利用幾何知識求解函數(shù)的最值

吳麗麗

(福建省漳州市第三中學(xué) 363000)

在當(dāng)前利用幾何知識求解函數(shù)最值中，主要包括了向量法、數(shù)形結(jié)合法等.數(shù)形結(jié)合法包括了把最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的截距，把最值轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象上點的距離、 或兩點連線的斜率等.

一、運用向量法求解函數(shù)最值

在高考中，向量是一個較為重要的部分，利用直觀的圖形，對很多代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化，從而便于理解.利用向量求解函數(shù)最值，需要掌握向量的特點，分別是向量三角不等式：|a|+|b|≥|a+b| ；向量數(shù)量積性質(zhì)：a·b≤|a||b|.在應(yīng)用向量法的過程中，要確保合理恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造向量，根據(jù)函數(shù)形式選擇最合適的向量，以保證能夠在有限的時間內(nèi)快速求解函數(shù)最值.而且，向量法中會涉及到很多不等式，因此在實際解題過程中，需要對不等式的等號成立條件加以注意.

二、運用構(gòu)造法求解函數(shù)最值

在函數(shù)問題中，構(gòu)造法是一種常用的解題方法，在利用幾何知識求解函數(shù)最值的過程中，也會對構(gòu)造法加以應(yīng)用.

解根據(jù)題目構(gòu)造兩個函數(shù)f(x)=3lnx-x2,g(x)=x+2，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),點A、B分別為函數(shù)f(x)=3lnx-x2、g(x)=x+2圖象上的兩個動點, 則|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.

分析對題中給出的信息加以分析，對滿足題目要求，同時方便求解的圖形進行構(gòu)造，為函數(shù)最值求解提供幫助.在平常的學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)注意對圖形的觀察，從而能夠在解決實際問題時更加得心應(yīng)手.

三、轉(zhuǎn)化為截距求解函數(shù)最值

高考當(dāng)中會有一些數(shù)學(xué)問題，并沒有直接給出函數(shù)求解，而是需要構(gòu)造一個函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成數(shù)形結(jié)合方法，對函數(shù)最值進行求解.最為常見的是一次函數(shù)y=kx+b的截距，此類一次函數(shù)的構(gòu)造相對簡單而且計算方便，使x=0或y=0即可求解最值.

例3 (2017年南寧模擬)已知M(m,n)為圓C:x2+y2-4x+14y+45=0上任意一點，求m+2n的最大值.

分析此類題目相對較為簡單，沒有設(shè)置過多的陷阱，求解的是二元一次多項式，但并不是本文提到的函數(shù).對此，首先構(gòu)造熟悉的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在y軸上的截距問題，同時可畫圖輔助分析，得到更為清晰的解題思路.

總之， 高考對于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查， 就是一大要點.我們要有意識地引導(dǎo)學(xué)生運用幾何方法去分析問題，讓他們在面對高考中的特殊函數(shù)最值問題時，能從容應(yīng)對.

參考文獻：

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