基于模擬退火算法的PID參數(shù)優(yōu)化研究*

湯 偉，胡祥滿, b

(陜西科技大學 a.工業(yè)自動化研究所；b.機電工程學院，西安 710021)

0 引言

PID控制器因為其結(jié)構(gòu)簡單、易設計和操作、成本低、良好的性能和穩(wěn)定性[1-2]，控制規(guī)律簡單，魯棒性好，可靠性高，適用范圍廣等優(yōu)點[3]，被廣泛應用于工業(yè)自動化領域，并成為工業(yè)過程控制中最廣泛的控制策略之一。PID控制器的設計和整定即確定其KP、Ti、Td三個參數(shù)，它直接影響控制效果的優(yōu)劣，以及系統(tǒng)運行的安全性、經(jīng)濟性，故PID參數(shù)的優(yōu)化與整定至今仍是熱門話題。一些傳統(tǒng)常規(guī)的PID參數(shù)整定方法早已被提出[4]，最典型的如Ziegler-Nichols法和Cohen-Coon法，還有經(jīng)驗整定法、臨界比例度法、衰減曲線法[5]、梯度法及單純形法[6]等。但這些傳統(tǒng)常規(guī)方法的局限性在于，通常很難確定PID控制器的最優(yōu)參數(shù)[7]，且整定過程繁瑣并帶有相當?shù)慕?jīng)驗因素，而運用現(xiàn)代控制理論進行分析、綜合需耗費很大的代價進行模型辨識[8]。因此隨著計算機技術和智能控制理論的發(fā)展，利用計算機技術和智能算法進行PID參數(shù)的整定優(yōu)化是一種有效的新思想，例如遺傳算法(GA)、粒子群優(yōu)化(PSO)、蟻群優(yōu)化(ACO)[7]等。

模擬退火算法(Simulated Annealing Algorithm，SAA)是一種做隨機搜索的智能全局優(yōu)化算法，具有較強的收斂性和魯棒性及全局尋優(yōu)能力，特別適宜組合優(yōu)化問題的求解。本文提出基于SAA的PID優(yōu)化方法，針對工業(yè)過程中各類常見系統(tǒng)探討該方法的可行性，在各綜合性能指標下分析了多個目標優(yōu)化間的差異性，通過仿真比較驗證該方法的優(yōu)越性，為PID整定提供一種新的優(yōu)化方法并為實踐應用提供一定的參考和借鑒。

1 模擬退火算法

SA算法思想利用了實際物理退火的熱力學過程中熔融固體粒子的統(tǒng)計熱力學規(guī)律與數(shù)學上求解復雜組合優(yōu)化問題的類似性[9]。其實現(xiàn)全局最優(yōu)化的關鍵是據(jù)金屬內(nèi)部粒子的狀態(tài)選擇規(guī)律提出的Metropolis準則，將實際問題的目標函數(shù)作為能量函數(shù)，解空間對應于狀態(tài)空間，優(yōu)化時從隨機初始化解開始，在當前解鄰域內(nèi)隨機搜索產(chǎn)生新解，并據(jù)Metropolis準則接受更優(yōu)解[10]；沿優(yōu)化方向，以此反復更優(yōu)迭代，從而找到全局最優(yōu)解。算法以概率1接受優(yōu)解同時又以一定概率接受劣解，即可控概率突跳特性[11]，故跳出局部最優(yōu)的能力強，理論上算法能以概率1收斂到全局最優(yōu)解。其優(yōu)化過程描述如下：

Step1:初始化:給定初始溫度Tk(k=0)，隨機初始化解x0，退火系數(shù)λ，終止溫度等條件。

Step2:在溫度Tk下，在當前優(yōu)解x的鄰域內(nèi)隨機產(chǎn)生新解x′；計算目標函數(shù)值f(x)、f(x′)及Δf，據(jù)Metropolis準則判斷是否接受x′作為當前優(yōu)解x。

Step3:判斷在溫度Tk下是否滿足平衡要求或到達規(guī)定迭代次數(shù)，若滿足要求轉(zhuǎn)到Step4，否則返回Step2。

Step4:退溫操作，令k=k+1，Tk+1=λTk。

Step5:判斷是否滿足終止條件，若滿足輸出優(yōu)化結(jié)果并結(jié)束算法，否則返回Step2。

2 基于模擬退火算法的PID參數(shù)優(yōu)化

2.1 選取目標函數(shù)

