基于HP濾波和ARIMA-ARCH模型的我國GDP分析與預(yù)測

王 丹，馮長煥

（1．2．西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充，637000）

國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）指一個(gè)國家內(nèi)所有常駐單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)出的全部最終產(chǎn)品和勞務(wù)的價(jià)值總和，是衡量國家經(jīng)濟(jì)狀況的一個(gè)重要指標(biāo)。研究GDP有助于了解我國宏觀經(jīng)濟(jì)的總體發(fā)展趨勢和規(guī)律，掌握國家經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況，對(duì)決策者制定正確的宏觀經(jīng)濟(jì)政策具有重要指導(dǎo)意義。因此，不僅要掌握我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的總體趨勢，還要掌握其波動(dòng)性、周期性變化規(guī)律。

一、文獻(xiàn)綜述

眾多學(xué)者對(duì)我國月度、季度、年度的國家或地區(qū)生產(chǎn)總值進(jìn)行研究，利用的模型包含傳統(tǒng)的單一模型和各種能優(yōu)勢互補(bǔ)以提高預(yù)測精度的組合模型。其中ARIMA模型因其簡便易操作性的特點(diǎn)成為GDP研究中應(yīng)用最為廣泛的模型。[1-3]然而ARIMA模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)依賴性較強(qiáng)，預(yù)測步長短且不善于捕捉數(shù)據(jù)的非線性變化，因此常常利用一些改進(jìn)的模型進(jìn)行GDP分析與預(yù)測。趙喜倉對(duì)我國季度GDP序列建立SARIMA模型，預(yù)測相對(duì)誤差較小。[4]何躍等利用成組織數(shù)據(jù)處理方法（GMDH）構(gòu)建自組織模型，最終篩選出5個(gè)影響GDP變動(dòng)的主要因素。[5]單玉隆建立改進(jìn)遺傳算法的優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并與傳統(tǒng)ARIMA模型進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)其GDP預(yù)測精度明顯提高。[6]尹靜、何躍對(duì)四川省GDP建立ARIMA、GMDH和ARIMA-GMDH模型，發(fā)現(xiàn)ARIMA-GMDH模型能有效提高預(yù)測精度。[7]吳齊、揚(yáng)桂元、戚琦運(yùn)用HP濾波技術(shù)將我國GDP年度數(shù)據(jù)做分解處理并展開宏觀描述性分析，建立ARIMA模型進(jìn)行分析與預(yù)測。[8]

然而，目前沒有文獻(xiàn)對(duì)分解得到的波動(dòng)序列和趨勢序列進(jìn)行更深入的統(tǒng)計(jì)分析。我國GDP年度數(shù)據(jù)明顯呈現(xiàn)出長期增長趨勢和不同幅度的短期波動(dòng)，因此本文首先采用HP濾波方法對(duì)我國GDP年度數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，再分別對(duì)分解得到的兩組時(shí)間序列數(shù)據(jù)建立模型進(jìn)行分析和預(yù)測，最終利用兩組序列的預(yù)測序列對(duì)我國GDP年度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測。

二、研究方法與模型

（一）HP濾波方法

HP濾波方法是Hodrick和Prescott在1981年分析美國二戰(zhàn)后經(jīng)濟(jì)景氣時(shí)首次提出的一種濾波方法，它在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中有著廣泛的應(yīng)用。HP濾波假設(shè)時(shí)間序列包含趨勢部分和波動(dòng)成分則：

（二）ARIMA模型

差分自回歸移動(dòng)平均模型，簡記ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average Modle），是由Box和Jenkins于20世紀(jì)70年代初提出的一種時(shí)間序列預(yù)測模型，又稱為Box-Jenkins模型。

ARIMA( p, d, q)中AR表示自回歸部分，MA表示移動(dòng)平均部分。其中：p代表自回歸的滯后階數(shù)，即表示序列的當(dāng)期值與前 p期值有關(guān)；q 代表移動(dòng)平均的滯后階數(shù)，即表示序列的當(dāng)期值與前q 期的擾動(dòng)項(xiàng)有關(guān)；d 為將原始時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列所需的最少差分次數(shù)。當(dāng) d = 0 時(shí)，表示原始時(shí)間序列為平穩(wěn)序列，沒有進(jìn)行差分處理，這時(shí)建立的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA模型）；當(dāng) p = 0 時(shí)，此時(shí)建立的模型為移動(dòng)平均模型（MA模型）；當(dāng) q = 0 時(shí)，此時(shí)建立的模型稱為自回歸模型（AR模型）。ARIMA模型的一般表達(dá)式為：

