初始缺陷圓弧拱面內(nèi)非線性失穩(wěn)實驗研究*

尹宸哲，禹奇才，劉愛榮，盧漢文，張駿峰

(廣州大學—淡江大學工程結構災害與控制聯(lián)合研究中心，廣東 廣州 510006)

由于實際加工和制造的誤差，任何具有確定幾何形狀的結構都不可避免地具有缺陷。承受軸向壓力的拱也不例外，各種不同跨徑和結構的拱均不同程度地存在著缺陷。拱結構只要存在初始幾何缺陷，其穩(wěn)定性就不再是平衡分支問題，而是極值點失穩(wěn)問題。國內(nèi)外學者對拱的靜、動力穩(wěn)定性進行了深入研究，但這些研究基本不考慮缺陷的影響[1-5]。個別學者利用有限元數(shù)值分析方法，通過引入整體一致的幾何缺陷和事先假定的局部缺陷，研究了相關缺陷對拱的穩(wěn)定性和極限承載能力的影響，例如：顏全勝等[6]針對考慮初始幾何缺陷影響的梁單元，兼顧拱的面內(nèi)初始變形的影響，把具有缺陷的拱當作具有缺陷的直壓桿計算，并對鋼管混凝土拱橋進行了非線性和穩(wěn)定分析，結果表明缺陷對拱肋內(nèi)力、應力和位移的影響系數(shù)均小于10%；程進等[7]編制了非線性程序，對考慮初始幾何缺陷的大跨度鋼管混凝土拱橋進行了穩(wěn)定分析，驗證了拱肋面外的初始缺陷對大跨度拱橋面內(nèi)的極限承載力不會產(chǎn)生較大影響；謝旭等[8]采用彈塑性大變形計算方法，將幾何缺陷分為單元局部缺陷和整體一致缺陷，發(fā)現(xiàn)幾何缺陷使得大跨度拱橋的結構承載力降低了8%左右；戴云峰[9]提出了利用樣條函數(shù)法分析理想拱的面內(nèi)、面外穩(wěn)定性，并建立了具有任意橫向初始幾何缺陷拱的彈性承載力評估方法；易壯鵬[10]將幾何缺陷拱的節(jié)點偏差視為隨機變量，通過條件隨機變量等方法得到了隨機幾何缺陷的分布方式和大小，同時從虛功原理和廣義變分原理出發(fā)，研究了幾何缺陷對拱的穩(wěn)定性能的影響；Zhao等[11]提出了考慮平面幾何缺陷的橫向支撐拱的平面內(nèi)彈性強度設計公式，證明了幾何缺陷的大小和分布可能會導致拱的平面外強度減少。以上研究表明：針對初始缺陷對拱穩(wěn)定性影響的研究，目前大多采用數(shù)值假設、人為施加缺陷的方式，與實際結構缺陷存在一定的差異，且未通過實驗驗證。

關于考慮初始缺陷拱失穩(wěn)的實驗研究，國內(nèi)外學者鮮有所涉及。Papangelis等[12-13]建立了雙對稱截面圓拱的彎扭屈曲理論，導出了軸向和剪切應變的非線性表達式，并將其代入總勢能的二階變化式，得到了拱屈曲方程。同時，進行了拱頂集中力作用下的鋁合金工字型截面拱的面外彈性彎扭失穩(wěn)實驗，測試了集中荷載作用下簡支拱的彎扭失穩(wěn)行為。Guo等[14]通過彈塑性試驗研究發(fā)現(xiàn)固接鋼拱的非彈性失穩(wěn)承載能力受初始缺陷大小和分布的影響較大，但實驗未獲得不穩(wěn)定平衡路徑以及后屈曲失穩(wěn)行為。La Poutré D B等[15]對15組拱頂集中作用力下工字型截面圓弧鋼拱的面外彈塑性失穩(wěn)進行了實驗研究，拱的圓心角從90°變化到180°。實驗表明，面外幾何缺陷對拱極限承載能力大小有一定的影響。本文自行設計了位移控制加載系統(tǒng)，利用光學動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)測得拱的實際初始幾何缺陷，跟蹤了拱頂集中力加載全過程的結構變形情況和失穩(wěn)模態(tài)，分析了初始缺陷對拱失穩(wěn)極值點和失穩(wěn)模態(tài)的影響。

1 試驗介紹

1.1 實驗試件

本文研究對象為圓弧拱，如圖1(a)所示。圓弧拱矢跨比為1/5、1/6、1/7和1/8，跨徑為173 cm，拱截面為矩形截面，寬度和高度分別為25和1.5 mm，材質是牌號6 061的鋁合金。通過拉伸試驗測得鋁合金彈性模量為6.8×1010Pa，圓弧拱試件經(jīng)冷加工成形。為實現(xiàn)拱腳固接，本實驗將圓弧拱的拱腳伸入到特殊加工的夾具，如圖1(b)所示。固定和扭緊螺栓，確保拱腳與固定夾具無相對滑移。