運用SAA優(yōu)化PID參數(shù)需要一個能攜帶控制器Kp、Ti、Td三個參數(shù)的優(yōu)劣信息的目標函數(shù)，而PID參數(shù)直接影響控制系統(tǒng)的時域響應性能，則理想的目標函數(shù)希望能夠反映控制系統(tǒng)性能或作為控制系統(tǒng)性能評價指標。但通常控制系統(tǒng)響應性能由多個指標評價，故期望采用一個綜合性能指標，常見的綜合性能指標是基于系統(tǒng)輸出與參考輸入信號間的時域偏差積分性能指標，如式(1)～(4)所示4種，能反映在當前PID參數(shù)控制下，系統(tǒng)偏差e(t)與時間t之間的關系。

①時間絕對偏差乘積分(ITAE)

(1)

②時間偏差平方乘積分(ITSE)

(2)

③絕對偏差積分(IAE)

(3)

④平方偏差積分(ISE)

(4)

因此，分別選擇上述四種指標作為目標函數(shù)，且為易于計算機程序的實現(xiàn)，將上述4個時域連續(xù)指標分別進行如式(5)～式(8)的離散化近似：

(5)

(6)

(7)

(8)

即，取足夠大的積分上限時間T，使得T=RΔt，R∈N+，得到離散時間數(shù)組t(i)，i=1，2，3…R；則每一個時間點對應一個系統(tǒng)偏差e(i)，只要Δt取得足夠小，4種指標就可分別近似為式(8)～式(11)。

2.2 優(yōu)化思想

PID參數(shù)優(yōu)化問題實際上是控制器的三個參數(shù)Kp、Ti、Td的一個組合優(yōu)化問題，運用SAA優(yōu)化PID參數(shù)就是利用其做隨機搜索、強的全局優(yōu)化能力、較好的收斂性和魯棒性、適宜于組合優(yōu)化問題求解等特性在經(jīng)驗范圍內(nèi)尋求一組使得控制系統(tǒng)性能最優(yōu)的Kp、Ti、Td參數(shù)。圖1為工業(yè)過程控制原理圖，優(yōu)化原理如圖2所示，先將算法產(chǎn)生的參數(shù)賦給控制器，對給定輸入的系統(tǒng)進行控制，算法據(jù)系統(tǒng)的時域響應與設定值的偏差e(t)，按上述離散化近似對系統(tǒng)進行性能評價，則前述4種性能指標實際上就是關于控制器參數(shù)Kp、Ti、Td的三元函數(shù)，作為目標函數(shù)反映了當前控制器參數(shù)的優(yōu)劣，算法據(jù)此接受更優(yōu)參數(shù)，不斷重復此工作，直到在給定的參數(shù)空間內(nèi)求得最優(yōu)的一組控制器參數(shù)。

圖1 工業(yè)過程控制系統(tǒng)框圖

圖2 SAA優(yōu)化PID參數(shù)原理

2.3 優(yōu)化流程

圖3是SAA優(yōu)化PID參數(shù)的流程框圖，簡單描述如下：

Step1:初始化:給定初始溫度Tk(k=0)，隨機初始化一組參數(shù)X0，確定退火系數(shù)λ，終止條件等。

Step2:在溫度Tk下，在當前較優(yōu)的一組參數(shù)X的鄰域內(nèi)隨機產(chǎn)生新的一組參數(shù)X′；將參數(shù)賦給控制器并運行控制系統(tǒng)，評價前后系統(tǒng)性能指標，即計算前后目標函數(shù)值f及Δf，據(jù)Metropolis準則判斷是否接受X′作為當前較優(yōu)的一組參數(shù)X。

Step3:判斷在溫度Tk下是否滿足平衡要求或到達規(guī)定迭代次數(shù)，若滿足要求轉(zhuǎn)到Step4，否則返回Step2。

Step4:退溫操作，令k=k+1，Tk+1=λTk。

Step5:判斷是否滿足終止條件，若滿足輸出最優(yōu)一組Kp、Ti、Td，并結(jié)束算法，否則返回Step2。

2.4 ISTE最優(yōu)化設定方法

為驗證利用SAA優(yōu)化PID參數(shù)在理論上的有效性和優(yōu)越性，針對工業(yè)過程常見的廣義過程模型進行仿真研究，并與常規(guī)整定方法如Z-N法、C-C法及ISTE最優(yōu)化設定方法進行比較?，F(xiàn)簡單介紹ISTE最優(yōu)化設定方法，對于Z-N法和C-C法最為熟悉和常見，此處不做介紹。

基于ISTE準則的PID控制器參數(shù)最優(yōu)設定方法，是一種簡單實用，計算量小的PID參數(shù)整定方法，是由莊敏霞與Atherton針對各種指標函數(shù)得出的最優(yōu)PID參數(shù)整定方法，給出了式(9)最優(yōu)指標通式[12]：

