工業(yè)機器人運動學參數(shù)標定方法仿真

陸　藝，于麗梅，郭　斌

(中國計量大學 計量測試工程學院，浙江 杭州 310018)

評價工業(yè)機器人性能的兩個重要指標包括重復精度和絕對定位精度.目前，工業(yè)機器人的重復精度很高，能夠滿足大部分場合的工程要求.而工業(yè)機器人的絕對定位精度偏低[1-2]，這限制了工業(yè)機器人更為廣泛的應用.工業(yè)機器人的運動學參數(shù)是影響絕對定位精度的主要因素，因此獲得準確的運動學參數(shù)是十分必要的.標定技術是獲得準確運動學參數(shù)的重要途徑之一.目前大部分企業(yè)采用開環(huán)標定法標定工業(yè)機器人[3-5]，該方法需要利用額外的精密儀器測量工業(yè)機器人的實際位姿，成本高且需專業(yè)人員操作，測量方法也較為繁瑣.所以近年來，研究者紛紛開始對測量方法進行研究探索，對原有的測量方法進行優(yōu)化改進，提出了閉環(huán)標定法，又稱自標定，不需要額外的測量儀器，成本較低且操作簡單.因此提出了一種基于幾何約束的工業(yè)機器人運動學參數(shù)閉環(huán)標定方法，并用Matlab對該方法進行仿真.此方法將激光器安裝在工業(yè)機器人末端執(zhí)行器上，激光線瞄準遠距離觀測平面上一邊長為L的正方形的四個頂點A、B、C、D.根據(jù)正方形的幾何特性建立以運動學參數(shù)誤差為未知量的方程組，采用最小二乘法辨識出運動學參數(shù)誤差[6-8]，從而得到準確的運動學參數(shù).此方法操作簡單，成本低，正方形的邊長易測量，精度能滿足工程要求.

1　運動學模型

1.1　運動學模型的建立

運動學模型是工業(yè)機器人標定的基礎，目前，D-H模型是應用最廣的工業(yè)機器人運動學模型[9-10]，但當工業(yè)機器人存在兩個互相平行的相鄰關節(jié)時，D-H模型存在奇異性問題.為解決這一問題，提出了D-H模型與MDH模型相結合的運動學模型，即在平行或近似平行的關節(jié)間采用MDH模型[11-12]，在不平行的關節(jié)間仍采用D-H模型.則模型包括的運動學參數(shù)有：連桿長度ai、連桿扭角αi、偏置di、關節(jié)角θi、轉角參數(shù)βi.

以研華LNC S6000型六軸串聯(lián)工業(yè)機器人作為待標定工業(yè)機器人.根據(jù)運動學模型的建立原則，工業(yè)機器人坐標系關系如圖1.

根據(jù)圖1所建立的運動學模型及工業(yè)機器人的結構可確定工業(yè)機器人運動學參數(shù)的名義值如表1.

圖1　工業(yè)機器人坐標系關系圖Figure 1　Industrial robot coordinate diagram

序號ai/mmdi/mmαi/(°)θi/(°)βi/(°)1753459090+θ1-2270-090+θ2039009090+θ3-40295-90　0+θ4-500900+θ5-60102090+θ6-

“-”代表不包含此參數(shù).

根據(jù)坐標變換步驟及原理可得D-H變換矩陣通式為

(1)

式(1)中：C代表cos,S代表sin，i=1,3,4,5,6.

由于二、三關節(jié)平行，所以采用MDH模型建模，則變換矩陣為

(2)

式(2)中：C代表cos,S代表sin.

采用D-H模型與MDH模型相結合的建模方法，則工業(yè)機器人的位姿矩陣為

(3)

式(3)中：n(nx,ny,nz)、o(ox,oy,oz)、a(ax,ay,az)表示機器人末端執(zhí)行器相對于基坐標系的姿態(tài)向量，p(px,py,pz)為機器人末端執(zhí)行器的位置向量.

1.2　運動學模型仿真

為驗證工業(yè)機器人運動學模型的正確性，利用Matlab中的對所建運動學模型進行仿真[13-15]如圖2.

圖2　運動學模型仿真Figure 2　Simulation of kinematics model

隨機取一系列關節(jié)角向量，將仿真得出的工業(yè)機器人位姿坐標與實際機器人控制器中的位姿進行對比，對比結果如表2.

根據(jù)表2可知，仿真位姿與實際機器人的位姿基本一致，驗證了所建運動學模型的正確性.

表2　工業(yè)機器人位姿對比

2　工業(yè)機器人運動學參數(shù)標定方法

2.1　標定原理

采用基于幾何約束的虛擬閉環(huán)標定法標定工業(yè)機器人的運動學參數(shù).如圖3，將激光器安裝在工業(yè)機器人末端執(zhí)行器上，使激光線的方向盡量與末端執(zhí)行器的Z6軸重合，取觀測平面與工業(yè)機器人基座坐標系的X0O0Z0平面平行，距離為R.工業(yè)機器人帶動激光器依次瞄準觀測平面上一邊長為L的正方形的四個頂點A、B、C、D，并在每個頂點處保持足夠的位姿.根據(jù)誤差放大原理，當工業(yè)機器人帶動激光器瞄準遠距離觀測平面上一點時，可得到較為精確的關節(jié)角值.根據(jù)“正方形四條邊邊長相等”以及“正方形對角線互相垂直”定理，可列出以運動學參數(shù)誤差為未知數(shù)的方程.只要在每個頂點處保持足夠多的位形即可建立足夠多的標定方程，通過最小二乘法即可將運動學參數(shù)誤差辨識出來.

