斜坡上泥沙起動流速統(tǒng)一公式的建立

，

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌　712100)

1　研究背景

泥沙起動流速、起動切應(yīng)力及起動功率作為泥沙顆粒起動判別標(biāo)準(zhǔn)，一直以來備受學(xué)者的關(guān)注。對于粗泥沙顆粒，不需要考慮黏性力對泥沙起動的影響。20世紀(jì)30年代，Shields等[1]分析了床面上泥沙顆粒的受力平衡，推導(dǎo)出無黏性均勻沙的起動切應(yīng)力公式，并在此基礎(chǔ)上得到了無因次切應(yīng)力(Shields數(shù))。我國學(xué)者孫志林等[2]運(yùn)用概率論與力學(xué)相結(jié)合的方法，對起動泥沙顆粒的力臂進(jìn)行隨機(jī)分析，得到了考慮非均勻沙隱暴效應(yīng)的起動概率表達(dá)式，進(jìn)而建立了非均勻沙分級起動的切應(yīng)力公式，使得公式更具合理性。秦榮昱[3]考慮了床沙組成和變化(粗化或細(xì)化)對非均勻沙起動的影響，引入附加阻力，得到了非均勻沙起動流速公式。周雙等[4]以相對暴露度為基礎(chǔ)，采用滾動起動模式，得到了考慮起動概率的正坡上均勻散粒體泥沙起動流速公式。

但對于細(xì)顆粒泥沙，泥沙顆粒間存在著薄膜水引起的黏著力和附加下壓力，其黏性力對泥沙起動的影響不能忽略[5]。唐存本[6]認(rèn)為沙粒在水流作用下的穩(wěn)定性主要與泥沙本身重力及泥沙顆粒間的黏著力有關(guān)(當(dāng)粒徑D≥1 mm時，重力起決定作用；當(dāng)D≤0.01 mm時，黏著力起決定作用)；在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用大量的實(shí)測資料，得到了粗細(xì)沙統(tǒng)一的起動流速公式。孫志林等[7]考慮非均勻沙起動的隨機(jī)特性，并根據(jù)因次分析和交叉石英絲試驗(yàn)得到了黏性力表達(dá)式，最后基于瞬時底流速的概率分布和試驗(yàn)資料建立了適合黏性非均勻沙的起動流速公式，考慮的起動概率是通過水槽試驗(yàn)得到的，起動標(biāo)準(zhǔn)相當(dāng)于取起動概率為0.05。張紅武[8]在前人研究的基礎(chǔ)上，通過理論分析得到了泥沙顆粒間黏結(jié)力和由水深引起的附加下壓力的表達(dá)式，建立了適用于粗細(xì)泥沙顆粒的起動流速公式。韓其為等[9]對彎道邊壁的泥沙顆粒進(jìn)行受力分析，采用滾動起動模型，推導(dǎo)了適用于一般條件下的起動流速公式。竇國仁[10]通過對石英絲摩擦阻力的觀察試驗(yàn)，得到了泥沙顆粒間黏結(jié)力、下壓力及阻力對泥沙起動的影響機(jī)理，進(jìn)而建立了泥沙起動的流速公式。另外，沙玉清[11]、張瑞瑾[12]都對黏性沙起動問題進(jìn)行過研究，得到了適用于粗、細(xì)泥沙顆粒的統(tǒng)一公式。毛寧[13]在希爾茲曲線的基礎(chǔ)上，分析、比較了各家細(xì)顆粒泥沙與黏性土的起動流速公式，粗顆粒砂礫石起動流速公式，最終得到了非正規(guī)水流不同流態(tài)情況下塊石起動流速公式。值得注意的是，上述研究大多采用滾動模型來研究平坡上的泥沙起動問題，在公式推導(dǎo)的過程中，也沒有考慮起動概率對泥沙起動的影響。

