3-PUU并聯(lián)機構的多目標可靠性優(yōu)化設計*

杜巖錦，郭宗和，李澤眾

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255049)

0 引言

在并聯(lián)機構的傳統(tǒng)優(yōu)化設計中，通常會忽視實際工程中不確定性因素[1-2]的影響。然而不確定性因素存在于產(chǎn)品從設計、生產(chǎn)到報廢的整個壽命周期中，比如設計、加工、裝配、測量中存在的各種不確定性誤差以及工作環(huán)境、疲勞磨損、計算仿真的近似模型帶來的不確定性影響。在并聯(lián)機構多目標優(yōu)化設計[3]過程中，由于不確定性因素在設計初期就已經(jīng)出現(xiàn)，他們會隨著設計變量、設計參數(shù)、約束條件等在多個目標函數(shù)之間傳播累積，將導致優(yōu)化結果會在需求目標上下波動，造成優(yōu)化結果的可靠性降低。

少自由度三平移3-PUU并聯(lián)機構具有結構對稱、驅動部件少、工作空間大、可操作性強等特點，在并聯(lián)運動機床、工業(yè)機器人、微動機械等方面應用廣泛。本文依據(jù)文獻[4-5]，在對3-PUU并聯(lián)機構建立多目標優(yōu)化模型并進行多目標優(yōu)化設計的基礎上，改善傳統(tǒng)優(yōu)化設計中將不確定量認定為確定量的局限性，考慮實際工程中切實存在的不確定性因素的影響，采用基于Isight[6]的6Sigma質量設計(DFSS)[7]優(yōu)化算法對并聯(lián)機構進行考慮不確定性的多目標可靠性優(yōu)化設計。為真實地反映并聯(lián)機構實際工作情況，使得到的優(yōu)化結果達到綜合性能優(yōu)、安全性能高的實際工程的需求提供一種新的思路與方法。

1 3-PUU并聯(lián)機構模型

3-PUU并聯(lián)機構模型示意圖與結構簡圖如圖1所示，由三條相同結構參數(shù)的運動支鏈、動平臺以及立柱和定平臺組成的固定機架組成，每條運動支鏈都由移動副，兩個虎克鉸組成。各滑塊的中心位置為Pi(i=1,2,3)，滑塊與立柱之間通過移動副連接，移動副軸線記為Ri1，與滑塊相連的虎克鉸記為Ui1，Ui1轉動軸線中心位置為Ai，在本文的分析中將Pi與Ai簡化為一點，與動平臺相連的虎克鉸Ui2轉動軸線的中心位置為Bi，虎克鉸可看做由兩個正交轉動副組合而成，組成Ui1的兩個轉動副軸線記為Ri2、Ri3，組成Ui2的兩個轉動副軸線記為Ri4、Ri5，其中Ri5//BBi，Ri5//Ri2，Ri3//Ri4。動平臺用B(等邊△B1B2B3)表示，定平臺用D(等邊△D1D2D3)表示，三條支鏈用Pi-Ai-Bi表示。以定平臺D1D2D3的中心O為坐標原點，X軸的方向與D1D2平行，沿立柱方向為Z軸，根據(jù)右手定則建立如圖所示定坐標系O-XYZ。以動平臺B(B1B2B3)的質心B為坐標原點，x軸與B1B2平行，豎直向上為z軸，根據(jù)右手定則在動平臺上建立動坐標系o-xyz。定平臺D的外接圓半徑為R，動平臺B的外接圓半徑為r，連桿長度均為l。

(a) 機構模型示意圖 (b) 機構簡圖圖1 3-PUU并聯(lián)機構模型與結構簡圖

2 性能評價指標

2.1 工作空間指標

現(xiàn)階段的并聯(lián)機構優(yōu)化設計的重點之一就是如何解決工作空間小的問題。根據(jù)文獻[4]對3-PUU并聯(lián)機構工作空間的分析,利用極坐標搜索法得到工作空間體積公式：

(1)

通過合理的設置機構參數(shù)，使得3-PUU并聯(lián)機構的工作空間越大越利于實際應用。

2.2 速度全域性能指標

并聯(lián)機構驅動副輸入與動平臺輸出速度精度由速度性能指標[8]kG(Jacobian矩陣條件數(shù))評價：

(2)

