天基平臺彈道導彈參數(shù)似然估計算法

顧忠征，梁小安

（空軍工程大學理學院，西安 710051）

0 引言

隨著作戰(zhàn)理念的發(fā)展，空天作戰(zhàn)已不僅限于空域內武器對抗，對敵戰(zhàn)略武器的攔截也是防空取勝的關鍵，其中超音速、高機動、多批次彈道導彈的跟蹤成為一項重要的研究課題。傳統(tǒng)的彈道目標跟蹤技術研究中，文獻［1-4］相繼提出了基于模板匹配的彈道目標跟蹤算法，可估計目標運動參數(shù)，然而需要龐大先驗數(shù)據(jù)庫作支撐；文獻［5］研究基于迭代無味卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）的彈道目標跟蹤，完成了單目標的狀態(tài)估計；文獻［6］提出了基于多假設跟蹤的主動段彈道目標跟蹤算法，精度較高，實時性較低；文獻［7］提出了利用漂移瑞利濾波結合無跡變換實現(xiàn)了由于UKF的彈道單目標跟蹤效果；文獻［8-9］提出了不同掃描模式下基于隨機集的多目標跟蹤算法，完成了單星像平面內航跡延續(xù)。在前輩研究的基礎上，針對集中式融合結構紅外多傳感器協(xié)同探測，提出了新型高精度、實時的多目標跟蹤算法。

彈道目標速度大，受力情況復雜，狀態(tài)變量維數(shù)大，運動方程及量測方程非線性程度較為嚴重，對跟蹤算法實時性和精度要求高，尤其是多個彈道目標的跟蹤。關于多目標跟蹤，PHD的研究取得了較多的成果，如高斯混合PHD算法及其改進［10-11］，節(jié)約時間成本的快速PHD算法［12］，對雜波進行實時估計的PHD算法［13］，針對未知噪聲的多噪聲模型下的PHD算法［14］以及基于核密度估計的邊緣粒子PHD算法［15］等。這些多目標跟蹤算法從不同的側面改善了PHD的性能，然而應用于彈道目標跟蹤時會出現(xiàn)新的問題：1）高維狀態(tài)變量增加會增加非線性濾波算法采樣積分點偏差；2）集中式融合機構對信息處理實時性要求較高；3）部分參數(shù)估計的準確性對跟蹤精度的重要性。對此，從非線性濾波和多目標跟蹤兩個方面進行研究，分析了無味粒子濾波（Unscented Particle Filter，UPF）、容積粒子濾波（Cubature Particle Filter，CPF）等經(jīng)典非線性濾波算法的優(yōu)缺點，提出了改進Sigma點采樣方式和基于最大似然比的參數(shù)估計的PHD算法，簡稱為改進的粒子 PHD 濾波（Advanced Particle PHD，PA-PHD）。PA-PHD基于重力轉彎加速度模型和角度信息實施彈道目標跟蹤，將影響彈道的關鍵、未知參數(shù)-重力外合力加速度與速度比從目標狀態(tài)中分離開來，用最大似然估計［16］更新關鍵參數(shù)值，針對非線性濾波問題引入限制Sigma點集［17］近似高斯函數(shù)的積分，為克服似然比整體過小導致積分點失效［18］的問題，提出了利用馬氏距離平方根計算似然比的方案。

1 問題引出

真實的彈道導彈運動過程受力情況復雜，不利于實施目標跟蹤。常用經(jīng)典的高階微分模型來擬合彈道，為使狀態(tài)變量維數(shù)最小，引入重力轉彎加速度模型，該模型一定程度上能夠反映導彈真實運動過程［19］。假設目標位置矢量為r，速度矢量為v，對應的狀態(tài)微分方程為：

其中，κ除重力以外的合力產(chǎn)生加速度與速度比值，恒定模型；μ=398 613.52 km3/s2為地球引力常數(shù)。

由式可知κ對彈道影響重大，該參數(shù)是未知的，其初始化估計值直接關系后續(xù)跟蹤效果，將其作為狀態(tài)變量參數(shù)會增加狀態(tài)變量維度，暴露算法的缺陷。圖1是以為狀態(tài)變量，基于無味粒子 PHD（Unscented Par ticle PHD，UP-PHD）多目標跟蹤最優(yōu)子模式分配脫靶距離（Optimal Sub Pattern Assignment，OSPA），圖中 δκ為κ初始化估計誤差，仿真參數(shù)以及OSAP先增大后減小的原因在后續(xù)實驗中會說明。對比可知，參數(shù)κ初始化估計誤差較大時，UP-PHD算法失效，其實不僅是UP-PHD，后續(xù)會對比多種算法結果，多數(shù)存在這個問題。鑒于此，對目標狀態(tài)變量降維，將κ視為待估參數(shù)并設計最大似然估計器（Maximum Likelihood Estimator，MLE），對κ及其誤差進行估計。