基于上述研究進(jìn)展，本文采用滑動起動模型，考慮了起動概率、相對暴露度與細(xì)顆粒泥沙間黏結(jié)力、附加下壓力對泥沙起動的影響。運(yùn)用概率論與力學(xué)相結(jié)合的分析方法，從理論上推導(dǎo)了適用于粗、細(xì)泥沙顆粒起動的統(tǒng)一流速公式。

2　粗、細(xì)泥沙顆粒受力分析

2.1　基本作用力

如圖1所示，在水流作用下，斜坡上泥沙所受到的基本作用力主要有拖曳力FD、上舉力FL、水下重力G、黏著力FC以及附加下壓力ΔG[9]。圖1中β為斜坡的坡度。

圖1　正負(fù)坡上泥沙顆粒受力分析Fig.1　Forces acting on sediment particle of normaland reverse slopes

各基本作用力表達(dá)式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：CD為拖曳力系數(shù)，一般取為0.4；CL為上舉力系數(shù)，一般取為0.1；ub為泥沙起動時水流底部的瞬時流速；ρs，ρ分別為泥沙和水的密度；γ為水的重度；g為重力加速度，一般取為9.81 m/s2；D，R分別為所研究泥沙顆粒直徑和半徑；δ1為薄膜水厚度，δ1=4×10-7m；t為泥沙顆粒間的縫隙,根據(jù)韓其為等[5]的研究，t=0.25δ1；δ0為一個水分子的厚度，δ0=3×10-10m；q0為t=δ0時泥沙顆粒在單位面積上所受的黏結(jié)力，q0=1.3×109kg/m2；K2為薄膜水接觸面積中單向壓力傳遞所占的面積百分?jǐn)?shù),K2=2.258×10-3；H為水深。值得注意的是，當(dāng)t/δ1≥1時，各顆粒周圍的薄膜水不再接觸，黏結(jié)力與附加下壓力消失。

根據(jù)相關(guān)研究，粘性泥沙顆粒之間存在分子引力，孫志林等[7]、張瑞瑾[12]將這種分子引力考慮為附加作用水頭h0。孫志林等[7]根據(jù)因次分析和杰列金交叉石英絲試驗(yàn)得到，附加作用水頭h0=3.5 m。因此，附加下壓力ΔG也可以表示為

(6)

但對于粗顆粒泥沙(D>0.5 mm)，可以忽略黏結(jié)力與附加下壓力對泥沙起動的影響[9]，即FC=0，ΔG=0。

2.2　與相對暴露度有關(guān)的附加質(zhì)量力

在正負(fù)坡上，泥沙顆粒間的相對位置關(guān)系可以用相對暴露度Δ′或暴露角θ表示[14]，如圖2所示。由圖2可見，正負(fù)坡上暴露角θ的取值范圍可以統(tǒng)一表示為[0,90°-β]，為了計(jì)算方便，本文取θ=(90°-β)/2；經(jīng)過推導(dǎo)可得，相對暴露度Δ′與暴露角θ滿足下列關(guān)系：

Δ′=(1-cosθ)/2。

(7)

圖2　泥沙顆粒相對暴露度與暴露角示意圖Fig.2　Relative exposure degree and exposure angle ofsediment particles

何文社[15]認(rèn)為，對于天然河流條件下的泥沙而言，除要考慮上述基本作用力外，還要考慮由于泥沙顆粒組成及相對暴露度產(chǎn)生的附加質(zhì)量力FM(圖1)。對于均勻泥沙顆粒，附加質(zhì)量力FM可以表示為

FM=ξαM(ρs-ρ)gD3。

(8)

式中:ξ為與相對暴露度有關(guān)的系數(shù)，表示表層泥沙顆粒最低點(diǎn)與下游次表層泥沙顆粒最高點(diǎn)之間的距離,對于均勻泥沙顆粒，ξ=2Δ′=1-cosθ；αM為與附加質(zhì)量力相應(yīng)的面積系數(shù)，一般取為π/6。

3　粗、細(xì)泥沙顆粒統(tǒng)一起動流速公式的推導(dǎo)