考慮到Jacobian矩陣并不是常數(shù)矩陣，隨著并聯(lián)機構形位的改變而改變，也就造成了Jacobian矩陣條件數(shù)的變化。因此，以工作空間三維圖以及體積的求取為基礎，用速度全域性能指標來衡量并聯(lián)機構在整個工作空間內的速度傳遞性能，即：

(3)

其中，W表示并聯(lián)機構的工作空間。

我們期望并聯(lián)機構能夠對指令做出快速響應，因此速度性能指標ηv的值越小越好。

2.3 加速度全域性能指標

根據(jù)影響系數(shù)法對3-PUU并聯(lián)機構加速度與Jacobian矩陣和Hessian矩陣的關系，得到少自由度3-PUU并聯(lián)機構加速度性能指標ka[9]：

(4)

(5)

ηa反映了并聯(lián)機構在整個工作空間內加速度的精確度，ηa的取值越小加速度精度越高，本文的分析計算中取a=2%，b=2%。

2.4 慣性力全域性能指標

慣性力指標密切影響著并聯(lián)機構的控制精度。為了能夠僅考慮并聯(lián)機構結構參數(shù)本身對慣性力的影響，少自由度并聯(lián)機構關于Jacobian矩陣和Hessian矩陣的慣性力綜合條件數(shù)[9]為：

(6)

(7)

τF的值越小表示并聯(lián)機構的控制精度越高。

3 多目標確定性設計優(yōu)化

3.1 多目標設計優(yōu)化模型的建立

其中，約束條件即為3-PUU并聯(lián)機構工作空間的限制約束條件[4]。

3.2 基于Isight的多目標優(yōu)化設計

以 Isight 軟件為平臺，采用實驗設計(DOE)組件和優(yōu)化(Optimization)組件集成 Matlab 軟件的優(yōu)化策略[10-11]，完成并聯(lián)機構的多目標優(yōu)化。優(yōu)化基本流程為：采用實驗設計，在設計空間中均勻采樣，對輸入?yún)?shù)進行敏感度分析[12]，并捕捉整個設計空間中最有效的設計區(qū)域，得到優(yōu)化初始值，然后在初始值的基礎上在有效設計區(qū)域中進行多目標優(yōu)化設計，得到最優(yōu)解。

在Isight中建立多目標優(yōu)化設計流程如圖2所示。在優(yōu)化參數(shù)與方法設置方面：在Matlab組件中導入程序，根據(jù)多目標優(yōu)化模型設置輸入設計變量(Input Mappings)，輸出設計變量(Output Mappings)，以動平臺外接圓半徑r，定平臺外接圓半徑RI，定長連桿長度l為輸入設計變量，以工作空間(V)，速度全域性能指標(sudu)，加速度全域性能指標(jiasudu)，慣性力全域性能指標(guxingli)為輸出變量。DOE組件中選擇最優(yōu)拉丁超立方法，將樣本點設置為30，設置輸入設計變量的上下限,以及輸出變量的取值傾向。在Optimization組件中選擇封裝的NSGA-Ⅱ算法，將種群大小設置為4，遺傳代數(shù)設置為20。

圖2 優(yōu)化設計流程

3.3 多目標優(yōu)化設計結果分析

(1)實驗設計(DOE)結果分析。通過試驗設計可以得出的主效應圖可以定性分析設計變量與優(yōu)化目標之間關系和趨勢，通過貢獻率圖(文中省略)可定量的分析設計變量與優(yōu)化目標之間關系。圖3為設計變量分別對工作空間、速度、加速度和慣性力的主效應圖，從主效應圖可以得出：動平臺和定平臺的半徑對四個性能指標的影響都比較大，基本呈線性關系，工作空間和速度全域性能指標隨著動平臺半徑的增大而減小，而其他兩個性能指標隨著動平臺半徑r的增大而減小。連桿長度對速度的影響相對較小，對工作空間的影響比較大，隨著連桿長度的增大工作空間增大，而加速度和慣性力呈減小的趨勢。在零部件的加工制造中，我們可以參考主效應圖和貢獻率圖控制結構尺寸的加工精度，對需求性能指標影響較大的設計參數(shù)，應該嚴格控制其加工精度。