（三）ARCH模型

Engle于1982年提出自回歸條件異方差模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model，ARCH模型），為波動(dòng)率建模提供了一個(gè)系統(tǒng)框架。ARCH模型的思想基礎(chǔ)是：時(shí)間序列的擾動(dòng)序列是序列不相關(guān)的，但不是獨(dú)立的；擾動(dòng)序列的不獨(dú)立性可以用前期值的簡單二次函數(shù)來描述。其一般表達(dá)式為：

三、實(shí)證分析

（一）HP濾波對(duì)數(shù)據(jù)的分解

由于我國在改革開放后社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)生了巨大變化，1978年以前的數(shù)據(jù)反應(yīng)的經(jīng)濟(jì)變化與當(dāng)今經(jīng)濟(jì)局勢下的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)波動(dòng)相差甚遠(yuǎn)。因此，選取東方財(cái)富網(wǎng)目前已共公布的我國1978—2016年的GDP（單位：億元）年度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。選取平滑參數(shù)分別為=100、= 6.25的兩種濾波器對(duì)原始序列進(jìn)行分解，結(jié)果如圖1-3所示：

圖1 =100

圖2 = 6.25

圖3 兩種濾波器所得循環(huán)序列的時(shí)序

1997年受亞洲金融海嘯影響，我國GDP呈現(xiàn)出波動(dòng)性下降的趨勢，國家積極采取策略應(yīng)對(duì)危機(jī)，2006年后GDP發(fā)生明顯的大幅度上升。2008年受全球經(jīng)濟(jì)危機(jī)影響，我國GDP又出現(xiàn)明顯的大幅下落，到2009年跌入谷底，之后開始反彈。2011年受金融危機(jī)與歐債危機(jī)的影響，我國GDP再次出現(xiàn)下降，直到2014年依然沒有明顯的回升。比較圖1、圖2可以看出，當(dāng)=6.25時(shí)，趨勢序列與原序列幾乎重合，趨勢序列的跟蹤程度更高。由圖3看可以看出，當(dāng)=6.25時(shí)，波動(dòng)序列的振幅更小，波動(dòng)規(guī)律與我國實(shí)際經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化規(guī)律更加吻合。因此最終選擇=6.25時(shí)的濾波結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步研究。

（二）模型的建立與預(yù)測

1.循環(huán)序列建模

由YC序列的時(shí)序圖（見圖4）可以看出循環(huán)序列雖有波動(dòng)但不具有明顯的線性趨勢，序列可能是平穩(wěn)的。一般采用ADF單位根檢驗(yàn)法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。由圖4可以看出循環(huán)序列不存在截距項(xiàng)和明顯趨勢，因此選擇不帶截距項(xiàng)和趨勢項(xiàng)的單位根檢驗(yàn)。循環(huán)序列的ADF統(tǒng)計(jì)量為-6.579459，小于1%顯著性水平的臨界值，因此循環(huán)序列YC在1%顯著性水平上是平穩(wěn)的，可以繼續(xù)進(jìn)行建模。

圖4 循環(huán)序列YC的時(shí)序圖

循環(huán)序列的相關(guān)函數(shù)圖如圖5所示。可知循環(huán)序列的自相關(guān)函數(shù)是截尾的，偏相關(guān)函數(shù)衰減緩慢是拖尾的，因此應(yīng)建立移動(dòng)平均模型。

圖5 YC的相關(guān)函數(shù)圖

根據(jù)系數(shù)顯著性、AIC準(zhǔn)則、SC準(zhǔn)則進(jìn)行比較，最終得到最優(yōu)模型為MA（3）模型，其系數(shù)估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差、T統(tǒng)計(jì)值、系數(shù)顯著性如表1所示：

表1 MA（3）模型參數(shù)擬合結(jié)果

模型表達(dá)式為：

對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果表明殘差序列和殘差平方序列都不存在序列相關(guān)性。這說明殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，對(duì)循環(huán)序列建立的MA（3）模型能夠有效的擬合真實(shí)數(shù)據(jù)。應(yīng)用該模型對(duì)循環(huán)序列YC進(jìn)行擬合和預(yù)測得到預(yù)測的循環(huán)序列YCF，預(yù)測效果如圖6所示：