(9)

其中，e(θ，t)為進入PID控制器的誤差信號；θ為PID控制器三個參數(shù)構(gòu)成的集合。

根據(jù)設定點信號的最優(yōu)自整定算法，針對上述給出的最優(yōu)指標通式，考慮以下三種情況：n= 0，簡記為ISE(Integral Squared Error)準則；n= 1，簡記為ISTE準則；n= 2，簡記為IST2E準則。如果已知被控過程的系統(tǒng)模型為一節(jié)慣性和純滯后環(huán)節(jié)，即：

(10)

則這種整定方法，對典型PID結(jié)構(gòu)的控制參數(shù)可以根據(jù)經(jīng)驗公式(11)最優(yōu)確定：

圖3 SAA優(yōu)化PID參數(shù)流程圖

(11)

式中的參數(shù)a1、a2、a3、b1、b2、b3可以根據(jù)L/T的范圍確定，對應的參數(shù)規(guī)則表如表1所示。

表1 ISTE最優(yōu)設定點參數(shù)表

3 優(yōu)化結(jié)果與仿真分析

3.1 不同系統(tǒng)模型和指標下的優(yōu)化結(jié)果分析

工業(yè)過程系統(tǒng)根據(jù)其廣義過程模型來看，常見的有無時過程滯系統(tǒng)、小時滯過程系統(tǒng)、大時滯過程系統(tǒng)及高階過程系統(tǒng)。本文選取無時滯過程模型(12)、小時滯過程模型(13)、大時滯過程模型(14)及高階系統(tǒng)模型(15)，運用模擬退火算法分別在ITAE、ITSE、IAE、ISE四種系統(tǒng)綜合性能指標下進行了基于模型的PID參數(shù)優(yōu)化仿真。

(12)

(13)

(14)

(15)

優(yōu)化仿真中算法各參數(shù)設定：初始溫度T_start =100，退火系數(shù)λ=0.99，終止溫度T_end =0.01，溫度Tk下最大迭代次數(shù)M=1000。仿真基于MATLAB的.m文件和Simulink平臺進行，由于SAA做隨機搜索，雖理論上以概率1收斂于全局最優(yōu)解，但實際上最終的優(yōu)化結(jié)果收斂于理論全局最優(yōu)解的鄰域內(nèi)，換言之多次重復操作優(yōu)化任務，其結(jié)果也存在一定的差異性。表2中給出的是各優(yōu)化對象在各指標下分別進行5次優(yōu)化操作后取其優(yōu)化結(jié)果的均值。

從表2可知，不同系統(tǒng)采用不同的性能指標其優(yōu)化結(jié)果有差異，則控制系統(tǒng)的時域響應性能也有所差異，為能更清晰地看出各參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果對系統(tǒng)的作用效果，圖4給出了同一對象分別采用不同指標優(yōu)化后控制系統(tǒng)的階躍時域響應曲線，圖5給出了在同一指標下各系統(tǒng)的階躍時域響應曲線。

表2 不同性能指標下各優(yōu)化對象的優(yōu)化結(jié)果

續(xù)表

從圖4或圖5中各系統(tǒng)的時域響應效果來看，4種系統(tǒng)在不同的性能指標下運用SAA優(yōu)化PID參數(shù)，其可行性和有效性顯然。整體上看運用SAA優(yōu)化，系統(tǒng)的響應速度較快，尤其是無時滯過程和小時滯過程效果更為明顯，系統(tǒng)調(diào)整時間較短，基本上在25s內(nèi)系統(tǒng)可以穩(wěn)定，但會有一定的超調(diào)，采用IAE和ISE指標其超調(diào)要稍稍偏大，對于高階系統(tǒng)稍大于20%，采用ITAE指標效果明顯較好。而對于大時滯過程受干擾的影響要較明顯，這也是因為大時滯過程運用單純的PID控制效果本身不太理想，故在實踐上運用SAA可結(jié)合Smith預估器和前饋反饋控制。