(2)優(yōu)化組件結果分析。通過Isight可以查看NSGA-II算法優(yōu)化過程中的History表格，如圖4所示，通過History表格可看到每次優(yōu)化后所得的優(yōu)化結果的具體數(shù)據(jù)，淺藍色數(shù)據(jù)條表示可行設計點，綠色數(shù)據(jù)條代表Isight推薦的最優(yōu)解，白色數(shù)據(jù)條沒有明顯優(yōu)勢，所有的淺藍色數(shù)據(jù)和綠色數(shù)據(jù)條組成Pareto解集。在實際應用中，最優(yōu)設計點應根據(jù)并聯(lián)機構的服役環(huán)境和性能需求綜合考慮多目標的優(yōu)劣程度在淺藍色數(shù)據(jù)條中進行權衡選擇。比如并聯(lián)機構應用于高精度小型精密零件的加工設備中，首先保證并聯(lián)機構的速度全域性能和加速度全域性能都需要越小越好，平衡兩個性能指標的取值可以選取第11，17，55，58，68，73組優(yōu)化解；其次要求慣性力全域性能盡可能小，選取第17,55,58組優(yōu)化解； 然后考慮工作空間足夠大選擇第58組優(yōu)化解。因此最終結構尺寸的優(yōu)化解取l=218.75mm，r=45.84，RI=131.31mm。

(a) 工作空間主效應圖 (b) 速度主效應圖

(c) 加速度主效應圖 (d) 慣性力主效應圖圖3 設計變量對優(yōu)化目標的主效應圖

圖4 優(yōu)化History表格

4 考慮不確定性的多目標可靠性優(yōu)化設計

4.1 3-PUU并聯(lián)機構的不確定性因素分析

(1)參數(shù)變量：參數(shù)變量指的是優(yōu)化模型中設計變量的不確定性，受到加工精度、測量精度影響，設計變量的實際尺寸符合正態(tài)分布，根據(jù)確定性多目標優(yōu)化結果，設計變量設為：l～N(218.75,0.12)，R～N(131.31,0.12)，r～N(45.84,0.12)。

(2)隨機噪聲：隨機噪聲主要針對多目標優(yōu)化模型中涉及的常量。有的隨機噪聲在多目標優(yōu)化模型中以常量形式存在，實際工程中，常量的實際值卻是波動的不確定性因素，如移動副移動范圍上下限值、虎克鉸轉動范圍上下限、動平臺質心的實際定位位置；有的隨機噪聲間接影響多目標優(yōu)化模型中的常量，也使得優(yōu)化模型中的常量存在不確定性，如移動副中軸線的位置、移動副中軸線與立柱的角度、虎克鉸的安裝位置誤差。最終這些隨機噪聲造成多目標優(yōu)化模型中常量的隨機不確定性。因此將多目標優(yōu)化模型中的不確定性常量設為：Zmin～N(Zmin,0.12)，Zmax～N(Zmax,0.12)，θmin～N(θmin,0.12)，θmax～N(θmax,0.12)，x～N(x,0.12)，y～N(y,0.12)，z～N(z,0.12)。

4.2 6 Sigma可靠性分析

6 Sigma可靠性分析的實質是對確定性優(yōu)化所得最優(yōu)解進行以隨機變量和隨機噪聲的隨機波動為基礎的隨機擾動，統(tǒng)計分析隨機擾動下優(yōu)化結果均值和標準差的變化情況, 對不滿足可靠性要求的優(yōu)化結果進行6 Sigma優(yōu)化。

圖5 6 Sigma可靠性分析

將6 Sigma組件添加到Task組件上，集成Matlab組件，搭建可靠性分析工作流，如圖5所示。更改Matlab程序，設置Matlab組件的輸入輸出設計變量，與確定性多目標優(yōu)化對比，輸出設計變量不變，將移動副移動范圍上下限值(zmin，zmax)、虎克鉸轉動范圍上下限(θmin，θmax)、動平臺質心的實際定位位置(x,y,z)也設置為輸入設計變量。在Six Sigma組件中，設置分析類型為基于可靠性評價(Reliability Technique),具體采用二階可靠性方法(Second Order Reliability Method)，在Random Variability中將設計變量以及優(yōu)化模型中的常量設置為輸入隨機變量，均值(Mean)分別為確定性多目標優(yōu)化所選擇的最優(yōu)解以及給定常數(shù)，方差即變異系數(shù)(Coeff of Variance)設置為0.01，Responses中設置四個性能指標為響應。