圖1 圓弧拱試件及拱腳夾具Fig.1 Specimens of circular arch and support lofting

1.2 初始線形和缺陷測試

采用NDI Optotrak光學動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)進行實時位移測量。為精確獲得試驗拱的初始缺陷、線形、加載過程中的變形情況和初始屈曲、后屈曲失穩(wěn)模態(tài)，在試驗拱的拱腳、二分點、四分點、八分點和十六分點粘貼Markers反光標識點，共設17個標識點，如圖2所示。Markers點是光學動態(tài)位移測試儀的三維測量系統(tǒng)配套的紅外線發(fā)光標識點，具有質量輕、顯示位置準確的特點。Markers點對圓弧拱變形的影響可忽略不計，NDI Optotrak光學動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)的精度可達到0.1 mm，故實驗儀器精度完全可以滿足測量精度要求。

圖2 Markers(標識點)位置示意圖Fig.2 Marker points on the arch

實驗開始前先對矢跨比為1/5～1/8的圓弧拱的初始狀態(tài)進行了測量，包括圓弧拱的弧長、跨徑、矢跨比和關鍵點三維空間坐標，以獲得拱的初始線性以及初始缺陷，并與理想狀態(tài)拱的線形進行比較。不同矢跨比的圓弧拱的實際拱與理想拱軸線，如圖3所示。

由圖3可知，由于加工、運輸?shù)雀鞣N原因，導致圓弧拱的實際線形與理想線形有著細微的差別。當矢跨比為1/5和1/6時，實際拱軸線比理論高出1.2%；當矢跨比為1/7時，實際拱軸線與理想拱軸線誤差不到1%，伴隨明顯的正弦缺陷；當矢跨比為1/8時實際拱軸線拱頂比理想拱低了1.3%。

1.3 加載過程測試

為了獲得整個實驗過程中力和位移的關系曲線、失穩(wěn)平衡路徑，以及拱失穩(wěn)的上下極值點，本文特別設計了一套位移控制加載裝置。加載裝置由力傳感器、加載端固定夾片、拉桿和豎向自由伸縮平臺組成。力傳感器焊接在加載端固定夾片下方，將其緊貼于圓弧拱的拱頂中心處，并與下端拉桿相連接，最后將拉桿固定在豎向自由伸縮平臺上，如圖4所示。

圖3 不同矢跨比圓弧拱實際拱軸線與理想拱軸線Fig.3 Practical axis and perfect axis of circular arches with different rise-span ratio

圖4 位移加載裝置Fig.4 Displacement loading device

在實驗過程中，通過旋動拉桿與豎向自由伸縮平臺間的螺栓，控制拱頂豎向位移值，并從力傳感器中讀出相應的荷載大小，如圖5所示。實驗第一階段對圓弧拱采用位移控制的方式緩慢加載，記錄每一加載步對應的力傳感器和NDI Optotrak光學動態(tài)位移三維測量系統(tǒng)的讀數(shù)，直到力傳感器讀數(shù)幾乎不再增加，此時力傳感器讀數(shù)為曲線的上極值點；第二階段繼續(xù)通過位移控制進行加載，隨著位移的增加，力傳感器讀數(shù)隨之減少，直到力傳感器讀數(shù)幾乎不再變化，此時力傳感器讀數(shù)為曲線的下極值點；當力傳感器讀數(shù)開始再次上升時，隨即進入第三階段，繼續(xù)施加載荷，記錄相關的數(shù)據(jù)，即可獲得完整的荷載位移曲線。

圖5 試驗拱測試Fig.5 Arch in loading process

2 拱的有限元計算模型

為了驗證實驗結果的準確性、分析初始缺陷對拱失穩(wěn)行為的影響，利用有限元軟件ANSYS對具有相同矢跨比、跨徑的理想狀態(tài)圓弧拱進行數(shù)值模擬分析。采用平面梁單元beam3進行模擬，共建立100個單元，拱兩端邊界條件為固接，如圖6所示。

圖6 拱有限元模型Fig.6 Finite element model of arch

3 討論與分析

3.1 荷載位移曲線

以1/5矢跨比的圓弧拱的荷載-位移曲線為例，說明兩端固接的圓弧拱的失穩(wěn)過程。如圖7所示，拱頂豎向集中力從零開始，拱頂豎向位移與荷載曲線沿著穩(wěn)定平衡路徑0A逐漸上升，到達上極值點A時，拱結構發(fā)生前屈曲失穩(wěn)；若繼續(xù)施加拱頂豎向位移，拱頂集中力將沿著非穩(wěn)定平衡路徑AB逐漸減少，此時拱失去了承載能力；當?shù)竭_下極值點B時，拱發(fā)生后屈曲失穩(wěn)；若繼續(xù)增加拱頂豎向位移，則拱頂集中力又繼續(xù)沿穩(wěn)定平衡路徑BC逐漸增大，拱重新恢復了承載能力。平衡曲線的上下兩個極值點A和B對應的荷載即為前屈曲和后屈曲失穩(wěn)臨界荷載。