3.1　近底作用流速

本文采用滑動起動模型[16]，建立斜坡上粗、細(xì)顆粒泥沙的受力平衡方程為

FD+(G+FM+FC+ΔG)sinβ=

f(G+FM+FC+ΔG)cosβ-FL。

(9)

式中f為河床表面的摩擦系數(shù)，即f=tanφ，φ為泥沙顆粒的水下休止角。

將式(1)—式(4)、式(6)及式(8)代入式(9)，得到

ub2=K12K22。

(10)

其中：

(11)

(12)

則臨界流速η0為

η0=K1K2。

(13)

由圖1及式(10)可得泥沙顆粒的起動概率為

ε=Pub2≥η02。

(14)

由于水流底部的瞬時流速ub近似服從正態(tài)分布，并且泥沙顆粒逆流方向開始滑動的概率很小，可以將ψ(·)的第2項(xiàng)忽略不計(jì)[5]，所以式(14)可以表示為

(15)

(16)

竇國仁[18]將泥沙起動標(biāo)準(zhǔn)分為弱動(將動未動)、中動(少量動)、普動(普遍動)3種，并給出了3種起動狀態(tài)所對應(yīng)的起動概率分別為ε1=0.001 35，ε2=0.022 8，ε3=0.158 5。本文以中動、普動所對應(yīng)的起動概率作為起動標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[19]的有關(guān)知識，聯(lián)立式(15)、式(16)，得到斜坡上泥沙顆粒的底部作用時均流速為

(17)

3.2　垂線平均流速

為應(yīng)用方便，現(xiàn)將近底作用流速轉(zhuǎn)換為垂線平均流速。已知近底流速時均值符合對數(shù)分布公式[20]，即

(18)

式中:u*為摩阻流速；y為近底流速作用點(diǎn)的位置；χ為與沙粒Re有關(guān)的系數(shù)；ks為床面粗糙度。

(19)

而泥沙起動垂線平均流速U與u*存在如下關(guān)系[5]，即

(20)

式中J為水力坡度。

就泥沙顆粒特性而言，細(xì)顆粒泥沙磨圓度好于粗顆粒泥沙。泥沙顆粒越小，磨圓度越好，其三維尺度更接近一致；泥沙顆粒越粗，磨圓度越差，其三維尺度差異更大。f(λ)為與泥沙顆粒形狀有關(guān)的扁度函數(shù)，就D≤0.5 mm的細(xì)顆粒泥沙而言，本文沒有考慮泥沙顆粒形狀對泥沙起動的影響，即f(λ)=1；對于D>0.5mm的粗顆粒泥沙，本文考慮了泥沙顆粒形狀對泥沙起動的影響，即引入扁度函數(shù)f(λ)對公式進(jìn)行修正。參考韓其為等[5]給出的f(λ)取值表，取f(λ)=1.237。

聯(lián)立式(17)、式(19)及式(20)，即可得到斜坡上泥沙起動的垂線平均流速公式為

(21)

式中k(ε)為與起動概率有關(guān)的系數(shù)，k(0.022 8)=0.647 8，k(0.158 5)=0.822 4。

式(21)即為適用于正負(fù)坡及平坡上粗、細(xì)泥沙顆粒起動流速計(jì)算的統(tǒng)一公式。另外，還可以將式(21)簡化為其他條件下的泥沙起動流速公式：

(1) 當(dāng)β=0°時，表明泥沙顆粒處于平坡上，式(21)即簡化為平坡條件下粗、細(xì)泥沙顆粒起動流速統(tǒng)一公式。

(2) 當(dāng)D>0.5 mm時，不考慮泥沙顆粒間薄膜水對泥沙起動的影響(FC=0,ΔG=0)，式(21)即簡化為正負(fù)坡及平坡條件下粗顆粒泥沙起動流速公式。