整理性能指標的概率分布以及Sigma水平圖結果可以得到6 Sigma分析報告，可以得出工作空間、速度、加速度優(yōu)化結果的可靠性較高，達到99.9%，但是Sigma Level(可靠度水平)僅為3.55 Sigma、3.35 Sigma和3.84 Sigma。慣性力全域性能的的可靠性僅為70.74%，可靠度水平只達到1.05 Sigma。因此，從長遠考慮，有必要對性能指標進行6 Sigma優(yōu)化，見表1。

表1 6 Sigma分析報告

4.3 6 Sigma優(yōu)化

6 Sigma優(yōu)化的目標是在設計空間內尋找“平坦區(qū)域”，最小化由不確定性因素帶來的性能波動，提高需求性能的可靠度水平。

圖6 6 Sigma優(yōu)化流程

在可靠性分析平臺的Six Sigma組件中選擇Six Sigma Analysis選項，自動生成6 Sigma優(yōu)化流程圖，如圖6所示。Matlab組件與6 Sigma可靠性分析組件中所有的設置均保持不變。在Six Sigma組件中Optimization選項下優(yōu)化算法(NSGA-II),種群大小(4)，遺傳代數(shù)(20)的設置均與確定性優(yōu)化相同。Constraints中定義設計變量和性能指標的Sigma Level即可靠性水平為6。在Objictive屬性頁中設置目標函數(shù)的性能最大或最小的需求。為了使6 Sigma優(yōu)化結果與確定性多目標優(yōu)化結果形成對比，其他設置均保持不變。

6 Sigma優(yōu)化結果如表2所示，可以得出四個性能指標的可靠性均達到100%，速度全域性能和慣性力全域性能的Sigma水平接近8Sigma，工作空間和加速度全域性能的Sigma水平超過8Sigma，Sigma水平大幅度提升。

表2 6 Sigma優(yōu)化結果分析

通過將確定性多目標設計優(yōu)化結果與6 Sigma優(yōu)化結果相對比，可以看出雖然從數(shù)值上6 Sigma優(yōu)化結果略微遜色于確定性多目標優(yōu)化，但是性能的可靠性得到大幅度提升，從長遠來看，百萬不良品率得到很大改進，經(jīng)過6 Sigma優(yōu)化，大大增強了3-PUU需求性能在實際應用中抵抗不確定性因素干擾的能力。對比結果說明了基于Isight的考慮不確定性并聯(lián)機構多目標可靠性設計優(yōu)化的有效性和可行性，見表3。

表3 優(yōu)化結果對比

續(xù)表

5 結論

(1)通過以3-PUU并聯(lián)機構為例進行的多目標設計優(yōu)化，可以得出采用基于Isight 多學科設計優(yōu)化軟件，利用試驗設計(DOE)分析并聯(lián)機構，可以非常方便的得出各個設計變量與各個目標函數(shù)的影響程度關系圖即因子對響應的影響程度，為并聯(lián)機構各個構件的加工精度提供了依據(jù)；對DOE得出的近似模型進行多目標優(yōu)化，得到Pareto解集，決策者可以根據(jù)實際情況綜合考慮多目標的優(yōu)劣程度進行權衡選擇最終優(yōu)化解。提高了多目標設計優(yōu)化的效率以及最終的多目標優(yōu)化解對具體服役環(huán)境的適用性。

(2)在考慮實際工程中切實存在的不確定性因素影響的情況下，對3-PUU并聯(lián)機構進行6 sigma優(yōu)化設計，對比優(yōu)化結果可以得出基于Isight的考慮不確定性的多目標可靠性優(yōu)化設計方法，優(yōu)化結果能夠使得并聯(lián)機構更好的滿足實際工程需求，增強并聯(lián)機構的可靠性和安全性。通過建立多目標優(yōu)化數(shù)學模型以及分析具體問題面對的不確定性因素，該優(yōu)化方法同樣可以提高其他學科優(yōu)化解的可靠性和安全性。

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(編輯李秀敏)