圖7 1/5矢跨比的圓弧拱拱頂荷載-位移曲線Fig.7 Loading-displacement curvels on the crown of circular arch with 1/5 rise-span ratio

圖8為1/5～1/8矢跨比的圓弧拱拱頂豎向位移-荷載曲線，涉及FEM計算值與實測數(shù)據(jù)兩組曲線。從圖8中的(a)～(d)可知， FEM數(shù)值模擬和實驗測試結果，拱的前屈曲和后屈曲失穩(wěn)極值點均是隨著矢跨比的減小而降低；同時，實測上極值點均位于理想FEM計算極值點下方。實測曲線的上極值點均略低于理想FEM數(shù)值模擬結果，說明初始幾何缺陷對拱的承載能力影響較大，降低了其承載能力。

圖8 不同矢跨比的圓弧拱拱頂荷-載位移曲線Fig.8 Loading-displacement curvels on the crown of circular arches with different rise-span ratio

圖9為不同矢跨比的圓弧拱的失穩(wěn)臨界荷載。由圖9可知，前屈曲失穩(wěn)極值點遠大于后屈曲失穩(wěn)極值點，且前屈曲失穩(wěn)極值點為后屈曲極值點的2～2.5倍。

圖9 不同矢跨比的圓弧拱的失穩(wěn)臨界荷載Fig.9 Instability critical load of circular arch with different rise-span ratio

3.2 失穩(wěn)模態(tài)

通過對拱軸線17個Mark點的實時觀測，可跟蹤整個加載過程中拱的變形形態(tài)，準確捕捉到拱的前屈曲和后屈曲失穩(wěn)模態(tài)。如圖10-13所示，經(jīng)過多組實驗對比發(fā)現(xiàn)，不同矢跨比、不同初始幾何缺陷拱的屈曲失穩(wěn)模態(tài)均有不同，但總體上均呈馬鞍形。

圖10 1/5矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.10 The buckling mode of circular arch with 1/5 rise-span ratio

圖11 1/6矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.11 The buckling mode of circular arch with 1/6 rise-span ratio

圖12 1/7矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.12 The buckling mode o of circular arch with 1/7 rise-span ratio

圖13 1/8矢跨比圓弧拱屈曲失穩(wěn)模態(tài)Fig.13 The buckling mode of circular arch with 1/8 rise-span ratio

對比實測數(shù)據(jù)和FEM數(shù)值計算結果發(fā)現(xiàn)，計算結果與實驗測試結果有一定差異。對于前屈曲失穩(wěn)模態(tài)，理想的FEM數(shù)值計算結果均為正對稱曲線，而實測結果并非嚴格對稱；特別地，1/6矢跨比的圓弧拱的實測失穩(wěn)模態(tài)呈現(xiàn)反對稱的趨勢。這主要是因為拱的初始幾何缺陷和拱頂集中力加載點與理論對稱點略有偏差所致。對于后屈曲失穩(wěn)模態(tài)，理想FEM數(shù)值計算結果與實測值基本吻合，曲線變化趨勢基本一致，均呈對稱變形狀態(tài)，說明拱的初始幾何缺陷對后屈曲失穩(wěn)模態(tài)的影響較小。

4 結 論

本文對圓弧拱加載全過程的力-位移曲線及失穩(wěn)模態(tài)進行了實時測量，跟蹤了加載全過程中圓弧拱的變形情況和失穩(wěn)模態(tài)，獲得了拱的失穩(wěn)平衡路徑，獲得了缺陷圓弧拱的失穩(wěn)上極值點和下極值點，揭示了初始幾何缺陷對拱極值點以及屈曲失穩(wěn)模態(tài)的影響。主要結論如下：

1)本文自行設計的位移控制加載裝置，可實現(xiàn)圓弧拱由非線性平衡狀態(tài)到非平衡狀態(tài)的全過程加載。

2)拱結構前屈曲和后屈曲極值點均是隨著矢跨比的減小而降低，并且前屈曲失穩(wěn)極值點遠大于后屈曲失穩(wěn)極值點；前屈曲失穩(wěn)極值點對拱的初始幾何缺陷比較敏感，初始幾何缺陷會降低拱的承載能力。

3)初始幾何缺陷對拱的前屈曲失穩(wěn)模態(tài)的影響大于后屈曲失穩(wěn)模態(tài)。

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