股定理建立了函數(shù)關系，求解時借助換元法將問題進行轉化為三角函數(shù)的最值問題，從而使貌似挺難的問題巧妙獲解，體現(xiàn)了換元轉化思想與三角函數(shù)的最值在解決實際問題中的妙用.

五、利用導函數(shù)

導數(shù)是研究函數(shù)的單調性和極值最值的重要工具，是中學數(shù)學中研究函數(shù)的圖象和性質的重要手段之一，也是解決實際應用問題的有效工具之一，解決某些實際應用的最值問題時，如果能巧妙利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調性，進而可求出其極值和最值.

圖4

(1)求a,b的值；

(2)設公路L與曲線C相切于點P，而點P的橫坐標為t，

①請寫出公路L長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路L的長度最短？并且求出最短長度.

思路(1)可依據(jù)題設條件建立a,b方程組求解；

(2)先求出切線的斜率，再求切線方程，求出切線與坐標軸的交點坐標，求出公路L的長度(用t來表示)，建立函數(shù)f(t)，再運用所學知識求出其最小值.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學標準[M].北京：人民教育出版社，2017.