圖6 模型預(yù)測效果圖

2.趨勢序列的建模與預(yù)測

為了提高預(yù)測精度，將循環(huán)序列的預(yù)測誤差加入趨勢序列中，即由YT1=Y-YCF得到新的趨勢序列繼續(xù)進(jìn)行建模。得新的趨勢序列YT1，其時(shí)序圖如圖7所示：

圖7 新循環(huán)序列YT1的時(shí)序圖

由圖7可知，趨勢序列YT1具有明顯的非線性長期趨勢，要先將序列平穩(wěn)化處理。數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理一般采用差分法，然而該序列即使進(jìn)行兩次差分后依然不平穩(wěn)。為了避免過度差分造成過大的信息損失，先進(jìn)行對(duì)數(shù)變換得到LYT1序列，再進(jìn)行差分變換得到平穩(wěn)序列DLYT1。進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果顯示ADF統(tǒng)計(jì)量為-3.083305，小于5%顯著性水平臨界值，說明DDLYT1序列在5%顯著性水平下是平穩(wěn)的?？衫^續(xù)對(duì)DLYT1序列進(jìn)行建模。序列平穩(wěn)化后對(duì)序列DLYT進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，結(jié)果如圖8所示：

圖8 新循環(huán)序列的相關(guān)函數(shù)

可以看出，新循環(huán)序列的自相關(guān)函數(shù)衰減緩慢，是拖尾的，偏相關(guān)函數(shù)是截尾的。因此建立AR模型，通過AIC準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則進(jìn)一步確定最優(yōu)模型為AR（1）模型。建立AR（1）模型后對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)模型的殘差平方序列圖存在明顯的拖尾現(xiàn)象，說明殘差序列可能存在ARCH效應(yīng)。為了準(zhǔn)確的檢驗(yàn)出殘差序列的ARCH效應(yīng)，對(duì)殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)。當(dāng)滯后階數(shù)為1時(shí)，殘差序列的F統(tǒng)計(jì)量和LM統(tǒng)計(jì)量的顯著性概率分別為0.0001、0.0002，都小于0.01顯著性水平，故認(rèn)為殘差序列具有異方差性。對(duì)循環(huán)序列進(jìn)行ARMA-ARCH建模，根據(jù)系數(shù)顯著性、AIC準(zhǔn)則、SC準(zhǔn)則進(jìn)行比較，最終確定AR（1）-ARCH（1）模型，結(jié)果如表2所示：

表2 AR（1）-ARCH（1）模型參數(shù)擬合結(jié)果

由表2可知，各參數(shù)在0.01的顯著性水平上都是顯著的，因此認(rèn)為該模型合理。其表達(dá)式為：

3.原序列預(yù)測效果分析

通過對(duì)循環(huán)序列YC，新的趨勢序列YT1進(jìn)行建模與預(yù)測得到相應(yīng)的預(yù)測序列YCF、YT1F。由于循環(huán)序列和趨勢序列是由原序列HP濾波分解得到的，因此循環(huán)序列與趨勢序列之和等于原序列即Y=YT+YC。預(yù)測序列有一定的不可避免的預(yù)測誤差，不能由兩個(gè)預(yù)測序列直接相加得到原序列的預(yù)測序列，通過線性組合得到的預(yù)測序列能較好的擬合原序列。利用循環(huán)序列的預(yù)測序列YCF、趨勢序列的預(yù)測序列YT1F對(duì)原序列Y建立回歸模型，得到的線性方程為：

對(duì)我國2015—2016年GDP的預(yù)測效果如圖9所示?？梢钥闯觯A(yù)測序列與原序列擬合度較高。

圖9 GDP真實(shí)值與預(yù)測值對(duì)比圖

為了比較模型的預(yù)測效果，對(duì)未分解的原始序列進(jìn)行建模與預(yù)測并和本文預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。可以看出，本文的方法預(yù)測精度明顯更高。

表3 改進(jìn)方法前后預(yù)測精度對(duì)比

四、結(jié)論

將我國1978—2014年GDP作為原序列，采用改進(jìn)的數(shù)據(jù)處理方法處理數(shù)據(jù)后再進(jìn)行建模，并對(duì)我國2015年、2016年兩年的GDP進(jìn)行預(yù)測，與傳統(tǒng)的不將序列分解而直接進(jìn)行建模的預(yù)測方法進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文的建模方法可以提高最終預(yù)測精度，尤其是對(duì)常常出現(xiàn)高頻波動(dòng)性和周期性的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，能更好地分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)性和趨勢性。

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