不同過程系統(tǒng)采用不同的性能指標進行優(yōu)化其控制效果有所差異，同理對于不同的性能指標，對動態(tài)過渡過程的要求側(cè)重點不同，所適宜的對象也就不同。IAE和ISE主要抑制過渡過程中的粗大誤差，而ITAE和ITSE則側(cè)重于抑制過渡過程過于漫長，且ITSE兼顧抑制過渡過程的粗大誤差，故ITAE和ITSE對系統(tǒng)的綜合性體現(xiàn)要較強。從圖5也可看出，就4個不同指標而言運用SAA優(yōu)化，ITAE對不同系統(tǒng)的適應性要強，ITAE和ITSE的整體效果要較好，且各系統(tǒng)超調(diào)和調(diào)整時間明顯較??；對于無時滯和小時滯過程各性能指標均能有較好的效果；但對于大時滯和高階過程效果要較差些，系統(tǒng)超調(diào)和調(diào)整時間較大，尤其是采用IAE和ISE指標。由此也可知，對于不同的過程系統(tǒng)，運用智能算法優(yōu)化控制器參數(shù)，合理的選擇上述指標或其他評價指標作為算法目標函數(shù)，對優(yōu)化效果也有直接的影響。圖6給出了優(yōu)化仿真中，各優(yōu)化對象分別在不同的性能指標下，其參數(shù)Kp、Ti、Td隨退溫過程參數(shù)T的動態(tài)變化過程。從圖6可知，優(yōu)化過程中各參數(shù)隨溫度T的動態(tài)變化過程曲線成階梯型且不斷地突跳，說明優(yōu)化過程中各參數(shù)在不斷進行優(yōu)劣更替，每個平臺對應的參數(shù)表示在退溫過程中保持了當前最優(yōu)，沿溫度負梯度方向，每一次突跳表示跳出當前局部最優(yōu)，新平臺對應的參數(shù)優(yōu)于前一個平臺，從而理論上在退溫結(jié)束時找到全局最優(yōu)參數(shù)。也如圖6所示，在高溫階段各參數(shù)動態(tài)變化過程曲線變化頻繁，平臺跨域窄，突跳頻率高，沿溫降方向反向發(fā)展，這說明在優(yōu)化進程中，前期算法做廣域搜索，搜索范圍大，參數(shù)優(yōu)劣更替快，后期逐漸接近最優(yōu)解的鄰域，搜索范圍小，突跳幅度小，參數(shù)的優(yōu)越性和精度高，最終收斂于最優(yōu)參數(shù)。三個參數(shù)的這一收斂特性完全與SAA理論思想契合，也從另一方面說明了運用SAA優(yōu)化PID參數(shù)這一方法的可行性和有效性。

(a) Non-Time Delay System (b) Small-Time Delay System

(c) Long-Time Delay System (d) High-Order System圖4 各系統(tǒng)在不同性能指標下的階躍響應曲線

(a) ITAE (b) ITSE

(c) IAE (d) ISE圖5 各系統(tǒng)在同一性能指標下的階躍響應曲

3.2 不同方法比較分析

為驗證本文方法在整體效果上的優(yōu)越性，依然以式(13)為研究對象，將本文方法在ITAE指標下的優(yōu)化結(jié)果，與分別采用Z-N法、C-C法、ISTE最優(yōu)設定法這三種常規(guī)方法所得結(jié)果相比較。4種方法的控制器參數(shù)及系統(tǒng)動態(tài)性能參數(shù)見表3，圖7是4種方法下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線與隨機干擾仿真曲線。

結(jié)合圖7a和表3中系統(tǒng)超調(diào)量δ、調(diào)節(jié)時間ts、上升時間tr、振蕩次數(shù)N、擾動調(diào)節(jié)時間tv等可看出，Z-N法和C-C雖響應速度快和有相對較短的擾動調(diào)節(jié)時間，但出現(xiàn)極大的超調(diào)和強烈波動，系統(tǒng)過度不平穩(wěn)；ISTE最優(yōu)設定法控制效果雖明顯優(yōu)于Z-N及C-C法，但調(diào)節(jié)時間和擾動調(diào)節(jié)時間卻最長且波動；而SAA優(yōu)化方法基本上能夠兼顧三者的優(yōu)點，且系統(tǒng)超調(diào)量很小，響應速度較快，調(diào)節(jié)時間較短，過度平穩(wěn)，具有較好的控制效果。從圖7b也可看出當系統(tǒng)有隨機干擾時，采用SAA優(yōu)化的結(jié)果也明顯優(yōu)于其他三種方法，說明系統(tǒng)抗干擾的整體效果較好，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

再考慮系統(tǒng)模型失配的情形，現(xiàn)假設式(13)的模型參數(shù)有所攝動，圖8是模型攝動失配后4種方法的系統(tǒng)響應曲線和隨機干擾曲線。圖8a說明在模型失配下，SAA優(yōu)化方法仍能保持較好的控制效果，雖出現(xiàn)小的波動但過度依然較平穩(wěn)；效果次之的是ISTE最優(yōu)設定和Z-N法；效果最差的是C-C法，系統(tǒng)開始出現(xiàn)強烈衰減振蕩。圖8b顯示在模型失配時，系統(tǒng)在隨機干擾下的效果相對于未失配時明顯要差，但SAA優(yōu)化方法相對另三種方法而言效果依然較好。這說明采用SAA優(yōu)化方法相對于常規(guī)PID整定方法，使得系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能和較強的魯棒性。進而也證明采用SAA優(yōu)化PID參數(shù)這一方法的可行性和有效性，且相對于常規(guī)方法具有顯著的優(yōu)越性。