考慮到坐標變換，狀態(tài)轉移模型為：

星載紅外傳感器只能獲取目標方位信息，因此，量測方程為：

2 新型積分點采樣

傳統(tǒng)的非線性濾波算法中，EKF維度高非線性嚴重情況下Hessian陣和Jacobian陣計算量大，會增加算法復雜度；UKF和CKF積分點的選取有異曲同工之妙，積分點滿足對稱關系，實質是三階均值、二階方差的近似。與CKF、UKF不同的是，限制Sigma點的UT［17］算法忽視積分點內部的對稱關系，引入并選擇適當?shù)膮?shù)值來調整積分近似值，對應的積分點組如下：

3 參數(shù)最大似然估計的PHD算法

3.1 基于最大似然估計的狀態(tài)及參數(shù)預測

κ對彈道目標狀態(tài)估計至關重要，為準確計算κ值，從目標狀態(tài)的最大后驗估計著手，設計了κ的最大似然函數(shù)估計器，原理如下：

對于非線性濾波算法而言，式（7）不存在解析解，需用非線性濾波算法實現(xiàn)：

nκ為采樣粒子數(shù)；為狀態(tài)轉移概率密度函數(shù)為參數(shù)κ采樣值，假設其先驗分布估計為，則：

為提高狀態(tài)估計精度，對每個粒子引入更新機制，再次應用非線性濾波算法，稱之為粒子狀態(tài)更新，定義積分點采樣環(huán)節(jié)SPS（Sigma Points Sampling），則粒子狀態(tài)預測及更新步：

1）粒子預測：

2）粒子狀態(tài)更新：

實際操作中，式中存在似然比過小而被忽略放入缺陷，對此提出新的似然比計算公式：

3.2 高斯混合PHD

多目標跟蹤算法中，PHD憑借未知數(shù)目條件下有效跟蹤的優(yōu)勢備受關注［8，11］。方便于目標狀態(tài)提取，利用高斯混合PHD對彈道目標進行跟蹤。假設k-1時刻PHD

3.3 新型PA-PHD算法

忽略“衍生”，PA-PHD具體步驟實施如下頁表1所示。

4 仿真校驗

衛(wèi)星及導彈參數(shù)設置見下頁表2、表3。T0表示初次探測到目標時刻；Tr表示持續(xù)跟蹤時間。

設置掃描周期2 s；目標生存概率PS，k=0.99，探測概率 PD，k=0.98；Q=diag（［103km 104m/s 103km 104m/s 103km 104m/s δκ］）；R=kron（eye（3），diag（v）2），v=［σu，σv］，角度量測誤差為 100 μrad，試驗中取雜波強度c=100，密度 ck由c監(jiān)視區(qū)域決定，c取為3 000，p 取為 2。

表1 PA-PHD算法流程

表2 導彈發(fā)射參數(shù)

表3 衛(wèi)星參數(shù)

圖2、圖3是不同δκ下4種算法的目標數(shù)目估計以及OSPA距離，結果取100次后平均值，其中OSPA距離在丟失目標后又趨近于零，這主要是由于OSPA參數(shù)c（選定為3 000）相對于整體誤差較小的緣故，而非反應其跟蹤精度高。CP-PHD無法調節(jié)積分點偏差，對系統(tǒng)模型有較高的精度要求，而實際彈道是由較為復雜的模型仿真得到并加之以高斯噪聲，在實施跟蹤時使用的卻是簡化的重力轉彎加速度模型，因此，CP-PHD多目標跟蹤效果較差。另外分析上述結果可知新型積分點采樣方案是可行的，然而在某些條件下，其精度略低于UP-PHD算法，從圖中可以看出，PA-PHD始終能夠有效跟蹤目標，對參數(shù)初始化估計誤差不敏感，因為其自身可實時估計δκ，因此，濾波估計精度得以保障。圖4是某此實驗中各算法單步運行時間變化曲線。對比可知，PA-PHD相對于UP-PHD有時耗低的優(yōu)勢。CP-PHP由于丟失目標，后期運行時間接近為零，不具可比性。綜上分析可知，PA-PHD在實時性和精度上都能取得較理想的效果。

5 結論

針對空天作戰(zhàn)反導領域研究了彈道導彈的截獲，結合仿真實際分析了該類型目標跟蹤特點，在集中融合式多傳感器協(xié)同下設計了參數(shù)最大似然估計的PHD算法，為反導提供了有利的信息支撐。主要創(chuàng)新點有：1）設計了針對參數(shù)κ三維極大似然估計器，能實時更新κ值及其估計誤差，降低了狀態(tài)變量維數(shù)，減小了積分點偏差，提高了多目標狀態(tài)PHD預測精度；2）推導了減少Sigama點的HUT變換，減少了積分點數(shù)目，提高了PA-PHD實時性。

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