圖3　基于幾何約束的虛擬閉環(huán)標定法Figure 3　Virtual closed-loop calibration methodbased on geometric constraint

2.2　標定方程的建立

工業(yè)機器人的運動學參數(shù)誤差導致了末端執(zhí)行器的位姿存在偏差，從而導致了激光點理論坐標與實際坐標間的偏差.如圖4，當激光瞄準n(Xn,Zn)點時，由于運動學參數(shù)誤差的存在，激光投影點的理論點m(Xm,Zm)與實際點n不重合，利用該偏差來建立標定方程.

圖4　激光投影點理論點與實際點位置Figure 4　Theory and actuallocation of laser projection point

由于激光線與Z6軸理論上是重合的，所以激光線的方向向量為式(3)中的a(ax,ay,az)向量，末端執(zhí)行器中心點p(px,py,pz)同時也是激光線上一點，則激光線在基座坐標系O0-X0Y0Z0下的空間方程為

(4)

式(4)中：(x,y,z)代表激光線上點的坐標.

由于激光線是投影在觀測平面的，所以激光點坐標的y值皆為R，由此可得出激光在觀測平面上投影點的二維理論坐標(Xm,Zm)：

(5)

由于激光投影點理論值與實際值之間的偏差主要是由運動學參數(shù)誤差導致的，運動學參數(shù)誤差包括

(6)

式(6)中：Δai為連桿長度誤差、Δαi為連桿扭角誤差、Δdi為偏置誤差、Δθi為關節(jié)角誤差、Δβ2為轉角參數(shù)誤差.

則激光投影實際點的坐標n(Xn,Zn)為

n=m+JΔx.

(7)

式(7)中：J代表激光投影點理論坐標對運動學參數(shù)所求的雅克比矩陣.

根據(jù)激光投影點實際值與理論值的偏差可知，當激光線分別瞄準觀測平面上的四個頂點A、B、C、D時，在每個頂點處位形不變的條件下，同樣存在著與每個頂點相對應的激光投影點理論值Ai、Bi、Ci、Di，坐標分別記為PAi，PBi，PCi，PDi.則A、B、C、D的坐標PA，PB，PC，PD分別為

(8)

參照圖3，根據(jù)正方形的幾何性質可得：

(9)

根據(jù)式(9)，由于運動學參數(shù)誤差Δx很小，因此忽略其二次項得到標定方程：

(10)

只要在每個頂點處確保足夠的位形以建立不少于運動學參數(shù)誤差數(shù)量的運動學方程，即可通過最小二乘法求解出運動學參數(shù)誤差.

3　仿真分析

3.1　標定方法仿真實驗

首先預設運動學參數(shù)誤差，預設值如表3.

表3　運動學參數(shù)誤差預設值

以運動學參數(shù)預設值修正工業(yè)機器人運動學參數(shù)作為仿真機器人的實際運動學參數(shù).采用Matlab對上述標定方法進行仿真，如圖5.

仿真實驗具體的步驟如下：

1) 控制工業(yè)機器人依次將激光瞄準四個頂點A、B、C、D，并記錄激光點位于每個頂點處的工業(yè)機器人關節(jié)角.

2)計算激光點的理論坐標以及對應的雅克比矩陣以建立標定方程.

3)重復步驟(1)和步驟(2)，直到獲得足夠的標定方程.

4)用最小二乘法辨識運動學參數(shù)誤差，從而得到準確的運動學參數(shù).

3.2　實驗結果及分析

按以上實驗步驟進行仿真實驗，根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求解標定方程組，得到運動學參數(shù)誤差如表4.

表4　標定后的運動學參數(shù)誤差

根據(jù)表3和表4可知標定前后的運動學參數(shù)誤差之間相差10-2個數(shù)量級，根據(jù)記錄的關節(jié)角及標定前后的運動學參數(shù)求出標定前后正方形的理論邊長值與實際邊長L間的長度偏差如圖6.

圖6　標定前后長度偏差對比Figure 6　Comparison of length deviationsbefore and after calibration

根據(jù)圖6，長度偏差的標準差從標定前的2.258 6mm減少到0.499 8mm，絕對定位精度提高了77.87%，驗證了此標定方法的可行性.

4　結　語

針對工業(yè)機器人標定中存在的價格昂貴、操作困難等問題，提出了基于幾何約束的閉環(huán)標定方法來標定工業(yè)機器人的運動學參數(shù).首先利用Matlab對所建立的運動學模型進行仿真，驗證其正確性.其次，利用Matlab對該方法進行了仿真驗證，通過仿真結果可知，工業(yè)機器人的定位精度提高了77.87%，說明此方法是有效的，從而為后續(xù)相關標定方法的實施提供理論基礎.

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