4　起動流速公式的驗(yàn)證

4.1　平坡上水槽試驗(yàn)資料驗(yàn)證

采用竇國仁[18]整理的平坡水槽試驗(yàn)資料及從長江實(shí)測記錄換算而得的資料[12],對本文粗、細(xì)泥沙顆粒起動流速的統(tǒng)一公式進(jìn)行驗(yàn)證，并與竇國仁公式[10]、沙玉清公式[11]及武漢水利電力學(xué)院公式[12]、張紅武公式[8]進(jìn)行比較，結(jié)果見圖3。其中，實(shí)測資料泥沙粒徑范圍0.001～115 mm；泥沙顆粒密度ρ=2.65 g/cm3；斜坡坡度β=0°。由圖3可以看出，在泥沙粒徑D≤0. 01 mm或D>0.5 mm范圍內(nèi)，本文公式與實(shí)測資料符合較好，計(jì)算精度較高。

圖3　平坡上泥沙起動流速計(jì)算值與實(shí)測值比較Fig.3　Comparison between calculated data and observeddata of sediment incipient velocity on flat slope

由文獻(xiàn)[8]及文獻(xiàn)[10-12]可見，上述幾個經(jīng)典公式均建立在滾動模型基礎(chǔ)上。本文公式建立在滑動模型基礎(chǔ)上，雖然2種模型的起動機(jī)理不一樣，但得到的結(jié)果基本一致。由于現(xiàn)有的泥沙起動流速公式均存在修正系數(shù)(經(jīng)典公式存在2個以上的系數(shù)，本研究存在一個系數(shù))，實(shí)際計(jì)算中已經(jīng)考慮了泥沙顆粒形狀對泥沙轉(zhuǎn)動支點(diǎn)、力臂及摩擦系數(shù)的修正，因此，上述2個模型得到的結(jié)果無本質(zhì)上的差異。

就泥沙起動模型而言，滑動模型是從力的平衡條件得到的泥沙起動流速公式，而滾動模型是從力矩平衡條件得到的泥沙起動流速公式。從理論上說，若能準(zhǔn)確地確定出泥沙滾動模型的轉(zhuǎn)動支點(diǎn)及力臂、滑動模型的摩擦系數(shù)，那么泥沙顆粒以滾動或者滑動起動就是一個確定的事件；或在某個確定暴露度的情況下，泥沙顆粒以滾動或者滑動起動也是一個確定的事件，不存在本質(zhì)的區(qū)別。但實(shí)際上泥沙顆粒形狀千奇百態(tài)，滾動模型難以確定將要起動泥沙顆粒的轉(zhuǎn)動支點(diǎn)及力臂，滑動模型難以確定其摩擦系數(shù)。因此，泥沙顆粒以哪種形式起動就是一個不確定事件。

圖4　正負(fù)坡上起動流速計(jì)算值與實(shí)測值比較Fig.4　Comparison between calculated data and observeddata of sediment incipient velocity on normal andreverse slopes

4.2　斜坡上水槽試驗(yàn)資料驗(yàn)證

采用正負(fù)坡粗顆粒泥沙起動試驗(yàn)資料[22]對本文泥沙起動流速公式進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果見圖4。

其中，實(shí)測資料的泥沙顆粒密度ρ=2.65 g/cm3，斜坡坡度的變化范圍為[-15°，25°]。由圖4可見，本文公式計(jì)算值與實(shí)測資料符合較好，計(jì)算精度較高。在負(fù)坡上(β<0°)，泥沙起動流速隨斜坡坡度的增大而增大；在正坡上(β≥0°)，泥沙起動流速隨斜坡坡度的增大而減小。

5　結(jié)　語

在前人研究的基礎(chǔ)上，采用滑動起動模型，考慮了泥沙顆粒在床面位置的隨機(jī)性(相對暴露度)與起動概率對泥沙起動的影響，以及細(xì)顆粒泥沙之間的黏結(jié)力與附加下壓力的影響，引入附加質(zhì)量力，從理論上推導(dǎo)出了適用于正負(fù)坡上粗、細(xì)泥沙顆粒統(tǒng)一起動的近底作用流速公式和垂線平均流速公式；經(jīng)過實(shí)測資料驗(yàn)證，本文公式與實(shí)測數(shù)據(jù)符合較好，計(jì)算精度較高。

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