(a) 無時滯系統(tǒng)ITAE (b) 無時滯系統(tǒng)ITSE

(c) 無時滯系統(tǒng)IAE (d) 無時滯系統(tǒng)ISE

(e) 小時滯系統(tǒng)ITAE (f) 小時滯系統(tǒng)ITSE

(g) 小時滯系統(tǒng)IAE (h) 小時滯系統(tǒng)ISE

(i) 大時滯系統(tǒng)ITAE (j) 大時滯系統(tǒng)ITSE

(k) 大時滯系統(tǒng)IAE (l) 大時滯系統(tǒng)ISE

(m) 高階系統(tǒng)ITAE (n) 高階系統(tǒng)ITSE

(o) 高階系統(tǒng)IAE (p) 高階系統(tǒng)ISE圖6 各系統(tǒng)在不同性能指標下控制器參數(shù)隨溫度T的收斂趨勢

表3 4種方法系統(tǒng)動態(tài)性能參數(shù)比較

(a) 系統(tǒng)階躍響應曲線 (b) 隨機干擾仿真曲線圖7 系統(tǒng)階躍響應與隨機干擾仿真曲線

(a) 系統(tǒng)階躍響應曲線 (b) 隨機干擾仿真曲線圖8 模型失配下系統(tǒng)階躍響應與隨機干擾仿真曲線

4 結(jié)論

本文利用模擬退火算法，在不同的綜合性能指標下分別針對不同工業(yè)過程對PID參數(shù)進行了優(yōu)化，并與傳統(tǒng)常規(guī)的方法比較分析，結(jié)果表明該優(yōu)化方法的有效可行與優(yōu)越性。仿真過程也表明不同的性能指標對優(yōu)化結(jié)果和系統(tǒng)性能會有一定的影響，故在實踐應用中應據(jù)實際要求合理選擇；也發(fā)現(xiàn)此方法存在計算量大的弱點，追求優(yōu)化精度和系統(tǒng)性能質(zhì)量會與算法的計算量和優(yōu)化效率存在矛盾，因此本方法有很大的改進空間，與其他智能優(yōu)化算法結(jié)合并用于PID參數(shù)優(yōu)化是一個較好的思路。

[參考文獻]

[1] Saber Yaghoobi，Hamed Mojallalir. Tuning of a PID controller using improved chaotic krill herd algorithm [J].International Journal for Light and Electron Optics, 2016, 127(11)：4803-4807.

[2] Aekarin Sungthonga，Wudhichai Assawinchaichoteb.Particle swam optimization based optimal PID parameters for air heater temperature control system[J].Procedia Computer Science，2016，86：108-111.

[3] 李遠梅，張宏立. 基于改進螢火蟲算法PID 控制器參數(shù)優(yōu)化研究[J].計算機仿真，2015，32(9)：356-359.

[5] 趙亞琪，王景成，張浪文，等. 基于粒子群算法的TBM液壓系統(tǒng)PID參數(shù)優(yōu)化[J]. 控制工程，2016，23(8)：1242-1246.

[6] 劉明，華亮. 基于PSOOI算法的PID控制器參數(shù)整定[J].控制工程，2016，23(1)：64-68.

[7] Mouayad A Sahib，Bestoun S Ahmed.A new multiobjective performance criterion used in PID tuning optimization algorithms[J].Journal of Advanced Research，2016，7：125-134.

[8] 辛斌，陳杰，彭志紅. 智能優(yōu)化控制：概述與展望[J].自動化學報，2013，39(11)：1831-1848.

[9] Cheng ZHAO，Lei GUO. PID controller design for second order nonlinear uncertain systems[J]. Science China(Information Sciences)，2017，60(2)：5-17.

[10] 湯偉，胡祥滿，孫小樂.基于模擬退火粒子群混合算法的紙漿濃度控制系統(tǒng)[J].包裝工程，2017，38(7)：15-20.

[11] Robin Kumar Samuel，P Venkumar. Optimized Tempera-ture Reduction Schedule for Simulated Annealing Algorithm [J].Materials Today: Proceedings，2015，2：2576-2580.

[12] 王志強，欒小麗，劉飛. 多變量非方系統(tǒng)多環(huán)PID控制器設計[J].信息與控制，2016，45(5)：556-562.